大连海事 电磁场课件 (1.电磁场数学基础).ppt

1、2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,1,2012年3月4日,电磁场理论,房少军 教授、博导,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,2,1 电磁场数学基础,0 绪论1 电磁场数学基础2 麦克斯韦方程3 静电场4 恒定电场5 恒定磁场6 交变电磁场7 平面电磁波8 导波系统9 各向异性媒质中的电磁波,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,3,1.1矢量的基本概念（复习）,1 电磁场数学基础,标量:,温度、压力、密度、质量、时间和电位等为标量。,矢量：既有大小又有方向的物理量。斜体字母加箭头表示，如 。,力、速度、电场强度和磁

2、场强度等为矢量。,矢量的模是一个标量，可表示为 或 。,单位矢量：模等于1的矢量。表示为 。,与 矢量同方向的单位矢量表示为 。,只有大小的物理量。用斜体字母表示，如A 。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,4,1 电磁场数学基础,三维空间里的矢量表示,矢量 与x轴、y轴、z轴的夹角分别为、，单位矢量 为,为,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,5,1 电磁场数学基础,1. 位置矢量与距离矢量,位置矢量或矢径,距离矢量,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,6,1 电磁场数学基础,1.2 矢量的代数运算,矢量加减法,

3、矢量的标量积,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,7,1 电磁场数学基础,矢量的矢量积,表示矢量 方向上的单位矢量。,矢量 与 的矢量积是矢量，记为 。其方向垂直于矢量 与 的平面，其大小等于 的模和 的模与两个矢量之间夹角 的正弦的乘积），即,注意：矢量积满足分配律，不满足交换律和结合律。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,8,1 电磁场数学基础,直角坐标系中坐标单位矢量满足：,可以证明：,矢量公式：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,9,1 电磁场数学基础,设有变量t和矢量 ，如果对于t在某个范围内的每一个值

4、，都有一个确定的矢量 与之对应，则称矢量 为变量t的矢量函数，记作 。,显然三个分量 、 、 都是t的标量函数。,若对于空间域上的每一点都对应着某个物理量的一个标量或一个矢量，则称此空间域确定了这个物理量的场。,场有矢量场、标量场、时变场与静态场等。,1.3 矢量函数与场,场的概念,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,10,1 电磁场数学基础,1.4 矢量函数的导数,考虑静态的矢量场：,偏导数：,矢量函数的全微分,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,11,1 电磁场数学基础,矢量函数求导规则,2020/8/4,Copy right By Dr

5、.Fang,12,1 电磁场数学基础,1.5 矢量函数的积分,矢量函数的线积分,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,13,1 电磁场数学基础,矢量函数的面积分,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,14,1 电磁场数学基础,矢量函数的体积分,作业：1.1，1.2,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,15,1 电磁场数学基础,1.6 标量场的方向导数与梯度,标量场,(即 )处：,(即 )处：,增量df，根据全微分概念，有：,位移矢量：,考虑把 df 写成位移矢量与另一个矢量 的点积：,显然有,2020/8/4,Copy

6、right By Dr.Fang,16,1 电磁场数学基础,归纳如下：,当然位移矢量 也可表示为：,由此可得：,则增量则可表示为：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,17,1 电磁场数学基础,即：,表示f 沿l方向的距离变化率，即f 沿l方向的导数。,因此标量场f 在某处沿l的方向导数为该处矢量 在方向l上的投影。,单位矢量可用方向余弦表示：,则方向导数 可写为：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,18,1 电磁场数学基础,矢量 的物理意义,分析方向导数：,标量场f 取得最大方向导数的方向就是 的方向。我们把矢量 称作f 的梯度，记作gr

7、adf。,标量场 求梯度，变为矢量函数。某点梯度的模就是标量场在该点的最大方向导数值，梯度方向就是最大方向导数方向。,例，登山有无数个上山的方向，其中一个方向坡度最陡峭，即走过同样距离而上升的海拔高度最大，该方向即登山的梯度方向，沿这个方向攀登所得到的高度变化率是梯度的值。,与l方向的夹角为零，f 的方向导数值最大，即 的绝对值。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,19,1 电磁场数学基础,从P点出发攀登同一高度，PQ方向的距离最短。,沿PQ方向（垂直于等高线），斜率最大；沿其他方向，如 ，则斜率较小。,地图等高线表示在同一曲线上所有位置的地势是等高的。,等高线愈密

8、，地势愈陡峭；等高线愈疏，地势愈平。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,20,1 电磁场数学基础,梯度的性质,（1）某点梯度的方向总是指向该点场量值增大最快的方向。,（2）标量场中某点的梯度总是与过该点的等值面（线）垂直。,标量场在等值面（线）上任取一小位移dl，显然有：,考虑,所以,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,21,1 电磁场数学基础,哈密顿算符,为方便引进哈密顿算符：,重要公式,读作del或nabla，可将 看成矢量，梯度可写为：,梯度运算公式,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,22,1 电磁场数学基

9、础,例1-2 ，求,例1-3， 求 。,解：根据梯度公式：,解：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,23,1 电磁场数学基础,1.7 矢量场的散度,面积微元矢量：有大小有方向的面积微元。其方向是沿绕行方向按右手螺旋规则的大拇指所指方向。,其中 、 、 是 在三个坐标平面上投影。,矢量场的通量,以流体流量为例。流速是矢量，与空间位置有关，即空间每一点的流速是不一样的，因此可称为流速场。先不考虑它与时间的关系，可记为,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,24,1 电磁场数学基础,在S上任取一点M，包围M的面积微元为dS，沿法向通过面积微元dS的

10、流量（即通量）：,单位时间穿过整个曲面S的流量Q,通量：矢量场 沿曲面S指定一侧的曲面积分,被称作矢量 穿过曲面S指定一侧的通量。,上式表示从封闭曲面S内穿出的矢量的正通量与从封闭曲面S外穿入的矢量的负通量的代数和。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,25,1 电磁场数学基础,封闭曲面上矢量的通量,封闭曲面面积微元矢量方向为外法线,积分0，通量为正，必有矢量线穿出S，S内有发出矢量线的源。,积分0，通量为负，必有矢量线穿入S，S内有吸收矢量线的汇。,积分=0，通量为零，穿入S的矢量线与穿出S的矢量线数量相等。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fa

11、ng,26,1 电磁场数学基础,代表单位时间穿过曲面的磁通量。,通量的物理意义,代表单位时间穿过曲面的流量；,代表单位时间穿过曲面的电通量；,穿过封闭曲面上的通量则表示在封闭曲面内是否存在向外扩散的源或汇，如电荷等。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,27,1 电磁场数学基础,矢量场的散度（divergence）,矢量场的通量是积分量，只反映整个闭合曲面内源（或汇）的情况，不能说明在封闭曲面内某点源（或汇）的情况。,散度定义：,显然，矢量场的散度是一个标量函数。,物理意义：散度是通量体密度。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,28,1 电

12、磁场数学基础,直角坐标系散度计算公式推导,取直角六面体微元为,，,，,，,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,29,1 电磁场数学基础,将Ax用泰勒级数展开：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,30,1 电磁场数学基础,略去高阶项，保留前2项：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,31,1 电磁场数学基础,同理可得,矢量场通量为,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,32,1 电磁场数学基础,矢量场通量为,带入散度定义式：,点P(x0, y0, z0)可任意选取，因此直角坐标系散度可写为,重

13、要公式,用哈密顿算符来表示散度,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,33,1 电磁场数学基础,主要散度运算公式,，c为常矢量,，c为常数,作业：1.3，1.8,散度公式,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,34,1 电磁场数学基础,散度定理(高斯定理 ),封闭曲面S所包围的体积V分成N个体积微元 , , , ,其表面积分别为 , , , ，根据散度定义，有,改写为,将所有的面积分相加,整理，有,重要公式,作业：1.4,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,35,1 电磁场数学基础,1.8 矢量场的旋度,通量和散度反映矢

14、量场与扩散源之间的关系，而环量和旋度则反映矢量场与漩涡源的关系。,1.8.1环量,高数的曲线积分表示为,将P、Q、R视为直角坐标系中矢量的三个分量，则有：,式中 ，,l为闭合曲线时，,称作矢量场 沿曲线l的环量。,选择环量绕行方向的方法,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,36,1 电磁场数学基础,首先确定闭合曲线所包围曲面的法线方向，绕行方向与法线方向之间满足右手螺旋关系。,环量的物理意义,环量表示矢量场中存在着一种不同于通量源的源漩涡源。,若矢量场是作用在物体上的力，则其环量为物体绕曲线移动一周时，该力所作的功。,电场强度的环量是沿闭合回路的电动势。,2020/8

15、/4,Copy right By Dr.Fang,37,1 电磁场数学基础,1.8.2旋度（rotation）,环量描述矢量场在一个范围的漩涡源特性，而旋度则用来说明某一点的漩涡源特性。,仿照通量体密度，给出环量面密度定义如下：,闭合路径 是有方向的，闭合回路包围面元 的法线方向与 的方向成右手螺旋关系。显然，环量面密度是标量。,分析：环量面密度不仅与位置有关，也与路径 的方向有关， 而且一定存在着一个方向使环量面密度达到最大值。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,38,1 电磁场数学基础,矢量场旋度的定义,旋度表示某点最大环量面密度大小和所在方向，反映了矢量场在该

16、点漩涡源的强度和方向。,记为,注：与 的绕向符合右手法则。,矢量场 在某点取得最大环量面密度的方向为该点矢量场 的旋度的方向，所取得的最大环量面密密度为该点矢量场 的旋度的大小。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,39,1 电磁场数学基础,旋度计算公式推导,先考虑x分量,其中 ，l在yoz平面。,围绕点P(x0, y0, z0) 作平行于yoz面的小矩形C1，面元为：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,40,1 电磁场数学基础,投影到路径C1四个线段上的矢量场 只存在z分量和y分量。,考虑 和 均很小，在四个线段上，场分量可视为常量。令其

17、为线段中点处的场分量值，有,，,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,41,1 电磁场数学基础,采用泰勒级数展开并略去高阶项的方法，可得,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,42,1 电磁场数学基础,按照同样的方法，可以得到 的分 y 量和 z 分量：,1 电磁场数学基础,直角坐标系的旋度计算公式为：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,43,重要公式,旋度可以用哈密顿算符表示,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,44,1 电磁场数学基础,旋度运算的主要公式,1.8.3斯托克斯定理,重要公式,

18、它反映矢量场沿闭合曲线的环量与该闭合曲线所包围面积上的漩涡源之间的关系。如安培环路电流定律。,作业：1.5,1.6,1.7,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,45,1 电磁场数学基础,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,46,1 电磁场数学基础,1.9 场函数的二阶微分运算及重要定理,1.9.1对标量场的梯度求旋度,有梯无旋,物理含义：一矢量场 无旋（即保守场），则对应一标量场 f（位函数），该位函数梯度即为该无旋场 。,负号是人为加入的，它不改变 的无旋性。,对应无旋场的标量位函数有无数个，它们之间相差一个常数。,静电场的电场强度、重力场

19、的重力都是无旋场，它们分别对应标量位函数和势能。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,47,1 电磁场数学基础,1.9.2 对矢量场的旋度求散度,有旋无散,物理含义：一矢量场 无散，则对应另一矢量场 （矢量位函数），矢量位函数旋度即为无散矢量场 。,无源场的矢量位函数不是唯一的，它们相差一标量函数的梯度。,例如,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,48,1 电磁场数学基础,1.9.3 拉普拉斯算符,对标量场函数 f 求梯度后再求散度，有,称为拉普拉斯算符，可视为两个哈密顿算符点积的结果。,2020/8/4,Copy right By Dr.F

20、ang,49,1 电磁场数学基础,拉普拉斯算符不仅可以作用于标量函数，而且也可用于矢量场。,泊松方程,如果矢量场 无旋，有,如果矢量场 无扩散源，有,则,拉普拉斯方程,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,50,1 电磁场数学基础,1.9.4 亥姆霍兹定理,散度是矢量场某点的通量体密度，代表通量源的强度；旋度是矢量场某点的最大环量面密度，代表漩涡源的强度。,一个矢量场被其散度、旋度和区域边界上的边界条件（边界上的切向或法向边界条件）唯一确定。,矢量场的唯一性定理表明，空间任一区域内的矢量场被该区域内的源（包括通量源与漩涡源）和该区域表面的边界条件唯一地确定。,然而，唯一

21、性定理没有给出矢量场与其散度及旋度之间的定量关系。,矢量场唯一性定理,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,51,1 电磁场数学基础,亥姆霍兹定理：空间有限区域内V 任一矢量场 均可以表示为一个无旋场 和一个无源场 之和，即,式中标量 f 和矢量 分别为,亥姆霍兹定理表明，对空间有限区域内的矢量场，由它的散度、旋度和边界条件（即区域边界面上的场分布）唯一地确定。所以对有限区域内的矢量场，要讨论它的散度、旋度和边界条件。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,52,1 电磁场数学基础,空间无限区域的亥姆霍兹定理,在无限大空间，只要知道矢量场的散度和

22、旋度，矢量场就能唯一地确定下来。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,53,1 电磁场数学基础,1.9.5 格林定理,设标量函数w和u具有连续二阶导数，令矢量函数 为,根据散度定理,格林第一定理,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,54,1 电磁场数学基础,格林第一定理,将w和u互换，得,两式相减，有：,格林第二定理,格林定理的意义,1.将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解；,2.可以用格林恒等式证明电磁场中的重要定理和公式。,另外还有矢量格林第一、第二定理。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,55,1 电磁场

23、数学基础,1.10 正交曲线坐标系,已经推导出直角坐标系下梯度、散度和旋度公式，在圆柱坐标系和球坐标系中如何呢？,圆柱坐标系,球坐标系,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,56,1 电磁场数学基础,图1.10.1正交曲线坐标系,1.10.1基本概念,正交曲线坐标(u1, u2, u3),u1C1（常数） u2B1（常数） u3D1（常数）,正交曲线坐标系单位坐标矢量： ， ， 。,任一点的三个曲面均正交。,正交曲线坐标系的特点？,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,57,1 电磁场数学基础,1.10.2正交曲面坐标系中的线元、面元和体元,需要

24、说明，曲线坐标u1、u2、u3 本身的量纲不一定是长度。,设对应互相正交的曲线坐标轴( , , )方向的线元为：,线元与曲线坐标 (u1, u2, u3)之间的关系为：,h1，h2，h3叫度量系数或拉梅系数。,例如圆柱坐标系的 ，球坐标系的 。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,58,1 电磁场数学基础,正交曲面坐标系中任意一个位移微元可表示为：,h1，h2，h3叫度量系数或拉梅系数。,不同的正交曲线坐标系具有不同的拉梅系数。如何得到拉梅系数h1，h2，h3呢？,直角坐标系中线元就是坐标微元，即,因此直角坐标系的拉梅系数h1、h2、h3均为1。,2020/8/4,C

25、opy right By Dr.Fang,59,1 电磁场数学基础,既然直角坐标系的拉梅系数已知，则可根据正交曲线坐标系中任意一种坐标系的坐标与直角坐标系坐标之间的关系，推出任一正交曲线坐标系的拉梅系数。,直角坐标系坐标变量(x, y, z)与任一正交曲线坐标系坐标变量(u1, u2, u3)之间的关系可写为：,直角坐标系线段微元dx与任意正交曲线坐标系线段微元的关系为：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,60,1 电磁场数学基础,空间任何一条曲线上线元矢量 在直角坐标系中可表示成：,同理可得,求正交曲线坐标系中坐标曲线u1上的线元长度dl1,2020/8/4,Co

26、py right By Dr.Fang,61,1 电磁场数学基础,在正交曲线坐标系的坐标曲线u1上，du2du30，du10，将这些条件代入到dl中，即可得到dl1 。,空间任何一条曲线上线元矢量 在直角坐标系中可表示成：,求正交曲线坐标系中坐标曲线u1上的线元长度dl1,已知,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,62,1 电磁场数学基础,这样就可以求得拉梅系数h1，即：,已知,即,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,63,1 电磁场数学基础,用相同的方法可以求得拉梅系数h2和h3，为：,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,64,1 电磁场数学基础,正交曲线坐标系的面积元和体积元,显然:,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,65,1 电磁场数学基础,例1-4 求如图1.10.2所示的圆柱坐标系的拉梅系数。,2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,66,1 电磁场数学基础,解：直角坐标系和圆柱坐标系的坐标之间的变换关系为：,显然,(i=1,2,3),2020/8/4,Copy right By Dr.Fang,67,1 电磁场数学基础,2020/8/4,Copy right B