定积分的性质.ppt

1、4 定积分的性质,一、定积分的基本性质,性质1 若f在a,b上可积，k为常数，则,kf在a,b上也可积，且,证 当k=0时结论显然成立.,（1）,当 时,由于,首页,由定义,即kf在a,b上可积，且,从而,其中 因此当f在a,b上可积时,任给,首页,合起来即为,若fg都在a,b可积，,则f在a,b上也可积，且,证明与性质类同.,注1 性质与性质是定积分的线性性质，,其中 、 为常数.,性质,首页,则另外一个在a,b 上可积.,注2 在f，g，h=f + g(或f - g)三个函数中，,只要有任意两个在a,b上可积，,在f，g，h=f + g(或f - g)三个函数中，,只要有一个在a,b上可积

2、，一个在a,b上不可积，,则另外一个在a,b上必不可积.,性质 若fg都在a,b上可积，,则f g在a,b上也可积.,首页,对于a,b上T 所属的每一个,令 （表示把 的所有分割点合并而成的一个新的分割T ）.,有,且，（否则f、g中至少有一个恒为零值函数，,由f、g都在a,b上可积，从而都有界，,于是f、g亦为零值函数，结论显然成立）.,设,任给由f、g可积，必分别存在分割 、 ，使得,证,首页,利用3习题第1题，可知,这就证得f g在a,b上可积.,首页,思考 有没有相除后可积的性质？,若fg都在a,b上可积，|f(x)|m0,x a,b,f在a,c与c,b 上都可积， 此时又有等式,注

3、在一般情形下,则 在a,b上可积.,事实上，由条件可证 在a,b上可积(本节习,题第7题).再由性质3知 在a,b上可积.,性质4 f在a,b上可积的充要条件是：任给 ，,首页,给 分别存在对a,c与c,b的分割 ，,充分性由于f在a,c与c,b上都可积，故任,使得,由此证得f在a,b上可积.,现令 它是a,b的一个分割,且有,证,首页,存在对a,b的某分割T,使得 在T上再增加一个分点C,和c,b的分割,记为 和 ,则有,得到一个新的分割 由3习题第1题,又有,这就证得f在a,b和b,c上都可积.,已知f在a,b上可积,故任给,分割 在a,c和c,b上的部分,分别构成对a,c,必要性,首页,

4、因此当 （同时有 ）时,在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3).,为此对a,b作分割T,恒使点C为其中的一个分点,这时T在a,c与c,b上的部分各自构成对a,c与,对上式取极限,就得到(3)式成立.,c,b的分割,分别记为 由于,首页,当 时,(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性.,注 性质4及公式(3)称为关于积分区间的可加性.,如图9-10所示,曲边梯形AabB的面积,等于曲边梯形AacC的面积与CcbB的面积之和.,首页,大小顺序都能成立.例如，当 abc时，只要f在,时才有意义,而当a=b或 ab时本来是没有意义的.,但为了运用上的方便,对它作如下规定:,有了这个规定之后，等

5、式（3）对于a、b、c的任何,a，c上可积，则有,按定积分的定义,记号 只有当ab,规定1 当a=b时，令,规定2 当ab时,令,首页,和都为非负.由f 在a,b上可积，则有,则,性质5 设f为a,b上的可积函数.若,（4）,证 由于在a,b上 ，因此f 的任一积分,首页,推论（积分不等式性）若f与g为a，b上的两,知道F在a,b上可积，且由性质5推得,不等式（5）得证.,个可积函数，且 ，则有,（5）,证 令 ，由性质2,首页,从而证得在a,b可积.,（推论），即证得不等式（6）成立.,性质6 若f在a，b上可积，则 在a，b上,也可积，且,（6）,某分割T，使得 由绝对值不等式,可得知 于

6、是有,再由不等式 应用性质5,证 由于f在a,b上可积，故任给 ，存在,首页,注 这个性质的逆命题一般不成立，例如,在0,1上不可积（类似于狄利克雷函数）；但,它在0，1上可积.,首页,例1 求 其中,解 对于分段函数的定积分，通常利用积分,区间可加性来计算，,首页,改为由3习题第3题知道这一改动并不影响f在-1，0,上的可积性和定积分的值.,注2 如果要求直接在-1，1上使用牛顿一菜布,尼茨公式来计算,这时F(x)应取怎样的函数？,注1 上述解法中取 其中,被积函数在x=0处的值已由原来的,读者可对照2习题第3题来回答.,首页,则为右邻域或左邻域），,例2 证明:若f在a,b上连续，且,则由

7、连续函数的局部保号性，存在x0的某邻域,使在其中由性质4和性质5推知,证 用反证法.倘若有某x0a,b使,首页,注 从此例证明中看到，即使f 为一非负可积函数，,个较难证明的命题，读者可参阅6习题第7题.）,这与假设 相矛盾.所以,（至于可积函数必有连续点，这是一,只要它在某一点 处连续，且 则必有,首页,一、积分中值定理,定理9.7 （积分第一中值定理）,证 由于f在a,b上连续，因此存在最大值M和,则至少存在一点 ，使得,（7）,最小值m.由 ,使用积分不,等式性质得到 或,若f在a,b,上连续，,首页,使得,这就证得（7）式成立.,积分第一中值定理的几何意义,若f在a,b上非负连续，则y

8、=f(x)在a,b上的,再由连续函数的介值性，至少存在一点,如图9 11所示，,首页,注 把定理中f在a,b上连续，减弱为f在a,b,定理结论为：,若f在a,b上可积，,则存在 使,个数的算术平均值的推广.,在区间a,b上所有函数值的平均值.,为底的矩形面积.而 则可理解为,这是通常有限,上可积.,首页,性质7中的f( )与这里的 都可看作函数,从而有,事实上，由 ， ，有,令 ，则,且 .,在区间a,b上所有函数值的平均值.,首页,解 所求平均值为,定理9.8（推广的积分第一中值定理）若f与g都在,a,b上连续，且g(x)在a,b上不变号，则至少存在,一点a,b，使得,（当g(x)=1时，即为定理9.7.）,例3 试求 在0， 上的平均值.,（8）,首页,证 不妨设g(x)0，xa,b，这时有,其中M、m分别为f在a,b上的最大、最小值.由定,积分的不等式性质，得到,对任何a,b，（8）式都成立.,由连续函数的介值性，必至少有一点a,b，使,若 则由上式知 从而,若 则得,得 这就证得（8）式成立.,首页,注1 类似于定理9