微积分B(1)第3次习题课(Stolz定理、函数极限)题目

1、 1 / 3 Page 1 of 3 微积分微积分 B(1)第第三三次习题课次习题课题目题目 一一、Stolz 定理定理 1 Stolz定理：定理：设 n a和 n b为两个数列， 若 n b单调增加， 且lim n n b = +， 1 1 lim nn n nn aa A bb + + = ， 则lim n n n a A b = （不不要要求求证证明明） 2利用利用 Stolz 定理求下列极限定理求下列极限 （1）已知lim n n aa =，求 12 2 2 lim n n aana n + （2）求 1 12 lim mmm m n n n + + ，其中m为自然数 （3）求 2 1

2、 11 1 21 2 2 2 23 222 lim 212121 n n n n n 二二、无穷大量、无穷大量 1已知lim+ n n a =，求证： 12 lim+ n n aaa n + = 2已知数列 n a单调，且 12 lim n n aaa A n + = ，证明：lim n n aA = 3证明：数列 n a没有收敛子列等价于lim n n a = 三三、函数极限、函数极限 1用函数极限的定义证明用函数极限的定义证明 （1） 2 2 21 lim2 3 x x x + = （2） 22 lim(sin2sin1)0 x xx += （3）设1a ，0k 利用lim0 k n n

3、n a =，求证：lim0 k x x x a + = 2求解下列各题求解下列各题 （1）已知极限 2 lim(1)0 x xxaxb + +=，求a与b的值 （2）求极限 22 220 lim x xpp xqq + + （0q ） （3）讨论极限 1 11 lim x xx 是否存在，其中 x表示不超过x的最大整数 （4）求极限 1 4 0 2esin lim 1e x x x x x + + + 2 / 3 Page 2 of 3 3求下列极限求下列极限 （1）求 1 2 0 lim(1sin ) x x x + （2）求 11 lim(sincos ) . x x xx + （3） 2

4、 2 2 1 lim 1 x x x x + （4）求 2 10 ln(1) lim ln(1) x xx xx + + 4求下列极限求下列极限 （1） 1 lim() 3 xxx x x abc + + ( , ,0)a b c ； （2） 11 lim 2 x xx x ab + + (0,0)ab； （3） 111 12 lim x xxx n x aaa n + + (0) k a； （4） 0 limcos x x x + ； （5） lim(arctan ) 2 x xx + ； （6） 11 2 1 lim33 xx x x + + ； （7） 1 4 lim 1 x x x +

5、 5已知 1 cos 0 e1 lim0 tan() x k x a x =，求k与a的值 6求极限： 2 1 lim(arctan)1 4 x x x x + + + 7求极限：limcoscoscos 242n n xxx 8证明：在x +时， ex x 是无穷大量 9证明：在x +时， ln x x 是无穷大量，并求极限 1 lim x x x + 10设( )f x和( )g x都是周期函数 （1）若lim( )lim ( ) xx f xg x =, 则函数( )f x和( )g x有什么关系？ 证明你的结论 （2）若lim( ( )( )0 x f xg x =，且( )f x与( )g x的周期之比 f g T Q T =，则函数( )f x和( )g x又有 什么关系？ 11若 12 ( )sinsin2sin n f xaxaxanx=+，|( )| |sin|f xx，则 12 21 n aana+ 3 / 3 Page 3 of 3 12设 1 ,12, ( ) 1 ,2, xx f x x x = 1,1, 1, ( ) 1 ,1. n n xn nxnx fx xn x + （1）对任意固定的n，