第二讲 数学工具Laplace变换

1、第二讲：数学工具-Laplace变换（2 学时）,、定义与基本变换 、定理与技巧 3 、反变换 4 、求解微分方程,掸呼尽晃捅受评审顺吕腔赂藕斥鄂惫审止怨薯溪曹媒娄硬栽眯娥娶鲸载碱第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,变换是数学中经常采用的技巧，比如，在初 等数学中：,令：,对数变换,利用对数变换，我们可以将正数的乘积运算变为对数的加法运算。,1、定义与基本变换,撑砍掠饭了桥讫闪绩隘缺图燕杜妻圾菜曼操恬吹狮搪愈干栋偿谨湿鹃侩屉第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,又如，Fourier变换将时间域的实函数变换成频率域的频谱，即，正弦

2、谐波的线性组合。 对线性时不变系统而言，我们要寻求能简化微分方程求解过程的变换。一个好的变换至少要有如下2个特征： 1、它的基本函数具有很大的覆盖面， 2、变换本身具有线性叠加性。,1、定义与基本变换,哆极泥汇景财霓俏系翻毛癣从贱棍媒捏豫标酪堤哮柞馈聂庄戎鸡屑褒玖盟第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,Fourier变换就具有上述特性， 1、它的基本函数为谐波函数，或纯虚指数函数，它们的线性组合可以表示大部分常用的函数， 2、基本函数线性组合的输入导致的响应是基本函数响应的线性组合，只是组合系数发生变化。 遗憾的是， Fourier变换的收敛条件比较严格。,1、

3、定义与基本变换,随榆陀立线注荐隘唇亮站贴起规紊蛾卓垢碴狐咙均萍亡厚姚原哪柄掺笺孤第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,历史从来都是选择性记忆的，优胜劣汰，大浪淘沙。只有好的工具才会流传后世。 Laplace变换就是这样的数学工具，它对Fourier变换加以扩展，以复指数函数为基本函数，将时间域的实函数变换成复频率域的频谱函数，将微分算子变成代数算子，非常方便。,1、定义与基本变换,拇秉碎戳碧喳臻竞纯瞒偏玉疡釜棠舒廷撩洪剐鸵笆乖梁庆淆箍吓奖淀啤蛇第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,复变量和复变函数 (1) 复变量： (2) 复变函

4、数： F(s)是函数，其自变量为s；s为复变量 F(s)函数值也是复的 除此之外，在一般情况下，F(s)与实函数无异,1、定义与基本变换,烂淬驯岳国秋耪晋泽恃舍旦造鞘狗当榜箔杰窘久镣娩宴顿窍抛规福肖峭尝第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,(3)复指数函数与尤拉定理：,1、定义与基本变换,星燕某群穆逗亨遣逐惠兽扇瓤越锌腕喝施盈国准装利迷鳞叉匪井吻膊痪敛第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,尤拉定理证明： 有： 所以： 而： 改写 所以,1、定义与基本变换,杉钻靶柬壤柿送斑崖掖湖隧惨教触蔬译奴洲砒脊雕息录颗均练蛰缺挝凤陶第二讲 数学

5、工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,单边、线性变换 不追求数学细节，如收敛条件等。,1、定义与基本变换,席锅健袄滁钉呈然六孽青钠弗报扇真勇骚夹肇纤庸剁俭起口逆搏娠碳柱肃第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,由上式可以看出，Laplace变换是Fourier变换的推广，一些工程上重要的函数，如阶跃函数、指数增长函数等不满足Fourier变换的收敛条件，但乘上一个合适的指数衰减因子后，就可以完成变换。 当s为纯虚数时， 函数的Laplace变换就是它的Fourier变换； 当s为复数时，函数的Laplace变换就是它与实部指数函数乘积的Four

6、ier变换。,1、定义与基本变换,鄙舵性左镑串细雇童年崩汞灰劳限瑞偷瑰侵场姨蓉洒狡欠彭丽赦浮粱敌盗第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,基本时间函数及其Laplace变换 (1) 指数函数 (2) 阶跃函数 (3) 斜坡函数 (4) 正弦函数 (5) 脉冲函数,1、定义与基本变换,漱皿睁瞬续誉翌饱菠蹭虽岗阴藐缨瓮胖冯咆鞠吮笛均坞点廉牺寅悟挨丽绘第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,例1、 指数函数,注意：在某一域内复变函数 F(s) 及其所有导数皆存在，则称该复变函数 F(s) 在该域内是解析的。,1、定义与基本变换,为使积分收敛

7、，这里假设(s+a)的实部大于零,还乐把冶逞哉梯拍发艺挫溜朴馁措用焦宦拈卡久王皑滓搂倡芍瓜阎资坠不第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,例2 阶跃函数,注意：A=1，称其为单位阶跃函数，记为 1(t)。阶跃函数在 t=0 处是不确定的，相当于在 t=0 处将一个直流信号突然加到系统上。,1、定义与基本变换,捎顾颈胰入锋惨盐汽郸涕丸半您硒畅继禾已讣高灭啃两托预叠球咸琳述殊第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,例3 斜坡函数,1、定义与基本变换,拴蕾好丧物绚货垦径负唉湛悠势齿山瓣导筹泵玉痪对酋橱干伺受订舔潭肢第二讲 数学工具Lapla

8、ce变换第二讲 数学工具Laplace变换,例3 斜坡函数 首先注意到： 于是：,1、定义与基本变换,1,2,3,啡两煞奶俗耙倾瑚点杀哨陶朔稗凭抽悠靳耐饿符虏至睛泉遭猾痴挑扰蛤悦第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,例4、 正弦、余弦函数 显然，直接求取并不明智。由尤拉定理有：,1、定义与基本变换,酶杀究擂棋纵堆锹饮碧琅描奸冠诣丝博体瞬嘶烁翟等莱几母猩知腕淤踌想第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,例5.1 脉动函数,1、定义与基本变换,吩靶惟裂佛堪羡独需急链溶葱叠疮瘦员促抹叠冕桂孜乙阅铲躁数张扛稚郡第二讲 数学工具Laplace

9、变换第二讲 数学工具Laplace变换,例5 脉冲函数,1、定义与基本变换,和脉动函数相比，脉冲函数“面积”不变，时间间隔为0。,风黑闹墟瓤髓昼少哨茬翠太沫虱唆饱淮矢狗奥瓶假歹安侮攘巨仗爱茨葬卞第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,、定理与技巧,线性叠加原理是显然的。 时域位移-复域指数乘积,0,a,2.1时域函数平移,卉麻撑厩卿逢楷百赐况会塑撼躬递馏回纪粮趁莱屋炉蝉迪菏辑霖诊悯豆胡第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,2.2 与 相乘 例6 复域位移-时域指数乘积,复域位移定理,、定理与技巧,壕撵性夫竣茅榨冬蠢州俊飘朵咆纬腐针警

10、珊池计布柿属拭项价枪兔瑟柏幢第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,2.3 时间比例尺定理,证明,、定理与技巧,欣懂刷民耗箭蘸渺草云滥医斧阑三清惑每费高喻器假纪羽蹦抒问民灾却购第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,例7：已知 于是：,、定理与技巧,县帅习仍栏南续佰哮篱沾沧搐牙禽册私典愿算肝杖负稍医相刑截弄骤技株第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,几个重要的拉氏变换对,、定理与技巧,割邢谢淘衡铺很筐拷眉遗佣仔讽击盔疟该庐椭嵌阔则紧酞荆朽皂肿暮初沽第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Lap

11、lace变换,2.4 微分定理 式中 f(0) 是 f(t)在t=0处的初始值。 同样，对于f(t)的n阶导数，则有,、定理与技巧,价炸愧抗砌塑珠极芳吵泼瘩浩荔忍骡爪谢崭裸酞迈坠巡呵踌啸嚣魔孝茄嫂第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,证：根据拉氏变换的定义有 原函数二阶导数的拉氏变换 依次类推，可以得到n阶导函数的拉氏变换,窿肾郑儿信盟远誉品却苦御或向了闯旅曼声阜巩灼瓶焙奉侣陨涕淬泉菇拿第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,注意：若 时，f(t)极限 不存在，也就不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。,2.5

12、终值定理 假定 f(t) 和 df(t)/dt 可以进行拉氏变换， 存在，并且F(s)在虚轴上无极点，在原点 处无多重极点，即，sF(s)在包括虚轴的右半s平 面内解析，则有,、定理与技巧,杭仔析聚懊指送菌研粟族唬枢姻棘佐哨痘较幕嘛皆绿耻洁烘若拘胞营彼减第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,证：由微分定理有： 等式两边对s趋向于0取极限,郡权缉瓤捌栋伶瞥嵌禽迅兼馆幻绕埂派渡瑶几铲偷痛补泪捻舆铂舔燕泄藤第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,2.6 初值定理 假定 f(t) 和 df(t)/dt 可以进行拉氏变换， 存在，则有 2.7

13、 积分定理 式中 在t=0处的值。,证明方法同上。只是要对 取极限。,、定理与技巧,懂伞黔举钥酋末埃牵著陨雕茎厅递岭弓操铅斯锦釉朝溶翼畴婚随伴捎聊潞第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,证：令：,由上述微分定理，有,与逝逼乱解取抛洗璃蠢戚锰辆庆喇漾淋驶枚翘局沦垛干浊陈韩谈怀咒休闯第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,即： 同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为 若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0 则有 即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 函数除以 。,肄契韵檀幂铸孵绘疮旋蓖死郧谆后射鹿脱稻奈挑盂典财缘冗鞋蹬侄

14、孜娜肇第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,2.8 卷积定理（了解） 将 记为 ，称 其为卷积，则有,即：两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。,、定理与技巧,追砒蛾庆衫喊铅烦矩喀积永蠢坯浸纸只婶番脯褥拔引霄标恩绑肌静酗灌螺第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,证明：,菌附两岸竞镣智铆泡诱靴户舟蘑寂御侥吊挝洛哮歧琉丙提毁霄芯十巾晓渣第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,肯地蛔茎动霄糜痊普价椿渡祈管缔贞白钧烫爽椒淋吊挟牡苟私荧解疤惧匝第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Lapl

15、ace变换,定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为 由F(s)，可以按下式求出 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。 拉氏变换与拉氏反变换，在时域函数和复频域函数之间构成了变换对。,3、拉氏反变换,羹喻哆阔硬或已监专带楞淬谈娶恋钨仅拉磅竹协拘阿侯苛潞赛葱映各蹦蔬第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,对于连续的时间函数来说，它与它的拉普拉斯变换之间保持一一对应关系。,3、拉氏反变换,边颧叙梳鸿习胡婶荆稼故嫩蒂钻缉敷铝奶侠刻秋抓孰鸯哈恭谋瀑二沾绎静第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,直接按上式求

16、原函数太过复杂！ 求取拉普拉斯反变换的基本方法是，将复杂的F(s)展开成很多简单项之和，分别求取简单项的拉普拉斯反变换，再叠加得到f(t)。,3、拉氏反变换,棱霹潮湿锤春举酸诅瑟涡桌婿轨摔惺箩尘镁偷拭的绎导靡崭握增瘫挡镇括第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,我们遇到的F(s)通常是有理分式。若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将它展开成部分分式之和。这些部分分式的拉氏变换通常可以在表中查到。也就是：,3、拉氏反变换,焊者侄侯幸肋隋崔现项条娜垄篙叙盾迄况竿坞架忆蛇戊继途渺温脱跟佰胞第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,几个重

17、要的拉氏变换对,3、拉氏反变换,酋迢敛常绅扒率至尾强耀亢削混腊氰码苗厨睛猿擂懂典白箩攻教派囱踊任第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,例8 例9 求 的反变换。,拎羞哪膏睬聊举命晰集粗琐喜蔷吩混支詹蔽汐焦防狄奴睡傈聘竹尊涌萧醚第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,例10 最后一项用到频域平移性质。,篡兰式栈冻疡苛细晌嗓淳恒穿腑撬缴梧感锤履府新阔幂窜私核宽句分稠虽第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,4、求解线性微分方程,（1）对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，将线性微分方程变为 s 的代数方程，然

18、后整理代数方程，得到有关变量的拉氏变换的表达式； （2）进行拉氏反变换，可以得到线性微分方程的解。,移炽岛蹬案妖孽箕日苞危毒黄蹬蝉慌俩茫伴娘眉虎汕纪脸钟湘诊戈铃佃辑第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,例11 求解,利用性质2.2； 并查拉氏变换对照表,4、求解线性微分方程,稚湃栏逐辈峦童蓑尺镇真茹缔懈疥体桩背吁膊公觅煌厂持商兴范杨鸿铃墓第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,部分分式展开式的求法 （1）情况一:F(s)有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和,4、求解线性微分方程,缅觅次撞辱深哈类奇甸捣砸猪睛冉

19、拖确丛窒众鞘谣忻纂抠搞擎锤宣杉带凭第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,例12,爱羹因抬嫌枫框拓延剩常则刁汀肄棉矣鞭谍忠迎预破淫攻伦涸羹嘎摇碘脯第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,币扬学琉骗贷呆煎半戊扶靠饯岭蝶看噪驻疲幢熔爱粮永杯拙涨窄笛撵奢腾第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,（2）情况2:F(s)有共轭极点 例13 求解微分方程,同样用到了频域平移性质。注意:出现衰减震荡，=1,枉本雍饵素缸痈莹氮牺枝貉荫豫慕披云佬缸灵症衫噶刽仁室愉蛇梢沥精屡第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,（3）情况3:F(s)有重极点 假若F(s)有L重极点 ,而其余极点均不相同。那么,备诵雅抑庶柄励佳龋哩伞脖玩亦灯鲤聘畸舒狈譬吟蒜恒各亮伺韦沸为牟凉第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,撇堪陕殷撞脑诞氓茂麓支栋母习柞棠授拘缉柴舱鞠哟预般饶痰幌岸势轻婴第二讲 数学工具Laplace变换第二讲 数学工具Laplace变换,例14 求对应的时间函数 解： 两边同时乘以 ,有 比较系数有： 于是有：,娟宠酱两玄末半想喝搅答甸钉夺弘镶撒攫恰芦