微分方程建模的若干问题讲稿.ppt

1、微分方程建模的若干问题,微分方程模型的建模基本步骤,翻译或转化 . 在实际问题中，有许多表示导数的常用 词，例如 “速度”、“速率”、 “增长率”、“衰变率”、“边际”等等，要会进行翻译成未知函数的导数工作。针对语言叙述的情况，找出其中涉及的原则或物理定律，转化为文字方程。,（2）建立瞬时表达式 . 在自变量有微小变化时，建立各 种因变量变化量之间的相等或近似相等关系，然后令 自变量微小变化量趋于零，得到上述相等或近似相等 关系的瞬时表达式，即微分方程。,(3) 配备相同单位 . 在建模中应注意相同的量，应采用 同样的单位。等式的左右两边，各种量的最后运算结 果，应是相同的复合单位。 (4)

2、确定定解条件 . 找出关于系统在某一特定时刻或边 界上的信息，它们独立于微分方程而成立。在微分方 程解出后，利用它们来确定有关常数，这些常数包括 比例系数，微分方程中的参数，或（和）解中的积分 常数。,一、常微分方程建模实例,盛水的容器底部有一小洞，水通过该小洞流出，需时多 少水能流完？,容器中液体流完所需时间的计算模型,建模过程 设在任何时刻 t , 水面高度为 y = y(t) , 该高度处容器的截面积 S 为高度 y 的已知函数 S = S(y) .,记初始时刻水面高度为 h , 即 y(0) = h . 考察时段 t , t +t 内，液面高度变化导致液体体积的 改变量近似值为 : S

3、 ( y ) y ( t ) y ( t +t) .,根据托利策利定理，水流出小洞的速度 v 与水面高度 y 应有关系：,设容器出口面积为已知常数 A , 容器的收缩比为 c， 在时 段 t , t +t 内流出的液体体积近似值为：,流出液体体积的近似值应等于容器中液体体积减少近似 值，故有：,。,练习1：如果容器为一个锥形漏斗，锥顶角为 45 度，锥 高为 10 公分，容器收缩比为 0.745, 锥孔面积为 A = 0.25 cm2 , 求出装满漏斗的液体流完所需时间为多少？ 练习2：牛奶装在聚乙烯软袋中，牛奶在 B 点的一个小洞 倒出，空气由 A 点剪开的小洞入，由于 A 点有洞，奶袋 限

4、定有一个不变的最大倾角 = 10 o，流出孔面积 B = 0.258 cm2 ,容器收缩比为 c = 0.745 , 牛奶容量为 V = 0.568 升， 袋高 a = 12.7 cm , 袋宽 b = 15.2cm, 求牛奶流 完所需的时间。,B,A,提示：开始时，牛奶可分成两部分，上部近似于一 个斜椭圆柱，其底面积近似于一个面积为 S0 的椭圆；,下部近似于一个底面积为椭圆 S0 的斜椭圆 锥 。,参考答案 T 27.7 秒 。,y(t),y = y(x) 曲线,( 0, at ),(x(t),y(t),( c, 0 ) x(t),设 曲线 y = y(x) 为拦截导弹的拦截轨道线,导弹拦

5、截轨道模型 一枚战略导弹从原点以速度 a 沿 y 轴方向直线射出，（1）与此同 时， 另一枚拦截导弹 从（c , 0）点以速度 b（b a）追踪射出。 求出拦截导弹的拦截轨道和击落战略导弹所需时间。 (2) 如果拦截导弹滞后于战略导弹时刻 T0 发出 ，建立这时的轨线 模型, 再求出这种情况下拦截导弹击落战略导弹所需时间。,（1）在点,处追及 ，耗时,两边对 x 求导：,香烟燃烧中摄入人体的毒物总量计算模型,将一支香烟吸完后，毒物被吸入人体的总量是多少？,建模假设：(1) 假定烟草和过滤嘴长度分别为 l 1 和 l 2 , 香烟总长为 l = l 1 + l 2 ；,(2) 毒物随烟雾进入空气

6、和沿香烟穿行的数量 比例为常数 a 和 a , a + a = 1 ;,(3) 烟雾穿行的速度为常数 v , 香烟燃烧速度为常数 ；,(4) 未燃烧的烟草和过滤嘴对毒物的吸收率（ % / 秒）分 别为常数 b 和 ；,(5) 毒物总量为 M (毫克) ，均匀分布在烟草中。,时刻 t 在香烟长 x 处单位长度烟草中的毒物含量为 w ( x , t ) (毫克 / 厘米) ；,毒物在香烟抽完后，被吸入人体的总量为 Q (毫克) ,建模过程 定义：时刻 t 在香烟长 x 处单位时间内通过 的毒物量为 q ( x , t ) ( 毫克 / 秒 ) ；,（1）先求出对任意时刻 t 时的毒物流量函数：,q

7、 ( x , t ) , t x l ;,当 l 1 x l 时，在微小段 x , x+x 中， 时间 t 内的毒物吸收量 q ( x , t ) - q ( x+x , t ) q ( x , t ) t,当 t x l 1 时，在微小段 x , x+x 中， 时间 t 内的毒物吸收量 q ( x , t ) - q ( x+x , t ) b q ( x , t ) t,取香烟的一小段 x , x +x ,故毒物流量(毫克/ 秒)方程：,在 x = t 处 ，点燃的烟草在单位时间内放出的毒物量 记为 H(t) , 则有,因此，香烟燃烧端毒物密度（函数）：,(2) 再求出香烟尾端毒物流量（函

8、数）,(3) 为求出 q (l , t) ， 需求出（，）：,考察烟草截面处在时间内毒物密度的增加量 （，）（，）， 由质量守恒，这个量应等于单位长度烟草在烟雾通过时 毒物被吸收部分的量，故有：,（秒（毫克秒）（厘米秒）秒）,对此方程积分：,以代入，再两端乘以,并记,得：,(4)最后计算摄入人体的毒物总量:,人工肾通过一层医用薄膜与需要带走废物的血管相通. 人工肾中通以某种液体, 其流动方向与血液在血管中的 流动方向相反, 血液中的废物透过薄膜单向渗透进入 人工肾.,人工肾工作模型,试建立人工肾在单位时间内带走废物数量的计算模型， 并说明藉此模型如何利用实测数据将医用薄膜的物理性质 如渗透率等

9、 测定出来， （ 即进行数学模型中的参数测 定工作）。,ku : 血管中血流速度 (cm / s ) kv ： 人工肾中流速 ( cm / s ),血管,人工肾,x x+dx,建模假设： (1) 设血管和人工肾中液体的流速 ku 和 kv 均为常数 ; 人工肾总长度为 L ；,1. 先利用微分方程方法建立计算模型 .,(2) 废物从血管进入人工肾的渗透速度与它在血管中的 浓度和人工肾中的浓 度之差成正比，比例系数为 常数 （1 / s ) ;,建模过程 u(x) : 在点 x 处，血管中的废物浓度( g / cm ); v(x) : 在点 x 处，人工肾中的废物浓度( g / cm ),ku

10、: 血管中血 流速度 (cm / s ) kv ： 人工肾中 流速 ( cm / s ),血管,人工肾,x x+dx,在血管的微小段 x , x + x 上，利用微元法，应有：,这小段中，单位时间内血管中废物减少量 ( g / s ) = 单位时间内血管中废物排出量 ( g / s ),而 等式左端 = ku u ( x ) - u ( x + x ) ，,等式右端 = 在单位时间内单位长度废物排出量 乘以该小段长度 x,于是有： ku u ( x ) - u ( x + x ) = u ( x ) v ( x ) x,因为根据假设，在单位时间内单位长度废物排出量与 薄膜两侧的废物浓度成正比

11、，,故在单位时间内单位长度废物排出量 = u ( x ) v ( x ) ( g / s cm ),对人工膜一侧有类似的结论 : 在单位时间内,血管中废物增加量 = 血管中废物进入量 ( g / s ),等式左端 = kv v ( x ) - v ( x + x ) ,等式右端 = u ( x ) v ( x ) x,kv v ( x ) - v ( x + x ) = u ( x ) v ( x ) x,ku u ( x ) - u ( x + x ) = ( u ( x ) v ( x ) x kv v ( x ) - v ( x + x) = (u ( x ) v ( x ) x,ku

12、u(x) = - ( u ( x ) v ( x ) ) kv v(x) = - ( u ( x ) v ( x ) ),这样，联立起来有：,利用 Mathmatica 软件求解此微分方程组 ：,运用定解条件 u (0) = u 0 , v (L) = 0 ，,所以，单位时间内带走废物的总数量：,再说明如何利用实验的实测数据来确定这种医用薄膜 的渗透率 ,用面积为 s 的薄膜将容器分成体积分别为 VA 与 VB ( VA VB ) 的两部分，在这两部分中分别注入该物质 的两种不同浓度的溶液，在 VB 中测出不同时刻 t1 , t2 , , tn 时的物质溶液的浓度 CB( t 1 ) ，CB(

13、 t2 ) ， , CB( t n ) , 拟利用这些实测数据由此来测出该医用薄膜 的渗透率 。,实测数据为： VA = VB = 100 cm3 , s = 10 cm2 ti 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000,CB( t i ) 4.54 4.99 5.35 5.65 5.9 6.1 6.26 6.33 6.5 6.59,建模过程 : 在 t , t + t 时段上，A 侧物质质量减少 数为：VA CA( t ) - CA( t +t ) ,A 侧向 B 侧渗透物质质量数为： s v t = s CA( t ) CB( t ) t ,由质量守

14、恒定律,B 侧物质质量增加数为 ：VB CB( t +t ) - CB( t) ,渗透到 B 侧物质质量数为：s CA( t ) CB( t ) t,其中 CA( 0 ) = c1 和 CB( 0 ) = c2 分别是开始时薄膜 两侧的溶液浓度 。,利用 Mathmatica 软件求解此微分方程组,其中,（ = 0.01012 , b = 0.003 ）,或者，对 b , k 运用最小二乘法 ：,原模型的解具体为,其中,问题变成 ：,合理确定用药时间间隔的问题 病人开处方中用药的剂量（单位：毫克 / 毫升）已知时，相应的 每次用药时间间隔（单位：小时）的确定是一个十分重要的问题。 一般而言，药

15、物在体内的浓度低于已知数量 L 时药性会无效，而 高于已知数量 H 时则会发生危险。 根据药理学的临床研究以及相关文献记载，可以假定：药物在体内因吸收而导致药物浓度随时间减少的变化率大小（绝对值）的对数值与当时的药物浓度数量成正比 建模假设 。 如给药方式为静脉注射时，试建立此时的数学模型并由此确定出,（1）每隔 T 小时药用剂量为 Q 毫克 / 毫升时，体内药物剩余浓度 的最终极限值 U ； （2）最佳用药时间间隔 T 的确定方式（计算公式）。,记 u（t）：药物在体内的浓度 ； T ：用药时间间隔,模型：,求解：,第一次用药后最终残余药物浓度 ：,第二次用药最初时刻时的药物浓度 ：,第二次

16、用药后的时段 （T , 2T ) 内微分方程模型 ：,第二次用药后的时段 （T , 2T ) 内的药物浓度 ：,第二次用药后最终残余药物浓度 ：,第三次用药最初时刻时的药物浓度 ：,第三次用药后时段 （2T , 3T ) 内的微分方程模型 ：,第三次用药后的时段 （2T , 3T ) 内的药物浓度 ：,第三次用药后最终残余药物浓度 ：,用归纳法，类似可得第 n 次用药后最终残余药物浓度 ：,（1）每隔 T 小时, 药用剂量为 Q 时，体内药物剩余浓度的最终 极限值,为了确定最佳用药时间间隔，应考虑：,一次用药量尽可能充分 ， 即,每次用药时间间隔尽可能长， 但必须应保证,即,（2）最佳用药时间

17、间隔 T 的计算公式为,野猪的生态管理问题 一、某森林地区有野猪生存。在自然环境中，已知野猪的数量降 到数量 a 以下, 野猪就会灭绝；而野猪数量超过数量 b 以上， 野猪就会因疾病和缺乏足够食物而下降到 b 。 现在，该地区野 猪数量已偏多，影响到该地区村落居民的正常生活和农作物生 长，地区管理部门决定发放捕猎野猪许可证，用以控制该森林地 区的野猪 数量（一张许可证只能捕猎一头野猪）。 （1）试建立一个野猪在自然环境中繁衍的数学模型； （2）求解（1）中数学模型，并借此预测长时间后野猪数量将 是多少； （3）为了野猪不致灭绝而使当地生态环境受到破坏，管理部门 应发放多少张捕猎野猪许可证？,二

18、、若该地区在某天突然发生地震，导致地震后的生存环境变差； （1）这时自然繁衍数学模型将如何变化？ （2）从地震前某时刻开始到地震后某时刻终止，试画出“地震前后” 野猪数量曲线图，藉以说明野猪的数量在环境变化影响中是如何变动的。 （3）针对地震对野猪生态环境的不同影响，结合你们建立的数学 模型，讨论管理部门应部署何种必要的管理措施，采取何种 合适的生态管理对策，写出一份给当地管理部门的建议报告。,记野猪数为,表示在 t 时刻，野猪每天增加（减少）头数,模型求解,一、（1）在自然环境中繁衍的数学模型：,根据题意， 野猪的数量降到数量 a 以下, 野猪就会灭绝 ；,而野猪数量超过数量 b 以上，野猪就会下降到 b ；,i),时，,，,将递减趋于零，且在时刻,时 ，,一、（2）长时间后野猪数量的变化趋势,ii),时，,将随 t 趋于