广东石油化工学院数学2009级初等数论复习资料

1、设11r为正奇数，证明对于任意正整数n，都有n 2 | 1r 2r nr。 对于任何正整数a、b和正奇数k，解存在akbk=(ab ) (AK1a k2bak3b2b k1)=(ab ) q，其中q为整数。 假设s=1r 2r nr，则2 s=2(2rnr ) (3r (n1) r ) (NR2r )=2(n2) q，其中q是整数。 如果是n2s，则根据上式已知有n 22，因此为n 2，这是不可能的，是n 2 | s。 2证明：存在无限多个正整数a，其中n4a (n=1，2，3， )都是修正数。 解析度a=4k4对于任意的nN，存在n4k4=(n22 k2) 24n2k2=(n 22 k 22

2、 NK ) (n 22 k 22 NK )。 因为n2 2k2 2nk=(n k)2 k2 k2，所以任何k=2、3和任何nN、n4 a都是校正因子。 3证明：如果a除以9的侑数是3、4、5或6，则方程x3 y3=a没有整数解。 解对于任意整数x和y而言被标记为x=3q1 r1、y=3q2r2、0r1和r-2。 存在Q1、R1、Q2、R2Z，以使x3=9Q1 R1、y3=9Q2 R2，R1和R2除以9的偶数分别与r13和r23除以9的偶数相同，即r1=0、1或8、r2=(x3y3=9 此外从方程式(1)可以看出，x3 y3不等于a，因为R1 R2被9除所得的偶数仅仅是0、1、2、7或8。 4证

3、明：如果n为正整数，则214-143-n为预约分数。 解(21 n 4，14 n3)=(7n 1，14 n3)=(7n 1，1 )=1。 注意：一般情况下，如果(x，y)=1，则对于任意整数a，b，(x，y)=(x ay，y)=(x ay，yb(xay )。通过5辗转相除法求出(125，17 )，以及x，y为125 x 17 y=(125，17 )。 解根据辗转相除： 125=717 6、q1=7、q1=7、17=26、q2=2、r2=5、6=15、q3=1、r3定理4，求出(125，17 )=r3=1。 利用定理2，获得用于校正(n=3) 2 P0=1、P1=7、P2=27 1=15、P3=

4、115 7=22、Q0=0、Q1=1和q2=的六次方程(12345和678 )。 导出解(12345，678 )=(12345，339 )=(12006，339 )=(6003，339 )=(5664，339 )=(12345，339 ) 51480的标准分解式。 我们有51480=225740=2212870=236435=2351287=2353429=23532143=233251113。 8求最大正整数k，10k199！ 的双曲馀弦值。 解是定理3，199！ 由于包含在上述标准分解式中的5的幂指数为23 199199199 555=47，因此求出的最大整数为k=47。 设9x和y为实数

5、，则为2x 2y x x y y。 假设x=x、0-1、y=y、0-1和an 1是素数，则解(1)为a=2，并且n是素数。 如果解是a 2，则从an 1=(a 1)(an 1 an 2 1)可知an 1是合计修正数。 所以a=2。 由于n是整数，n=xy，x 1，y 1，因此可知2xy 1=(2x 1)(2x(y 1) 2x(y 2) 1)以及2x1到2n 1是整数。因此，如果2n 1是素数，则注意：如果n是素数，则2n 1被称为Mersenne数。 求N=1210nn aaa a可以被7整除的条件，并且解释1123456789是否可以被7整除。 为解析度1001、101、102、1031(m

6、od7)，为03121054302105438761010 (mod7) nnaaaaaaaa，即为7n 72105440 37894561231=455，7455 12表示5 2 21是否能被641整除。 解将同步方式224、2416、28256、216154、2321(mod641 )校正如下。 由此，产生了5 2 21 0 (mod 641 )，即641 5 2 21。 求除以13(2573346)2650的馀数。 解析利用欧拉定理求出作为(2573346 ) 26 (7334 ) 26=7(72 ) 16426 (1) 16426=(74 ) 26326=3(35 )5(3)的14n=

7、77的位数。 因为我们有71、72、741(mod10 )，所以如果是77 r (mod 4)，则n=777(mod10 )。 (1)因为现在是77 (1)到713 (mod4)，所以根据等式(1)，n=77到73 (3)到373 (mod 10 )，也就是说，n的位数是三。注：一般来说，求c b a对型m的同馀时，求()整数k，求ak 1 (mod m )； 求出()正整数r、r 4的话，就成为(n) 1 3 n。 我们有(4n)=(22n)=(22)(n)=2(n )。 如果(n=2k，那么(2k)=1 11 212 22 () kk n；如果(n)=1 2 n，那么n=2kn1；如果(n

8、 )=2k3l，那么(n )=(2k )=111 2131233 () () KL n。 设定为(n)=1 3 n、n=2k3l、6|n1，则从111 () 11 () 11 ()2(2) (3) () 33 klkl nnnn中挤出() n=2k3ln1、6|n1，则(n )=(2k ) (3l ) (n1)=11113 () 2333 klkl nnn。 因为() n 4，所以n 1和n 1都是奇数，n是偶数。 由于n 1 3，n 1和n 1都不等于3，当然不能被3整除，因此3n变为6n。 由以上证明的结论()可以得出结论()。 设20n为正整数，则5 | 1n 2n 3n 4n的满足条件

9、为4n。 因为解是(5)=4，所以定理2 k4 1 (mod 5)、1 k 4。 因此，如果n=4q r、0 r 3，则1 n2n3n4n1r2r3r4r2r (2) r (1) r (mod5)、(1)用r=0、1、2、3 211 1=2047分解系数。 从例子5中解析出，如果是p 211，则p 1 (mod 22 )，也就是p只有数列23、45、67、22k1、6。 用其中的素数逐个去除2047，得到2047，2047=2389。 方程式的x2 dy2=1的解。 求22不定方程式3x 6y=15的解。 因为解(3，6 )=315，所以方程式有解。 用辗转相除(或直接观察)可知，x=1，y=

10、1是3x 6y=3的解，x0=5，y0=5是原方程式的一个解。 根据定理2求出的方程式的解是52 5 xt yt，tz。23求出不定方程式3x 6y 12z=15的解。 解原方程式等价于x 2y 4z=5。 (1)接下来的解方程t 4z=5，x 2y=t分别得到14tuZu、uz、(2) 2xtv ytv、vZ。 消除(3)式(2)和式(3)中的t，得到1 42 14 1 xuv yuv zu、u、vZ。 把19 30写成三个分数的和。 分母分别是二、三、五。 如果求解19 30235 xyz，则成为15x 10y 6z=19。 在下一个解方程5t6z=19，15 x 10 y=5t，得到1

11、6 45 tu zu，uZ，(1) 2 3 xtv ytv，vZ。 (2)从式(1)和式(2)中消去t，得到1 62 1 63 45 xuv yuv zu、u、vZ。 如果u=0并且v=0，则x=1、y=1并且z=4，这是19114 30235。 二十五甲物每斤五元，乙物每斤三元，丙物每斤一元，现在是一百元，这三种一共买一百斤，各买几斤？ 解甲物x斤、乙物y斤、丙物z斤，则为5x3y1z=100、x y z=100。 消除z，得到了7x 4y=100。 (1)很明显，x=0，y=25是方程(1)的解，因此方程(18 )的一般解是4 257 xt yt，tZ是x 0，y 0，因此是0 t 3。

12、也就是说，t可以取t1=0、t2=1、t3=2、t4=3的值。 对应的x，y，z的值求出(x，y，z )=(0，25，75 )，(4，18，78 )，(8，11，81 )，(11 26 )不定方程式x 2y 3z=7的所有正整数解。 解以下解方程t 3z=7，x 2y=t，得到1 3 2 tu zu、uZ、2xtv yv、vZ。 从上式中消去t，得到了1 32 2 xuv yv zu、u、vZ。 (1)制作x 1、y 1、z 1需要3u 2v 0、v1、1u0。 (3u 2v 2、u123u1、8即u=1)。 根据该以及式(2)，有3 2v 0、v 1 2 3 v 1，v=1。 如果将u=1和

13、v=1代入等式(1)，则获得了一组正整数x=2、y=1和z=1。 27解同馀方程式325x 20 (mod 161)(1)解同馀方程式(1)是3x 20 (mod 161 )。 如果对同步方程式161y 20 (mod 3)和2y 1 (mod 3)进行求解，则获得y 2 (mod 3)，并且方程式(1)的解成为x 202 161 3=114 (mod 161 )。 求解27同馀方程式6x 7 (mod 23 )。 解决方案依次获得6 x7(mod23 )5x 73 (mod23 )3x 248 (mod23 )2x8(7) 10 (mod23 ) x5(mod23 )。求28整数n除以3、5、7得到的侑数分别是1、2、3。 解n是同馀方程组n 1 (mod 3)、n 2 (mod 5)、n 3 (mod 7)的解。 在孙子的定理中，求解在m1=3、m2=5、m3=7、m=357=105、M1=35、M2=21、M3=15、M1=1的29同馀方程式5x2 6x 49 0 (