信号与系统第二章_连续时间系统时域分析(青岛大学).ppt

1、第二章 连续时间系统的时域分析,2.1 引言,2.2 微分方程的建立与算子表示法,2.6 卷积,2.7 卷积的性质,2.3 微分方程的经典解法,难点：起始点的跳变(从0-到0+状态的转换),2.4 零输入响应与零状态响应,2.5 单位冲激响应 的求解,线性时不变连续时间系统的激励 e(t) 与响应 r(t) 之间的关系，可用以下线性常系数微分方程描述。,系统分析的任务就是求解这个n 阶非齐次线性常微分方程。,2.1 引言,（卷积积分法）,1. R、L、C 元件端口电压与流经电流的约束关系,（一）微分方程的建立,2.2 微分方程的建立与算子表示法,2. 电路的电流、电压约束关系（KVL、KCL）

2、,解：,消去中间变量 ，得,方程阶数等于电路阶数（独立储能元件的个数）。,（二）微分方程的算子表示法,参考P692.8节,微分算子,积分算子,称为系统的传输算子,传输算子是系统数学模型的另一种形式。,例：,1. 算子符号的运算规则,（1） 算子多项式可进行因式分解或由因式相乘展开。,例：,（2） 等式两端的公共因子不能随意消去。,例：,不等价于,（3）,2. 借助算子符号建立微分方程,广义阻抗,多余的共公因子可消去,总结： （1）引入算子符号后，RLC 电路可借助纯电阻电路的分析方法； （2）是否可消去公共因子的原则：微分方程的阶数应等于电路 阶数（独立储能元件的个数）。,2.3 微分方程的经

3、典解法,（1）求齐次解,特征方程, 齐次解,（2）求特解,在响应求解区间 t 0 内，,设,完全解,（3）从 到 状态的转换,将 代入方程右端，得,则在 内，,设,则,自由项,冲激函数匹配法,（4）由 状态确定待定系数,全响应,代入,1、齐次解：由特征方程求出特征根写出齐次解的形式。,（一）经典法求解微分方程步骤：,齐次解,3、全 解=齐次解+特解，由 状态定出齐次解系数。,2、特 解：根据激励函数式形式，设含待定系数的特解函数 式代入原方程，比较系数定出特解。,（1）系统的完全响应=自由响应+强迫响应；,（2）微分方程的齐次解称为系统的自由响应，它由系统本身的特 性决定； 特征方程的根称为系

4、统的固有频率，它决定了系统自由响应 的全部形式；,（3）特解称为系统的强迫响应，它只与激励函数的形式有关。,（二）起始点的跳变从0-到0+状态的转换,1. 实际电路,条件：没有冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于C； 没有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于L。,当系统用微分方程表示时，系统的0-到0+的状态有没有 跳变取决于微分方程右端有无冲激函数 及其各阶导数项。,2. 用微分方程描述的系统冲激函数匹配法,P48 例2-5：如右图所示电路，t0开关S处于1的位置且电路已经达到稳态；当t=0转向2。建立i(t)的微分方程，并求i(t)在 时的变化。,解：（1）列写微分方程,（2）求系统的完全响应,齐

5、次解：,特征方程,特征根,齐次解,设 ，将其代入微分方程，得,系统的全响应为：,（3）确定换路后的,方法一：由电路原理图求,方法二：冲激函数匹配法,特解：,换路后,换路前,方法一：由电路原理图求,方法二：冲激函数匹配法,自由项,则在 内，,设,则,全响应,（4）确定系统t0+的全响应,2.4 零输入响应与零状态响应,LTI系统响应的另一种分解形式,满足：,（一）零输入响应的求解,（a）,（b）,系数Azik可直接由 来确定。,没有外加激励信号的作用，仅由起始状态 （起始时刻系统储能）所产生的响应。,系统的起始状态为零，仅由外加激励信号 所产生的响应。,例：已知描述某二阶LTI连续时间系统的动态

6、方程,起始状态 ，激励信号,求系统的零输入响应。,特征方程,特征根,零输入响应,将起始状态代入，得,零输入响应为,解：,时间起点：t=0时刻,（二）零状态响应的求解,满足：,（a）,（b）,例 ：如右图所示电路，求零状态 响应 。,解：,，,其待定系数 需由 来确定。,冲激函数匹配法求 :,自由项,将 代入微分方程右端，得,则在 内，,设,则,自由响应,瞬态响应 稳态响应,强迫响应,全响应,回到教材 P48 例 2-5,（三）零状态响应的卷积法求解,作用于系统产生的零状态响应,线性,线性,时不变性,激励 分解为冲激函数之和,记为,LTI系统的零状态响应 分解为冲激响应之和,（四）对系统线性的进

7、一步讨论,常系数线性微分方程描述的系统的线性包含以下三层含义：,（a）响应的可分解性 完全响应 =零输入响应 +零状态响应,（b）零输入线性 当系统有多个初始状态时，零输入响应 对各个初始状态呈线性关系。,（c）零状态线性 当系统有多个激励时，零状态响应 对各个激励呈线性关系。,2.5 单位冲激响应 的求解,单位冲激响应：单位冲激信号 作用于系统产生的零状态 响应，以 表示。,（a）,满足：,（b）,内，,解：,满足：,内，,冲激函数匹配法确定,解：,内，,利用冲激函数匹配法求 。,设,则,总结：,对,（2）,当 时， 中无冲激函数项；,当 时， 中将含有 及其各阶导数项,和 的关系：,单位阶

8、跃响应：单位阶跃信号 作用于系统产生的零状态 响应，以 表示。,LTI系统：,（一）卷积积分的定义,一般地，两函数的卷积积分定义为,卷积的基本计算方法：图解法。,2.6 卷积,固定函数,滑动函数,（二）卷积的图解法计算,（1）先将e(t)和h(t)的自变量t 改成 ，即：,（2）将其中的一个信号反褶，,（3）时移：,步骤：,（4）相乘：,（5）对乘积后的图形积分：,难点：积分上、下限的确定,例1：已知信号e(t)与h(t)如下图所示，求,解：,t,t-2,（1）当 时，,（2）当 时，,重合区间,（3）当,重合区间,即 时，,（4）当 ，即当 时,重合区间,（5）当 ，即 时，,若参与卷积的两个信号不含有 等，则卷积的结果必定为一个连续函数；且左边界等于左边界之和，右边界等于右边界之和。,解：,（1）当 t 0 时，,（2）当 t 0 时，,需要记忆的几个卷积：,（一）卷积代数,（1）交换律,（2）分配律,e(t),2.7 卷积的性质,分配律用于系统分析：并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。,（3）结合律,结合律用于系统分析：串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。,e(t),（2）积分特性,（3）微分、积分特性,条件：,（