第2章-控制系统状态空间表达式的解.ppt

1、2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解),2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,2.3 线性定常系统非齐次方程的解,2.4 线性时变系统的解,2.5 离散时间系统状态方程的解,2.6 连续时间状态空间表达式的离散化,2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解),所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由 运动。此时，状态方程为齐次微分方程：,(1),若初始时刻 时的状态给定为 则式(1)有唯一确定解：,(2),若初始时刻从 开始，即 则其解为：,(3),证明 和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解 为 的矢量,幂级数形式，即,(4),既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意

2、时刻 都成立，故 的同次 幂项的系数应相等，有：,在式(4)中，令 ，可得：,将以上结果代入式(4)，故得：,(6),等式右边括号内的展开式是 矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为 ，即,(7),于是式(6)可表示为：,再用 代替 即在代替 的情况下，同样可以证明式2) 的正确性。,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,2.2.1 状态转移矩阵,齐次微分方程(1)的自由解为：,或,1性质一,这就是组合性质，它意味着从 转移到0，再从0转移到 的组合。,2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质,即,2.性质二,3.性质三,4.性质四,这个性质说明， 矩阵与A矩阵是可以交换的。,5.性质五,对于

3、 方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有 而当ABBA是，则,这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各目的矩阵指数函 数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。,2.2.3 几个特殊的矩阵指数函数,1若 A 为对角线矩阵，即,(5),2.若 A 能够通过非奇异变换予以对角线化，即,3.若 A 为约旦矩阵,则,(8),4.若,(9),1.根据 的定义直接计算,2.变换 A 为约旦标准型,（1）A 特征根互异,其中 T 是使 A 变换为对角线矩阵的变换阵。由式（7），有：,2.2.4 的计算,2.2.4 的计算,2.2.4 的计算,2.2.4 的计算,2.2.4 的计算

4、,3.利用拉氏反变换法求,(10),证明 齐次微分方程,两边取拉氏变换,即,故,4.应用凯莱哈密顿定理求,对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：,（1）由凯莱哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即,所以有,同理,以此类推， 都可用 线性表示。,(2)在 定义中，用上面的方法可以消去 A 的 n及 n以上的冥次项， 即,（11）,（3） 的计算公式,A的特征值互异时，则,证明 根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值 和 A 是 可以互换的，因此， 也必须满足式（11），从而有：,（12）,上式对 求解，记得式（12）。,A 的特征值均相同，为 时，则,证明 同上，有：,(13

5、),上式对 ，求异数，有：,再对 求异数，有：,重复以上步骤，最后有：,由上面的n个方程，对 求解，记得公式（13）。,2.3 线性定常系统非齐次方程的解,现在讨论线性定常系统在控制作用 作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵微分方程：,当初始时刻 初始状态 时，其解为：,式中， 。,（1）,（2）,当初始时刻为 ，初始状态为 时，其解为：,式中， 。,（3）,证明 采用类似标量微分方程求解的方法，将式（1）写成：,等式两边同左乘 ，得：,对式（4）在 上间积分，有：,整理后可得式（2）：,同理，若对式（4）在 上积分，即可证明式（3）。,式（2）也可从拉氏变换法求得，对式（1）进行拉氏变换，有：,即,上式左乘 ，得：,（5）,注意式（5）等式右边第二项，其中：,两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即,以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得 ：,在特定控制作用下，如脉冲函数