高三数学第一轮复习讲义 空间距离

1、高三数学第一轮复习讲义 空间距离【知识归纳】1、空间距离的求解思路：立体几何中有关距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则）2、空间距离的类型：（1）异面直线的距离：直接找公垂线段而求之；转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解（3）点到平面的距离：垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；体积法：转化为求三棱锥的高；等价转移法。（4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为

2、求点到平面的距离。（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点A、B间的距离的步骤： 计算线段AB的长； 计算球心角AOB的弧度数； 用弧长公式计算劣弧AB的长。【基础训练】（1）已知正方体ABCD- A1B1C1D1的棱长为，则异面直线BD与B1C的距离为_ _。（2）等边三角形的边长为，是边上的高，将沿折起，使之与所在平面成的二面角，这时点到的距离是_ _；（3）点P是120的二面角-内的一点，点P到、的距离分别是3、4，则P到的距离为_ _；（4）在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P

3、到棱A1B1与棱BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为_ _。（5）长方体的棱，则点到平面的距离等于_ _；（6）在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则A1到平面MBD的距离为_ _。（7）设地球半径为，在北纬圈上有两地，它们的纬度圈上的弧长等于，求两地间的球面距离； （8）球面上有3点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3点的小圆的周长为，那么这个球的半径为_ _；（9）三棱锥的三个侧面两两垂直，若四个点都在同一球面上，求此球面上两点A、B之间的球面距离。【例题选讲】： BPACEFO【例】如图，在正三棱锥PABC中，侧棱长为，底面边长为，E是BC

4、的中点，EFPA于F。（）求证：EF为异面直线PA与BC的公垂线段；（）求异面直线PA与BC间的距离。ACBA1B1C1【例】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB，BCCAAA1，设A1在底面ABC上的射影为O（）点O能否与B重合？试说明理由。（）若O在AC上，求BB1与侧面ACC1A1的距离；（）若O是ABC的外心，求【例3】在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，（）求点A到平面BD1的距离；（）求点A1到平面AB1D1的距离；AA1DCBB1C1D1O1GOE（）求平面AB1D1与平面BC1D的距离；（）求直线AB到平面CDA1B1的距离。【例4】 在直三棱柱ABCA1B1C1中

5、，AB1BC1，AB=CC1=a，BC=b.（1）设E、F分别为AB1、BC1的中点，求证：EF平面ABC；（2）求证：A1C1AB；（3）求点B1到平面ABC1的距离.【例5】ABCEA1GFD平面内边长为a的正三角形ABC，直线DEBC,交AB、AC于D、E，现将ABC沿DE折成600的二面角，求DE在何位置时，折起后A1到BC的距离最短？最短距离是多少？【巩固练习】：1.正方形ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，则：（1）点C到面AB1C1的距离为_；（2）点B到面ACB1的距离为_；（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为_；（4）面AB1C与面A1DC1的距离为_；（5）点B到直线

6、A1C1的距离为_。2已知AB是异面直线、的公垂线段，点A、B分别在直线、上，AB,异面直线、所成的角为300，在直线上任取一点P，使得PA，则点P到直线的距离为3将锐角为600的菱形ABCD沿较短的对角线BD折成600的二面角，则AC与BD间的距离为4已知AD是边长为的正ABC的边BC上的高，沿AD将ABC折成直二面角BADC后，点B到AC的距离为 （ ）AA1DCBB1C1D1M(A) (B) (C) (D) 15如图：在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABa，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离为（A）(A) (B) (C) (D) PABCD6如图，四棱锥PABCD中，PD底

7、面ABCD，PDAD,设点C到平面PAB的距离为d，点B到平面PAC的距离为d2，BC到平面PAD的距离为d3,则有（D）(A) d3d1d2 (B) d1d2d3 (C) d1d3d2 (D) d2d1d3 7.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点（1）求证：AF平面PECPABCDFE（2）若AD=2，CD=,二面角PCDB为450，求点F到平面PEC的距离DPABCMN8.如图：ABCD是边长为2a的正方形，M、N分别是AB、AD的中点，CP平面ABCD，PCa（1）求证：BD平面PMN；E（2）求点B到平面PMN的距离。【简解】由MNMD可

8、以得：BD平面PMN（2）证明到：MN平面PCE.过O作OHPE于H，OHMN证明OH平面PMN。由BD平面PMN得：OH为的长为B到平面PMN的距离。由三角形EHO和三角形ECP相似可得：OH9.棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中。点P、Q分别为棱CD、C1D1的中点，求P点到平面A1QC1的距离。【简解】如图：求解P点到平面A1QC1的距离即为求P点到平面A1DC1的距离法一：体积法利用三棱锥PA1C1D的体积三棱锥A1PC1D的体积来求解。易得：【注意】在计算三棱锥的体积法时，要合理选择顶点和底面，要求顶点到底面的距离能够很方便的表示出来，底面三角形的面积能够很方便的求解。OAA1

9、DCBB1C1D1.MPQL解法二：直接法：如图：取AD的中点L，易证：LP平面A1C1D又平面B1BDD1平面DA1C1M点在平面A1C1D的垂面B1BDD1内P到平面A1C1D的距离等于M点到平面A1C1D的距离。过M作MH交线DO,易证MH平面A1C1D。则MH就是所求的距离。易得：MHAABCmC1DA1B110.已知ABCA1B1C1是直三棱柱，ABC900，BAC300，AC=AA1=a，过A、B1、C三点的平面交平面A1B1C1于直线m（1）试问A1C1与直线m的位置关系怎样？（2）求点A到直线m的距离【简解】由AC平面A1B1C1可得：A1C1直线m（2）作A1D直线m于D，由

10、三垂线定理：AD直线m易得：A1D=AD11平面外一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，则该直线与这个平面（C）(A)一定平行(B)一定相交(C)平行或相交(D)一定垂直【变题1】平面外不共线的三点A、B、C到平面的距离相等，则平面ABC与平面的位置关系为（C）(A)一定平行(B)一定相交(C)平行或相交(D)一定垂直【变题2】已知空间四边形ABCD，要作一平面使得A、B、C、D四个点到该平面的距离相等，这样的平面共可以作出几个？（个）【变题】已知线段AB在平面外，A、B两点到平面的距离分别为和，则线段AB的中点到平面的距离为【提示】答案：或。分A、B两点在平面的同侧和两侧两种情况进行讨论。

11、12在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,PA平面ABCD，则点P到对角线BD的距离为（B）(A) (B) (C) (D) 【简解】利用三垂线定理求点线距。过A作AHBD于H，连PH为所求若三棱锥PABC中，过P点的三条侧棱两两垂直，长都是，则底面上任意一点到三个侧面的距离之和为【提示】答案：。利用体积法可以求得。14.已知的大小是600，AB，CD，且AB于A，CD于C，ABACCDa求：（1）B、D间的距离；（2）D到AB的距离。正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为1,M、M1分别为棱BC、B1C1的中点，求直线AM与平面A1M1C的距离。已知正三角形ABC的边长为，PA平面ABC，P

12、A2，D、E、F分别为BC、DC、AC的中点，求直线AD到平面PEF的距离。17. 解：过D作DEAB于E，则BCDE为正方形，CE与BD交于O，则CEBD故COE为二面角C-BD-A的平面角所以COE=60，17解：由斜线相等，射影相等知，P在底面的射影为ABC的外心O，又ABC为Rt，外心在斜边中点，故PO=【参考答案】【基础训练】（答：）（答：）（答：）（答：抛物线弧）（答：）（答：a）（答：）（答：）（答：）【例题选讲】：【解答】：（）连接AE、PE，因为E是BC的中点AEBC，PEBC，BC平面PAEEFBC,又因为EFPA于F，EF为异面直线PA和BC的公垂线段。（）过P作PO平面

13、ABC，则O为ABC的中心则有AEAB，PO由AEPO=APEF得EF【解答】：（）不能。若O与B重合，则A1BA为RT，AA1为斜边。而AA1=1, AB,矛盾。（）O在AC上，平面AC1平面ABC，又ABC为等腰RT，BCCA，BC平面AC1，BC就是BB1与平面AC1间的距离，又BC故BB1与侧面ACC1A1的距离为（）若O为ABC的外心，则O为AB的中点，且平面A1ABB1平面ABC,CO平面A1ABB1,而A1O=.从而可求得体积为： 【简解】：（）易证：AO平面BD1AO即点A到平面BD1的距离。为（）易证A1E平面AB1D1,则A1E为点A1到平面AB1D1的距离。A1E解法二：

14、本题也可利用三棱锥A1AB1D1的体积等于三棱锥D1AA1B1的体积来求解。（）易证A1C平面AB1D1,A1C平面BC1D,设直线A1C分别交平面AB1D1、平面BC1D与点E、E，则EF的长为平面AB1D1与平面BC1D的距离。于是：EF（）因为直线AB平面CDA1B1，点B到平面CDA1B1的距离BG就是所求的距离（G为BC1与B1C的交点，BGB1C,BGCD,直线BG平面A1BCD)，此距离BG=【解题回顾】求距离的一般步骤是：一作，二证，三计算。即先作出表示距离的线段，再证明它就是所求的距离，然后再计算，其中第二步证明过程再解题中应引起足够的重视。求距离的问题体现了化归与转化的思想

15、，一般情况下需要转化为解三角形。等积法（等面积、等体积）是求距离（点到线、点到面）的常用方法，要注意灵活运用。（1）证明：E、F分别为AB1、BC1的中点，EFA1C1.A1C1AC，EFAC.EF平面ABC.（2）证明：AB=CC1，AB=BB1.又三棱柱为直三棱柱，四边形ABB1A1为正方形.连结A1B，则A1BAB1.又AB1BC1，AB1平面A1BC1.AB1A1C1.又A1C1AA1，A1C1平面A1ABB1.A1C1AB.（3）解：A1B1AB，A1B1平面ABC1.A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离.过A1作A1GAC1于点G，AB平面ACC1A1，ABA1G.

16、从而A1G平面ABC1，故A1G即为所求的距离，即A1G= .7.已知l是过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，（1）求证：D1B1l；（2）若AB=a，求l与D1间的距离.（1）证明：D1B1BD，D1B1平面ABCD.又平面ABCD平面AD1B1=l，D1B1l.（2）解：D1D平面ABCD，在平面ABCD内，由D作DGl于G，连结D1G，则D1Gl，D1G的长即等于点D1与l间的距离. lD1B1BD，DAG=45.DG=a，D1G=a. 【分析】：设法把折起后A（A1）到BC的距离表示为某个变量的函数，把问题转化为研究函数的最值问题。【解

17、答】：如图：在ABC中,作AFBC于F,交DE于G。DEBC,AGDE,折起后有A1GDE.A1GF为二面角A1DEB的平面角即A1GF=600,连接A1FDE平面A1GF,BC平面A1GF,从而BCA1F即A1F为折起后A到BC的距离。设A1G(0xa )则GFa在三角形A1GF中，由余弦定理可得：A1F2a(0xa )当时，A1F有最小值。【巩固练习】：【评析】答案：。本题关键是怎样添作辅助平面和辅助线；运用面面垂直的性质和三垂线定理得到所求的距离，再通过解RT求出距离。【提示】设菱形的对角线交于O，折叠后AOC=600，易证AC与BD间的距离为AOC的边AC的高。答案：（C）【提示】BD

18、平面ACD，过D点作DHAC，垂足为H，则BH为B到直线AC的距离。AA1DCBB1C1D1M【评析】在立体几何解题中，求点到直线的距离，经常先找出过该点到直线所在平面的垂线，然后利用三垂线定理作出点到线的距离，在三角形中求解。【提示】解法一：可用体积法：A1到平面MBD的距离等于A到平面MBD的距离。解法二：取BD的中点O，则平面AMO平面MBD，过A点作MO的垂线，垂足为H，则AH就是A到平面MBD的距离。【提示】d1，d2，d3PABCDFEGH【分析】证明线面平行，应该用判定定理，即在平面PEC内找一条直线与AF平行，而求点到面的距离要确定垂足的位置或者用体积法求解。【解】取PC的中点G，证