学习高等数学有思想障碍的请看.ppt

1、第一节直与曲,第二节常量与变量,第三节连续与间断,第四节有限与无限,第五节抽象与具体,第六节局部与整体,第七节偶然性与必然性,高等数学中的辩证思想方法,退出,第一节 直与曲,直与曲是两个完全不同的数学概念. 从直观形象看，前者平直后者弯曲；从几何特性来看，前者曲率为0，后者曲率不恒为0；从代数表达式来看，前者是线性方程，后者是非线性方程. 因此, 直与曲的差别是明显的, 那么这两个差别如此显著的对立概念是否存在内在联系，能否在一定条件下互相转化呢？,恩格斯曾经指出，“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定条件下直线和曲线应当是一回事.”,高等数学正是利用直与曲以及其它一些矛盾的转化达到了

2、初等数学所不能达到的目的.,返回,从高等数学的思想方法中可以看出，直与曲除了有非直即曲的一面，也存在亦直亦曲的一面. 存在直与曲之间的中介状态，通过这个中介状态实现直与曲的转化. 比如，曲线的渐近线是指, 在曲线无限延伸时与一条定直线“无限接近，但永不相交”, 其数学表达式如下确定:,设曲线为yf（x），其渐近线为y = k xb， 则,问：对于任意大的正数X, 曲线y=f(x)上 当X 时的那一部分是曲线还是直线？,返回,答案当然应该是曲线，因为这部分是整个曲线yf（x）的一部分，这部分上每一点的曲率都不为0. 但它又很象直线，而且延伸越远就越象直线, 虽然每点曲率均不为0，但在延伸过程中，

3、曲率无限趋近于0. 因此，在无限延伸部分就很难分出它是直线还是曲线，可以说它是“亦直亦曲”，是直线与曲线之间的一种中间状态. 既是带有直线性质的曲线，也是具有“曲”性的“直线”，是直与曲对立的“中介”，它处于“亦直亦曲”的状态.,返回,在高等数学中，利用直与曲的这种中介状态, 实现局部范围内的“以直代曲”，是高等数学中的一种基本的辩证思想方法.,例1求曲边梯形的面积.,第一步：化整为零. 首先，把曲边梯形的底边任意分成n段，然后以每一小段为底边，用平行于y轴的直线把曲边梯形分割成n个小的曲边梯形.,第二步: 以直代曲. 在每个小曲边梯形中把曲边看成直边，于是就可以用这些小“直边矩形”的面积近似

4、地代小曲边梯形的面积. 这样在分割的条件下实现了局部的“以直代曲”.,返回,第四步：取极限. 通过取极限，再把分割无限加细，近似程度会越来越高，从而使小直边矩形面积的和转化为原来曲边梯形的面积.,这样一来，局部的“直”经过无限积累又反过来转化为整体的“曲”，最后得出了曲边梯形的面积. 这就是定积分定义中分割、求和、取极限的辩证思维过程.,第三步：积零为整. 把n个小“直边矩形”的面积累加起来，用这n个小直边矩形的面积之和在整体上近似地代替原曲边梯形的面积. 这种代替当然是有误差的, 为了消除这种误差，还需进行第四步.,返回,例2 已知物体在区间a,b上任意一点x处的平行截面积为A(x), 求物

5、体的体积V.,微元法 ：,在任意一点x处作x的微元dx, 过x与x + dx作垂直于x轴的平面, 截得物体的面积分别为A(x)与A(x + dx). 一般地说，A(x)与A(x +dx)是不相等的，从物体中截得的部分是以A(x)与A(x+dx)为上、下底的曲柱体. 但由于dx很小, 因此可以“以直代曲”. 将截得的曲柱体近似的看作以A(x)为底，以dx为高的直柱体, 于是得体积微元A(x)dx (图5-4). 然后将体积微元在a, b上累积起来，就得到物体的体积V.,返回,例3 已测得某水库深水体积V(万方)和水深H(米)之间的对应数值表,利用描点法描出的曲线近似抛面线,返回,假设 V = a

6、H2, 作变换 H2 = h, V = v,曲线方程 V = aH2 转化为直线方程 v = ah,得对应的数值表,在hv直角坐标系中描点，用直线型经验公式可确定出 v = 0.504h. 然后再代回曲线方程，得 V = 0.504H2.,返回,必须指出：“直曲转化”是有条件的，并非任何情况下都 可“以直代曲”.,如，求半径为r的半圆周长. 如果我们不是用弦来代替圆弧，而是用平行于直径的线段来代替圆弧, 则结果求得半圆周长为2r ;,返回,如果我们用平行于直径的线段与垂直，于直径的线段构成的折线段来代替圆弧，则结果求得半圆周长为4r .,这些显然都是错误结论. 错误的根本原因在于“以直代曲”过

7、程中，并不是用等价无穷小去代替. 因此，在将直曲转化的辩证思想运用到具体问题中时，必须注意可转化的条件.,第二节 常量与变量,一、常量在一定条件下具有任意性,比如，数列极限定义中的 ,又如，不定积分中的积分常数C,二、常量与变量的相对性,高等数学被称为变量数学，这是相对于初等数学而言的.其实在高等数学中，常量与变量既有着严格的区分，又相互依存，相互渗透，在一定条件下相互转化.,返回,如，在函数概念中，常量与变量是对于某一过程而言的.,例如，某架飞机从甲地飞往乙地，在飞行过程中，我们说飞机离开甲地的距离; 飞机上汽油的储存量; 飞机离地面的高度等都是变量. 而飞机上乘客的人数; 飞机上行李的重量

8、等都是常量. 但是，飞机上行李的重量是否一定是常量呢？因为飞机离地面的高度在变化，飞机上行李的重量也在变化，只不过这个变化较之于飞机离开甲地的距离，飞机上汽油的储存量它变化很小，几乎没有变化，因此可以看作常量.,再如，在多元函数微积分中，为了研究某一个变量的性态，往往把其余变量看作常量.,返回,同样，二重积分 的计算,三、通过常量来刻划变量,高等数学中变量的运动与变化，往往是通过相对静止的常量来刻划的.,在解析几何中，根据二次曲线方程的系数，来判别二次曲线的类型. 设二次曲线方程为 A1x2 +2B1xy + Cy2 +2Dx +2Ey +F1 = 0, (*),返回,在直角坐标系中进行平移或

9、旋转变换，在新坐标系中曲线方程(*)化为 A2u2 +2B2uv +C2v2 +2D2u +2E2v + F2 = 0. (*),方程(*)化为方程(*)的变换过程中，方程各项的系数一般会发生变化，但有一些量是固定不变的.,I1 = A1 +C1 = A2 +C2;,I2 = = ;,I3 = =,返回,返回,在常微分方程中，常数变易法，是用常量来刻划变量的典型思想方法.,比如，求一阶线性方程 (*)的通解.,容易求得通解为,然后把齐次方程通解中的常数C看成变量，设非齐次方程的通解为,算出导数,首先求一阶线性齐次方程 的通解.,返回,代入原方程(*)，可求得 C(x) = ,于是一阶线性方程(

10、*)的通解为 ).,四、通过变量来研究常量,在高等数学中，有时需要通过变量来研究常量. 也就是把常量看成变量的暂住状态或特定值，以及变量在变化过程中的稳定趋势.,如，利用导数求函数的极值和拐点，就是利用变量来研究常量的.,返回,又如，求参变量函数,在y = 时的函数值 .,是常量，当然我们希望将 代入含参积分中来计算，这 样就很容易求得,但这必须要证明函数在 处连续.,返回,为了讨论函数在定点x = 的连续性, 需要转化为讨论函数 在包含 的区间a, b上的连续性.,从而证明函数 在a, b上连续，进而得出函数 在点x = 处连续. 于是前面的计算是可行的,左边是一个完全确定的常量.,但为了研

11、究这个常量，在证明过程中，先用变量x代替常数b.,返回,从而把面积S变量化，得到一个关于x的函数,S(x) =,然后证明S(x)是f(x)在a, b上的一个原函数, 而F(x)也是f(x)的一个原函数，于是有,F(x) = S(x) + C = + C,再将a, b代入上式，确定出任意常数C的值，就得到,返回,第三节 连续与间断,一、连续与间断是事物两种不同的性态,在高等数学中，连续与间断带来函数性质的显著差异.,比如，闭区间a, b上的连续函数，一定存在最大值与最小值，并且可取得介于最小值与最大值之间的一切值. 只有函数f(x)在a, b上连续，且f(a)f(b)0, 才能保证方程f(x)

12、= 0在(a, b)内有一个根. 而间断函数一般不具有这些性质.,为了进一步研究不连续函数的性态，就需要对函数的间断点进行分类. 在高等数学范畴内，一般将间断点分为两类，第一类间断点和第二类间断点.,返回,返回,为了解决连续与间断这一差异性所引起的矛盾，在数学中创造了各种方法和途径, 它们不仅推动了数学的发展，而且进一步促进了对连续性与间断性本质的认识.,比如，对于可去间断点，采用了补充定义使其连续的方法.最典型的例子是洛必达法则的证明。,二、连续与间断在一定条件下可以相互转化,随着数学的发展，对函数连续与间断的认识也在深化，在一定条件下，实现了连续与间断的相互转化.,比如，利用定积分的定义来

13、求n项和数列的极限，就是用连续研究间断(离散)的典型方法.,例1 求极限,返回,例2 判定离散的数值级数 的敛散性,如果f(x) 是1, + 上的非负单调减少的连续函数，则可转化为判定无穷积分,的敛散性.,在数学中, 利用连续量去概括离散的量和用离散量去逼近连续量, 这往往是同一个问题的两个方面.,例3 毕卡公式：,一个凸多边形，面积为A, 内部格点数为N, 边上的格点数为L, 则,A = N +,返回,在数值计算中，正在发展一种连续变量离散化的方法，即为了计算连续量的值，而把连续量分拆为离散的量来计算. 离散化方法主要有两类:,第一类: 求出未知函数在若干点上的值，来近似地逼近此函数. 基本

14、方法是以有限差分代替无限小的微分, 以有限和代替无限和的积分，计算积分的梯形公式，辛卜生公式，以及求常微分方程的折线法，求偏微分方程的差分法等都属于这一类.,第二类: 把未知函数表为有限个已知函数的和. 这种方法一般是基于变分法的基础上. 这类方法由于计算机的运用, 进一步发展成为一类新的离散化方法, 即有限单元法.,连续与间断的转化还体现在日常生活中，比如电视机的画面是连续分布的，但电视机上的画面是由点阵组成的; 打印机打印的文字也是由点阵组成的，这都是用离散量来逼近连续量的具体体现.,返回,第四节 有限与无限,潜无限：把无限看成永远在延伸着的(即不断在创造着的永远完成不了的)变程或进程的观

15、点.,例如认为自然数列1,2,3,n, 是不断延伸的、永远完成不了的，就是潜无限的观点.,我国古代“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”也是一种朴素的潜无限思想.,实无限：把无限看成可以自我完成的过程(或无穷整体)的观点.,例如把自然数全体理解为一个真正的无限集合N = 1, 2,3, , n, , 就是实无限的观点.,返回,在数列极限的几何意义中，认为当nN时，从第N+1项起，以后的一切项a n都落在长度为2的邻域内，这也是实无限的观点. 可以说，把微积分建立在极限基础之上，就是运用实无限观点的成果.,一、有限与无限存在质的差异,从有限发展到无限，是认识上的一次重大飞跃. 有限与无限之间存在着质

16、的差异，这种差异在高等数学中，首先表现在式的运算方面.,返回,又如，有限个连续函数的积是连续的，但无限个连续函数的积却不一定连续; 有限个可微分函数的和可微，有限个可积函数的和可积，如果把“有限”改为“无限”，则结论都不成立.,在运算法则上，有限满足结合律、交换律与分配律，无限的情况则不能随意运用这些定律，否则将导致谬误的结论.,例如 11 + 11 + 11 + = (11) + (11) + (11) + = 0; 又有 11 + 11 + 11 + = 1(11)(1-1) = 1, 这显然是荒谬的.,对于区间或区域而言，函数在有限区间(或区域)的性质，不能不加限制地推广到无限区间(或区

17、域)上去.,比如，连续函数在任何有限闭区间上都可积，但不能断言该函数在无限区间上可积;,返回,函数f(x)在( )内的任何有限闭区间上一致连续, 但 f(x)在( )内可能不一致连续; 函数级数 在有 限区间上收敛，但在无限区间上可能不收敛.,在数量关系上，一个有限集合与它的真子集之间不能建立一一对应关系,但一个无限集合就可以和它的真子集建立一一对应的关系.,比如，N为自然数集, G为正偶数集，则N与G可以一一对应.,一个无限区间可以和一个有限区间建立起一一对应关系.,如无限区间( )与有限区间 可以通过函数关 系y = arctgx 建立一一对应.,返回,同样，如图ABD与ACD面积不等，但

18、它们中的与AD平行的线段等长, 且“条数”是一样多.,返回,二、通过有限认识无限,在高等数学中，为了达到认识不确定的、无限的情形，常常是从确定的、有限的情形出发的.,在数列极限概念中，无穷数列a n是不能全部写出来的，为了考察其无限变化的趋势，我们研究有限的a n与有限的a之间的距离a na，如果距离能任意小，我们就可以间接地知道a n无限变化的结果就是a. 因此极限是利用有限来认识无限的一种数学方法，同时也说明极限是有限与无限的对立统一.,数学归纳法的实质，是人们用有限认识无限的一种方法.,凡涉及对任意自然数n都成立的命题P（1），P（2）, P（3）, P（n）， 这是无限的命题列，要一个

19、一个地去验证永远也证不完. 人们是如何通过有限来把握无限，实现对这无穷多个命题的证明的呢？,返回,（1）从有限入手，首先验证P（1），P（2），为真；,（2）假设nk时 P（k）真, 然后证明n = k +1时 P（k +l）真.,这样，从 P（k）到 P（k +1）的转化，论证了这无限多个命题的正确性.,无穷级数 a1 + a2 + a3 + a4 + + an + 的求和，也是人们通过有限认识无限的例子.,为了计算无穷级数的和，先计算有限项的和 Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + + an.,若极限 s 是一个有限数，则称s 为无穷级数的和.,返回,三、通过无限来表示有限,我

20、们一方面通过有限来认识无限. 另一方面, 我们又通过无限来表示有限，从而实现有限与无限的相互转化.,如，函数f(x)在点a的泰勒展开式,左边是有限形式，右边是无限形式; 左边是整体未知，右边是每项已知.,又如,返回,第五节 抽象与具体,一、高度抽象是数学的主要特征,1.数学抽象就是要把对象理想化.,数学是在纯粹状态下研究量与量的关系，它所研究的量与量的变化，是在理想条件下表现的纯粹的、独立的、真正的过程.,如 各种数系：如自然数、有理数、实数、复数、超越数等；,各种结构：代数结构、几何结构等；,各种空间：欧氏空间、拓扑空间等；,各种关系： 如同构、同态、同调等；,各种属性：如连续性、确定性、随

21、机性等.,返回,数学抽象主要经历了三个发展阶段: 第一阶段：产生数的概念,使对象同一起来，撇开个体物的质的无限多样性和创造数的符号，即数字.,2.数学的抽象有一系列的发展阶段,第二阶段：从算术过渡到代数，在代数中已经不使用个别的具体数字，而使用字母符号,具体的数字对字母符号而言是特殊的东西.,第三阶段：不仅是撇开符号的一切数字内容，而且根本撇开数学运算本身的量的内容.,从运算角度来看，最初是数目的运算： 32 + 42 =52.,进而发展为代数式的运算： a2 + b2 c2,再进一步抽象为代数系统的运算： （f + g，f + g）（f，f）（g，g）,返回,3.数学的研究方法几乎完全致力于

22、用逻辑的方法处理抽象的概念和它们的相互关系.,4.数学具有自身特有的符号语言来表述自身的内容.,数列极限：,导数概念：,又如，函数的导数 , 本来这个记号是一个整体记号, 分 子分母不可分，但有了复合函数微分法则之后，发现这个记法有巨大的优越性:,返回,只有引进经过精心设计的符号和改进公理化方法，数学才能不断地发展.中国古代数学的发展从另一个角度证明了这一点.,中国古代数学的一个重要特点是用算筹，它支配中国古代数学达两千年之久，算筹的使用曾经促进中国古代数学的发展.然而，从公元前1世纪的九章算术到14世纪朱世杰的四元玉鉴，代数的内容有了很大发展，但在数学语言方面，仍采用算筹而没有任何改进.在九

23、章算术中，由于处理的问题比较简单，不用符号用算筹，运算步骤和方法尚好理解；而在处理比较复杂的问题时，用算筹布列和文字叙述，就难以理解了 .,例如，祖颐在四元玉鉴后序（ 1303）中关于四元消去法写道：“以元气居中，立天匀、地股、人弦、物黄方，考图明之，上升下降，左右进退，互通变化，乘除往来，用假象真，以虚向实，错综正负，分成四式.必以寄之，剔之，余筹易位，横冲直撞，精而不杂，自然而然，消而和会，以成开方之式也.”,返回,朱世杰用“太”表示常数项，居中；用天、地、人、物表示四个未知量，其系数分别放在“太”的下方、左方、右方和上方.上、下、左、右四个方位只能放四个未知量, 如果有第五个未知量，就无

24、处安排，要推广到n个就更不可能了.,李善兰用“微”的偏旁“彳”表示微分，用积的偏旁“禾”表示积分.,彳人 =,返回,禾,二、高度抽象使数学具有广泛应用,数学的高度抽象性，使数学概念、量的关系具有广容性的特点， 我们能够用同一个数学模型来研究不同对象的问题，也可以把形形色色的同类型的具体问题，用相同或类似的数学方法来处理.,比如解方程, 19世纪以前, 解方程占据着代数学舞台的中心，是代数学家最关心的问题.大约在三千年前，巴比伦人实际上已经知道二次方程的求根公式. 至于三次方程的公式解法直到 1500年左右，意大利数学家费罗（Ferro, 14651526）才给出三次方程的公式解，但未发表. 1

25、545年，卡尔达诺发表了三次方程的公式解法. 不久，卡尔达诺的学生费拉里（Ferrari，15221565）给出了四次方程的公式解.,返回,在得到二次、三次和四次方程的根式解之后，人们自然要寻求五次或五次以上方程的根式解，但没有成功.1826年，挪威数学家阿贝尔证明，高于四次的一般方程没有根式解.18291832年间，法国数学家伽罗瓦(Galois,18111832)把一个代数方程是否有根式解，归结为该方程的“群”的性质，并利用群的性质彻底解决了几个世纪以来数学家一直未能解决的问题，给出了代数方程可用根式解的判别准则.,因此, 数学的高度抽象，使它成为解决具体问题的锐利武器.,三、数学抽象与具

26、体的辩证关系,数学抽象与具体的辩证关系还表现在数学概念自身的相互关系.,比如函数概念，在抽象函数y =f(x)中，函数关系f是抽象的, 只有在具体函数中，f才是具体的.,返回,共同点：都是函数；,不同点：左边是抽象的，右边是具体的； 左边是被动的，右边是主动的.,返回,第六节 局部与整体,所谓点态性是指对一个关于x的命题P(x)，当讨论p(x)在点x0是否成立时，只考虑点x0或点x0的一个充分小的邻域内的点的性态.,一、局部“点态性”,一般可分为三种情形：,(1) 单纯静点态：直接将x0代人命题p(x)中，只考虑P(x)在点x0的值，而不考虑p(x)在x0附近的其它点上的值.,例如，判断函数f

27、(x)在点x0是否有定义, 求函数f(x)在点x0的函数值,求方程f(x)=0的实数根等，都是属于单纯静点态问题.,返回,(2) 比较静点态：除了考虑p(x)在点x0的值外，还需考虑p(x)在x0附近的其它点上的值，通过比较，得出p(x)在点x0是否为真.,例如，判断函数f(x)在点x0是否有极值.,(3) 动点态：除了考虑p(x)在点x0的值外，还需考虑在x0的某邻域内p(x)运动变化的情形，从而得出p(x)在点x0是否为真,例如，判别函数f(x)在x0是否存在极限，则属于动点态问题.,二、整体“区间性”,所谓整体“区间性”是指当讨论一个关于x的命题P(x)是否成立时，必须考虑P(x)在整体

28、区间上的性态.,返回,例如，,定积分的概念：,一致连续概念：,函数f(x)在某区间(a, b)上一致连续,闭区间上连续函数的性质定理是整体整体性质： 有界性定理,最值性定理,它们都是在整个区间上考虑函数的性态，因而属于函数的整体性质.,返回,三、局部性与整体性的辩证关系,函数的局部性(点态性)与整体性(区间性)并不是孤立的，而是相互联系，相互转化.,比如，函数f(x)在区间(a, b)上一致连续是整体性概念, 但如果将x1固定，x2为任意点x，则函数f(x)在点x1连续，这就将函数f(x)在区间(a, b)上的整体性质转化为函数f(x)在固定点x1的局部性质. 反之，如果将(a, b)改为闭区

29、间a, b，而函数f(x)在a, b上连续，则可以证明函数f(x)在a, b上一致连续, 这又将函数的局部性质转化为整体性质.,又如，函数f(x)在a, b上的定积分 是一个整体性 概念，但如果对任意x a，b，令,返回,当f(x)在a, b上连续时， 函数 是f(x)在a, b 上的原函数, 满足 , 而定积分 变成 函数F(x)在点b的函数值. 这样，将求函数f(x)在a, b上的定积分变成函数F(x)在点b的函数值.,这样，将求函数f(x)在a, b上的定积分这一整体性问题, 转化成为求函数F(x)在点b的函数值这一局部性问题.,另外，局部性与整体性的相互转化是有条件的函数连续转化为一致

30、连续，条件必须是闭区间;定积分能转化成函数F(x)在 点b的值，条件是积分 能求出来.,返回,第七节 偶然性与必然性,一、随机事件与必然事件,必然现象-事物的变化服从确定的因果关系 基本特点-具有严格的可预言性和可重复性 自然现象： 随机现象-事物的变化具有多种的可能性随机 基本特点-具有不可预言性和不可重复性,必然事件- 在一定条件下必然发生的事件 概率论：不可能事件-在一定条件下必然不会发生的事件 随机事件-在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,返回,17、18世纪牛顿力学的成就使人们认识到，引力既决定天空中行星和慧星的运行，又决定地球上物体的运动. 以牛顿力学为基础的严格决定论看来，对

31、自然现象的科学描述，偶然性是不起什么作用的，严格决定论的规律是描述自然现象及其过程的最普遍、最基本的规律.,二、蝴蝶效应与偶然性,科学本体论则认为，严格决定论并不是描述自然现象的唯一有效方法，现实世界中的绝大多数事物并不是稳定、有序和必然的，而是无序、变化莫测和偶然的.一个细微的、偶然的事件，常能产生意想不到的结果.,英国古代民谣说:,钉子缺，蹄铁卸； 蹄铁卸, 战马蹶； 战马蹶，骑士绝； 骑士绝，战事折； 战事折，国家灭.,返回,1979年，美国混沌学专家洛仑兹(Lorenz）在一次国际演讲中说；“一只蝴蝶在巴西煽动翅膀会在得克萨斯引起龙卷风吗？”他的回答是肯定的.,洛仑兹作为气象学家，他在

32、计算机上模拟天气. 然而，为了省事，没有让整个计算从头开始，而是把上一次的输出结果作为初值，直接打入计算机. 一小时后，当洛仑兹看到输出结果时，发现天气变化同上一次的模拟有很大的偏离，相似性完全消失，变得面目全非.,返回,他很快意识到，问题出在打进去的那些数字上, 在计算机的存储中，每个数保持6位十进制的值，例如0.506127输入时，为了节省空间，只打印三位数0.506. 洛仑兹把这样经过四舍五入的较短数字作为输入的初值，他认为这样做只有千分之一的误差, 对结果不会产生什么影响.,小小的数值误差相当于一阵小小的风，会自行地消失或相互抵消，不致引起天气的重大变化. 然而，完全出乎人们的预料，这小小的误差竟产生了灾难性的后果, 这就是所谓的蝴蝶效应.,蝴蝶效应表明，“非本质”的偶然性在变化中所起的作用. 蝴蝶煽动翅膀，这是偶然的，但蝴蝶效应的产生却是必然的. 对于地球上如此变幻莫测的天气变化，没有“蝴蝶效应”是根本无法想象的.,返回,再来考察一个简单的迭代方程： X n+1 4X n（1X n）,返回,三、“