w02-03平面汇交力系力偶系.ppt

1、,第二章 平面汇交力系 第三章 力矩与平面力偶理论,2,2-1 平面汇交力系合成与平衡-几何法,2-3 平面汇交力系合成与平衡-解析法,2-2 力在坐标轴上的投影,第二章 平面汇交力系,平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。,引 言,研究方法：几何法，解析法。,例：起重机的挂钩。,力系分为：平面力系、空间力系,平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平 行力系。,静 力 学,2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,一、合成的几何法,1.两个共点力的合成,合力方向由正弦定理：,由余弦定理：,由力的平行四边形法则合成，也可用力的三角形法则合成。,静 力 学,2.

2、 任意个共点力的合成 ( 力多边形法）,先作力多边形,再将R 平移 至 A 点,即：平面汇交力系的 合力等于各分力的矢量和， 合力的作用线通过各力的 汇交点。,即：,结论：,推广至 n 个力,静 力 学,6,2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,一、平面汇交力系合成的几何法,已知：平面汇交力系 F1，F2，F3，F4,求：合力 FR,F1,F1,F1,F2,F3,F4,FR,F2,F3,F4,FR,F2,F3,F4,FR,FR1,FR2,FR1=F1+F2,FR2=FR1+F3,FR=FR2+F4,=F1+F2+F3,=F1+F2+F3+F4,力多边形,作力多边形时，不必画出 FR1.FR2

3、,可任意变换各分力矢的次序,7,结论:平面汇交力系可简化为一合力,其合力的大小与方向 等于各分力的矢量和(几何和),合力的作用线通过汇交点。,推广:设平面汇交力系包含n个力,以FR表示合力矢，则有,特殊情况：如力系中各力的作用线都沿同一直线，则此力系称为共线力系它是平面汇交力系的特殊情况，该力系合力的大小与方向决定于各分力的代数和，即,2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,二、平面汇交力系平衡的几何条件,在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：,平面汇交力系平衡的充要条件是：,静 力 学,在平衡时，力多边形最后一力的终点与第一

4、力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。,9,例：门式刚架，在B点受一水平力F=20kN，不计刚架自重。求支座 A、D 的约束力。,解法一：,1.取刚架为研究对象,2.画受力图,3.按比例作力三角形,4.量得,2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,a,b,F,FD,10,例：门式刚架，在B点受一水平力F=20kN，不计刚架自重。求支座 A、D 的约束力。,解法二：,1.取刚架为研究对象,2.画受力图,3.作力三角形,4.由几何关系得,2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,几何法（图解法）解题步骤： 选研究对象；作出受力图； 选择适当的比例尺，作力多边形; 求出未知数。,图解法解题不

5、足： 精度不够，误差大 作图要求精度高； 不能表达各个量之间的函数关系。,下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。,静 力 学,12,一、力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式,力在轴上的投影:Fx和Fy为代数量,力F沿轴分解:Fx和Fy 为矢量,称为力的解析表达式,如已知投影Fx和Fy，则力F的大小和方向余弦为,2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,13,静力学,二、合力投影定理,由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：,合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。,即：,14,二、平面汇交力系合成的解析法,根据合矢量投影定理,FR,已

6、知：F1，F2，F3，Fn。,由上节知：,求合力FR。,2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法,15,例：F1=2kN，F2=3kN，F3=1kN，F4=2.5kN，用解析法求合力。,取坐标系Axy。,合力方向:,合力大小:,FR,2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法,解：,16,三、平面汇交力系平衡的解析法,该力系平衡的必要和充分条件是:,该力系的合力FR 等于零。,欲使上式成立，必须同时满足,平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：,称为平面汇交力系的平衡方程。,各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。,2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法,17,例已知 P=2kN （具体看书）求SCD

7、 , RA,由EB=BC=0.4m，,解得：,；,解：研究AB杆；,列平衡方程求解：,取Axy直角坐标轴；,受力分析：,静 力 学,18,例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。,2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法,19,1.取滑轮B为研究对象,2.画研究对象的受力图,3.列平衡方程,4.解方程,FBC为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同，即杆BC受压。 FBA为负值，表示这力的假设方向与实际方向相反，即杆AB也受压力

8、。,2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法,解：,例 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？,由得,解：研究球体；,受力分析：如图；, 选Axy直角坐标轴；,列平衡方程求解：,由得,静 力 学,又：,例 求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h,解： 研究块,受力如图，,解力三角形：,静 力 学,再研究球，受力如图：,作力三角形,解力三角形：,NB=0时为球离开地面,静 力 学,1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时，采用几何法求解（解力三角形）比较简便。,解题技巧及说明：,3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只含有一个未知量。,2、对于受多个力作用的

9、物体，且角度特殊或不特殊，都采用解析法求解。,静 力 学,5、用解析法解题时，力的指向可以任意假设，如果求出为 负值，说明力的指向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出为负值，说明物体受力为压力。,4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。,静 力 学,25,3-1 平面力对点之矩的概念及计算,一、力对点之矩（力矩）,点O：矩心,距离h:力臂,力对点之矩是一个代数量，,力F 对于点O的矩以MO(F )表示，即,显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它 对矩心的力矩等于零。,力矩的单位常用 Nm 或 kNm 。,它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，,其正负按下法确定：,力使物体

10、绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。,26, 是代数量。,当F=0或d=0时， =0。, 是影响转动的独立因素。, =2AOB=Fd ,2倍形面积。,静力学,3-2 力矩、力偶的概念及其性质,说明：, F,d转动效应明显。,单位Nm。,27,二、合力矩定理与力矩的解析表达式,合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。,上式适用于任何有合力存在的力系。,3-2 平面力对点之矩的概念及计算,28,静力学,定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和 即：,二、合力矩定理,由合力投影定理有：,证,od=ob+oc,又,29,

11、力矩的解析表达式,已知力F，作用点A（x,y）及夹角。,力F 对坐标原点O之矩,或,上式为平面内力矩的解析表达式。,合力FR对坐标原点之矩的解析表达式,3-3 平面力对点之矩的概念及计算,30,例：作用于齿轮的啮合力Fn=1000N，节圆 直径D=160mm，压力角=20。求啮合力Fn对 于轮心O之矩。,（1）应用力矩计算公式,解：,（2）应用合力矩定理,h,3-3 平面力对点之矩的概念及计算,31,例 已知：如图 F、Q、l, 求： 和,静力学,解：用力对点的矩法 应用合力矩定理,32,3-3 平面力偶,一、力偶与力偶矩,力偶：两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成 的力系。,记作（F，

12、F）,d 称为力偶臂,力偶所在的平面称为力偶的作用面。,33,两个同向平行力的合力 大小：R=Q+P 方向：平行于Q、P且指向一致 作用点：C处 确定C点，由合力距定理,静力学,三、平面力偶及其性质,力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。,性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。,34,静力学,两个反向平行力的合力 大小：R=Q-P 方向：平行于Q、P且与较大的相同 作用点：C处 （推导同上）,35, 性质2 力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而 与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶 矩度量。,静 力 学,定义： 力偶矩,36,讨论：, m 是代数

13、量，有+ 、- ；, F、 d 都不独立，只有力偶矩 是独立量；, m 的值 m =2ABC 的面积；, 单位：N m,静 力 学,37,静力学,性质3：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。,证,设物体的某一平面 上作用一力偶(F,F),现沿力偶臂AB方向 加一对平衡力(Q,Q),Q,F合成R，,再将Q,F合成R，,得到新力偶(R,R),38,静力学,比较(F,F)和(R,R)可得,m(F,F)=2ABD=m(R,R) =2 ABC,39,二、同平面内力偶的等效定理(证明法二),定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两

14、力偶彼此等效。,已知：M（F0,F0）=M（F,F）,证明:（F0,F0）与（F,F）等效,证明：,分别将F0，F0移到点A，B。 然后分解。,显然，F1，F1，F2，F2 与（F0,F0）等效。,F1,F1 是一对平衡力 可以除去，,F2,F2组成一新力偶，,且 与（F0,F0）等效。,3-3 平面力偶,40,ACB和ADB同底等高，面积相 等，于是得,由假设知,因此有,由图可见:,（F2,F2）和（F,F）有相等的力偶臂d和相同的转向 。,于是得,可见力偶（F2,F2）与（F,F）完全相等。,又因为力偶（F2,F2）与（FO,FO）等效，,所以力偶（F，F）与（FO，FO）等效。,3-3

15、平面力偶,41,由此可得推论,（1）任一力偶可以在它的作用面内任意移动，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。,（2）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以 同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。,3-3 平面力偶,42,三、平面力偶系的合成和平衡条件,1.平面力偶系的合成,F1,F1,F3,F3,d1,F2,F2,d,d2,d,F4,F4,F,A,A,B,B,=,=,F,由于F与F是相等的，构成了与原力偶系等效的合力偶（F，F）,以M表示合力偶的矩，得,3-3 平面力偶,43,2.平面力偶系的平衡,平面力偶系的平衡方程。,如果有两个以上的平面力偶，都可按照上述方法合成。即在同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。,由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平