线性代数与空间解析几何(电子科技大)课后习题答案第五单元

1、2 12 11 12 1 1 11 22 2 5.1 34 1.(1) 52 -3-4 :|-|5140 -5-2 7,2 7,()0 4411 5500 1,1 7: 1,1 ,(0) 2,()0 4,5 T T A IA A IA X xx A kk IA X 习题 解 得 的特征值为 当时的系数矩阵为 其基础解系为 对应于的全部特征向量为 当时的基础解系为 2 22 22 12 111 111 222 2: 4,5 ,(0). 0 (2) 0 :|0 , 1)0,()0:1, :1, ,(0) ,()0:1, T T T T A kk a A a a IAa a aiai aaiIA X

2、i Aaikik aiIA X 对应于的全部特征向量为 解 由 得其特征值为 当时时的基础解系为 对应于的全部特征向量为 当时的基础解系为 222 12 1 12 12 1212 :1, ,(0) (2)0,0, ()0 1,0 ,0,1 0: 1,00,1 ,(,) T T TT TT i Aaikik a IA X A kkk k 对应于的全部特征向量为 当时 的基础解系为 对应于的全部特征向量为 不能同时为零 123 11 1 111 222 123 (3)213 336 123 :|213(1)(9)0 336 0,1,9 0,()0 1, 1,1 0: 1, 1,1 ,(0) 1,(

3、)0:1, 1,0 T T T A IA IA X Akk IA X A 解 由 得其特征值为 当时的基础解系为 对应于的全部特征向量为 当时的基础解系为 222 333 3 33 2 123 1:1, 1,0 ,(0) 1 1 9,()0:,1 2 2 9: 1 1 ,1,(0) 2 2 200 (4)110 111 200 :|110(1) (2)0 111 1,1, T T T kk IA X A kk A IA 对应于的全部特征向量为 当时的基础解系为 对应于的全部特征向量为 解 由 得其特征值为 111 111 333 333 2 1(),()0:0,0,1 1:0,0,1 ,(0)

4、 2,()0:1,1,2 2:1,1,2 ,(0). T T T T IA X Akk IA X Akk 当二重 时的基础解系为 对应于的全部特征向量为 当时的基础解系为 对应于的全部特征向量为 22 323 2.,. :, , , , ,. 3.,( ),:( )( ). :, , , ( )( mm mm mm mm n n AA A AA AA A A Af xxff A A AA f Aa Aa 设向量 是方阵 对应于特征值 的特征向量 试求对应于的特征向量 证明 由得 所以为的特征值为对应特征向量 设 是方阵 的特征值是 的多项式 证明是的特征值 证明 设 为 对应于特征值 的特征向

5、量 则 所以 11 1010 11 1010 1 ) ()( ) , ,( )( ). 4. :(0), , 0,0,0,0. , nnn nnn nnnn nnnn Aa Ia AaAa I aaaaaaf ff A AA A A AAAx 故是的特征值 试讨论可逆矩阵 与的特征值与特征向量的关系 解 设为 对应于特征值 的特征向量 则 若则因为 可逆 所以只有零解 与矛盾 故 -111 1 0. 1 ,. 1 ,. 5.,:. :, 11 11 11 ,. A AAA A nAnA An a a Aa a A 所以 故的特征值为特征向量仍然是 设 阶矩阵 的任何一行中 个元素的和都是证明是

6、 的特征值 证明 由于 的任何一行中 个元素的和都是所以 故是 的特征值 2 22 2 2 22 2 2 6.,:1. :, , (1)0, 0,10, ,1. :, , 1, ,1. AIA AA AI AA AI 设证明的特征值只能是 法一 设向量 是 的对应于特征值 的特征向量 由得 因为所以 故只能是 法二 设 为 的任一特征值 则为的特征值 因为所以 故只能是 11 5.2 1.(), 0(),:. :,(), ,0(),0,()1, ,()1, ,() ijn n ij ij AaA aijA AAn aijIAIA nRIAn nRIA 习题 设是上三角矩阵的主对角元素相等 且至

7、少有一个元素证明不能与对角矩阵相似 证 因为 的主对角元素相等 所以的特征值重 又 至少有一个元素因而秩 所以 即特征值 的 1 -1 123123 1 ,. 3.,det0,:. :,(),. 5.: :(,),(,),: 1221122 ,2220221 2121212 A A BnAABBA AAAB ABAABBA ADdiagPP APD APDP 重数 故不能与对角矩阵相似 设都是 阶方阵且证明 证 因为 可逆 所以故 解 由题意知与对角矩阵相似 其中即 所以 1 11 11 11 1 102 1 012 3 220 00 6.,:. 00 :, , 0000 , 0000 000

8、 000 AB AB CD CD AB CDP Q AP BP CQ DQ APP BPP CQQ DQQ PBP QD 设证明 证 因为所以 存在可逆矩阵使得 B0 所以 0D , 00 ,. 00 Q AB CD 即 4 2222 2222 5.3 1.: (1)(2,1,3,2),(1,2,-2,1); (2)(1,2,2,3),(3,1,5,1); ( ,) :arccos | | (1)( ,)2 1 1 23 ( 2)2 10 |21329 |12( 2)1 R 习题 在中求下列向量 与 的夹角 解 向量 与 的夹角为 2222 2222 4 123 10 ( ,)0 arccos

9、arccos | |2910 ( ,)1 32 1253 118 |12233 2 |31516 ( ,)182 arccosarccosarccos | |242 26 2.(1,1, 1,1),(1, 1, 1,1),(R 在中求一单位向量 与 1234 123 1234 1234 1234 21434 314 2222 2,1,1,3). :(,),: ( ,)0,( ,)0,( ,)0,: 0 0 230 41 :0, 33 3:4,7 |( 4)03( 1)26 : 1 ( 4,0, 26 x xx x xxxx xxxx xxxx xxxxx xxx 正交 解 设则由正交性知 即

10、解之得 令得 故所求单位向量为 3,7) 3 12312312 112233 12312123 123 2 3.,324,2 (1),; (2),. :(1),: (324)(2)4(22) (2-2) (2) ( , )191, R xxx k kk 设是的一组标准正交基 且 求与都正交的全部向量 求与都正交的单位向量 解设则为与正交的向量 故所求向量为 由知即 123 123 123 11 11 221 12 3 11 :(22) 33 5.: (1)(1,1,1),(1,2,3),(1,4,9); (2)(1,0, 1),(1, 1, ,1),( 1,1,1,0); :(1)(1,1,1

11、) (,) (1,2,3)2(1,1,1)( 1,0,1) (,) 从而所求单位向量为 用施密特正交化方法将下列向量组分别标准正交化 解 3132 312 1112 1 1 1 2 2 2 3 3 3 11 11 221 12 (,)(,)141 (1,4,9)(1,1,1)4( 1,0,1)(1, 2,1) (,)(,)33 111 (,) | 333 11 (,0,) | 22 121 (,) | 666 (2)(1,0, 1,1) (,)2 (1, 1,0,1)( (,)3 3132 3312 1112 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1,0, 1,1)(1, 3,2,1) 3

12、(,)(,)2211 ( 1,1,1,0)(1,1,1,0)()(1, 3,2,1)( 1,3,3,4) (,)(,)3535 1 (1,0, 1,1) | 3 1 (1, 3,2,1) | 15 1 ( 1,3,3,4) | 35 6.,:. :, ,()(). ,. 7.,1,2,:. :(2)(2) (2)(2)(2)(2 TTTT TTTTT TT TTTT TTTT A BAB A BAAA AI BBB BI AB ABA BBAAIAAAI AB nHIH HHII IIII 设是同阶正交矩阵 证明也是正交矩阵 证 因为是同阶正交矩阵 所以 故 即也是正交矩阵 设 为 维列向量证

13、明是对称的正交矩阵 证 ) 144 ()44, ,. ,( 2)2, . 8.det1,:1. :| | |() | |() | |() | | () | | ( 1) | T TTTTT TTTT TTTT Tn II H HIIHH H AaA IAAAAA AIAAIAI AIAIIAIA 所以是正交矩阵 又即 为对称矩阵 故 为对称的正交矩阵 设 是奇数阶正交矩阵且证明是 的特征值 证 |, ,| 0,1.IAA故即是 的特征值 22 1 232 323 5.4 21 2.3,2,. 35 :det()(2)(3),1,2,52. 2 (1)2,32 23 0 220, 220 T A

14、aCC ACC a I A x xxx xxx 1 习题 设有正交矩阵 使求常数 与矩阵 解由知 x 对 =1,得即 12 0 1 1 010 11 0 22 11 0 22 010 11 (2)2,0 22 11 0 22 3.1,2,3,1,2 ( 1, 1,1) ,(1, 2,1) (1)3; (2). ; TT C C AA A A C 标准正交化得 可得 设三阶实对称矩阵 的特征值是矩阵 对应于的特征向量分别是 求 对应于特征值 的特征向量 求矩阵 解 令 1233123 123 132333 123 1 (,),(,) , 0 (,)0,(,)0,1,(1,0,1) 20 1132

15、5 1 22102 6 35213 T T x xx xxx x xxx ACC 由实对称矩阵性质得 即令解之得 1 12 1 1. (0). :det()0 0, 0(1). 122 2.212 221 (1); (2) nn aaa aaa Aa aaa aaa aaa IAna aaa na nna A A IA 复习题五 求方阵 的特征值 解 特征值是重 和 设 求 的特征值 求的特 22 12 1 12 11 11 1 . 122120 (1)det()21221 1 221221 (1)(45)(1) (5)0 1(2),5. 1 (2)1, 5 1 |1| 0,|()| 0, 5

16、 |1| |(11)()| 0 1 |(1)()| 5 IA A IAIA IAIIA IIA 征值 重 的特征值为故 又 11 1 4 0,|2()| 0,|()| 0 5 4 2. 5 IIAIIA IA 即 故的特征值为 和 1231 23 123 1 12233 123 143123 143 3.31,2,3,(1,1,1) , (1,2,4) ,(1,3,9) ,(1,1,3) , (1),; (2)(). :(1), 1 231,2,2, 491 T TTT n A An xxx xxx xxxxxx xxx 设 阶矩阵 的特征值为对应的特征向量依次为 向量 将 用线性表出 求为自

17、然数 解设即 解得 123 123123 1 21 112233 32 1 22 (2)(22)22 223 111 222 12 2233223 149 223 4., 200 22 , 311 nnnnn nn nnnnnnn nn AAAAA AB AxB 设矩阵 与 相似 其中 1 2 100 020 . 00 (1); (2),. :(1)| |, 200100 22020 31100 (2)(1)2(1)(2)(1) 0,2,120. 200 (2)0,2202 311 y xy PP APB ABIAIB x y xx yxyx xyA 求 与 的值 求可逆矩阵使 解即 令得令得

18、 由得 123 123 1 123 100 ,020 002 1,2,2, (0,2, 1) ,(0,1,1) ,(1,0, 1) 001 ,210 ,. 111 TTT B A PP APB 的特征值 对应的特征向量为 令则 -11 11 12345 1235 5.0,1,2,-1,|. :(0,1,2,-1), , 1 2 | | |! 6. 230 . 0 : nAnnBAIB AdiagnBAB PP BPBP P IBIP PPIPn n xxxxx xxxx x 设 阶矩阵 有 个特征值且矩阵求 解由 故存在可逆矩阵使 求齐次线性方程组 的解空间的一组标准正交基 解 自由向量为 34534512 34512 34512 123 21 11221 11 33 ,1,0,0,0,1, 0,0,1,4,5, 0,1,0,1,1 (0,1,1,0,0) ,( 1,1,0,1,0) ,(4, 5,0,0,1) (,),11 :,( 1,1,0) (,)22 TTT T xxxxxxx xxxxx xxxxx 当时 则 当时