数学建模荒山种树

1、【针对问题】为了比较人们投资荒山种树经济收益与银行储蓄收益多少，今儿找出最优化的方案，使得相同的投资得到最高的收益。【问题背景】由于荒山闲置浪费，投资荒山开发种树，以可再生资源的开发以适度为原则，就是在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最大效益，树木成长之后，砍伐过多会造成资源破坏，砍伐太少又得不到满意的经济效益，下面通过模型试图寻找二者平衡点。【模型一】1. 模型的假设 *假设荒山上没有树，栽种Y棵树。 *忽略树木自身的繁殖，新增树木就是年初植树的量2. 初步模型建立 设x(t)为树木t时刻的数量，此时的增长率r=B+G-D其中B为t时刻的出生率，可以忽略，G为种植率，D为自然死亡率，x

2、(t)表示t时刻某范围内树木的数量，当数量较大时，可以将x（t）看作t的连续函数。X(t)的变化仅与r有关。 考虑到环境约束的制约作用，一定存在一个环境容量Xm定义为该树木在该森林种的可容纳最大数量。即 增长率r应该受Xm的制约，近似假设： R=a（1-X/） 其中 X/可解释为已消耗资源比例，剩余资源 1-X/体现环境阻力的大小，a 为比例系数有经验值及大量数据确定。此时，数字模型可如下建立 在森林模型里，需要进一步考虑人工砍伐的情况。假设砍伐率为H(x)的图像，两图形的交点就是平衡点。首先考虑一种简单情况，就是不考虑剩余树木的多少，砍伐率为常数，即H（x）=H。下图横坐标x为树木总量，纵坐

3、标代表树木的变化率dx/dt 二次函数g（x）与H(X)的交点设为，（）(1) .当0x时，所以，这时候随着时间的延续，树木总量x会减少。这时候需要适当下调H(x)，使得左移，保证x(2) .当x0,随着时间的延续，树木总量会增加。(3) .当x0，随着时间的延续，树木总量会减少，但是如果减少到以下，又会符合（2）条件，树木总量又会增加。综合（2），（3）可以得到，树木总量如果满足一定初试条件会稳定在附近。最终达到稳定。显然，二次函数最大值为，H(x)不能超过，否则，树木总量会不断减少，过度砍伐最终树林会被砍光。所以H（x）有极限值=事实上，树木砍伐量不会不变，比较直观的想，数多的时候多砍伐一

4、些，树少的时候少砍伐一些。我们可以假设砍伐率H(x)=Ex这时，在做总量与变化率的关系的曲线得到 相对来说比较合理，两曲线除零点以外，只有一个交点。当x0，树木总量会增加。当x时都有0，树木总量会减少。所以时间足够长，参数变化不大的时候树木总量会稳定在，容易求得 当E减少时，树木的稳定量会增加。但是考虑到经济效益，不可能将E减小到太小。需要一定的H（x）保证经济收入，下面将通过模型的深入研究经济状况对树木采伐量的影响。同样的，采伐量H（x）存在一个最大值，当且仅当直线H（x）与g（x）的最高点相交仍然有 = 得到结论时一年最大砍伐量为 3. 模型的深入研究首先了解几个经济学概念劳动边际产量：增

5、加的一单位劳动所引起的产量增加量。边际产量递减：一单位投入的边际产量随着投入的增加而减少的性质。但伐木工人少的时候，他们可以很容易找到相对容易的可以砍伐的树，随着工人的增加，增加的工人不得不砍伐比较难砍伐的树木，或者很难找到适合砍伐的树（数需要符合一定条件才能砍伐）。总之，工作效率会下降，所以每个增加的工人的贡献越来越少。假设劳动力数量为n，工人工资为w元/人，木材价格为c元/立方米。林场总利润为P（不考虑植树成本）。单位劳动力每年的砍伐量为M（n）（立方米），遵循边际产量递减理论，假设在n不太大（n）的时候可以假设 的选择视具体情况而定，应满足 我们首先近似的取第一个假设模型（工人数量较少）

6、 所以总利润： P=产值-总工资 = =kc-wn当=，利润p去最大值，伐木量H(x)=n一般来讲伐木量对应的伐木率H(x)应小于上面讨论的H如果计算出的H(x)H，或者工人数量较多，则应按照后一个假设模型求解。 P=产值总工资 = =c当n=时，利润取得最大值，伐木量，此时雇佣工人量为当工人工资w上升时，n下降，少雇佣工人，但木材价格c上涨，要多雇佣工人，获得更大的产量。4. 小结：该模型中单位劳动力为每年的砍伐量为M（n）（立方米）。其表达式是根据边际产量递减原理估计出来的。当然还可能有其他的估计方法，本模型中只讨论了两种比较简单的情况。另外，本模型除了工人工资，没有考虑其他的成本，比如车辆的运输，和企业的赋税等等。最重要的没有考虑森林的环境效益，只考虑了经济效益。模型2将考虑更多方面的因素，建立更加细致的模型。【模型2的建立与求解】1. 模型假设 森林里树龄从1岁到50岁，新种树为0岁，50岁以上的树木会自然死亡2. 模型的初步建立 假设代表的t年，年龄为k的树木数量。K=0、1、2、3、. .50。如果知道第t年各年龄组的树木数量，各