ch1复数与复变函数.ppt

1、复变函数,工程数学-复变函数,历史发展,复变函数理论产生于十八世纪，欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等都是创建这门学科的先驱。 十九世纪，复变函数理论得到了全面发展，柯西、黎曼、维尔斯特拉斯等为这门学科的发展作了大量奠基工作。复变函数理论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 二十世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了重要贡献。,工程数学-复变函数,内容,复变函数论

2、主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。,工程数学-复变函数,应用,复变函数理论对数学领域的许多分支的发展都很有影响，它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科。更重要的是，它在其他学科得到了广泛的应用，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就采用复变函数理论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。,第一章 复数与复变函数,工程数学-复变函数,1 复数及其几何表示,1. 复数,定义

3、,其中 i 称为虚数单位，满足,设 x , y 为实数，称形如,或,的表达式为复数.,x , y 分别称为复数 z 的实部和虚部， 记作,工程数学-复变函数,(1) 当 时， 称为纯虚数;,(2) 当 时， 视为实数 ；,(3) 当 时，称 ；,(4) 设,工程数学-复变函数,2. 复数的代数运算,两个复数,加减法,乘法,除法,运算规律,工程数学-复变函数,共轭复数,设复数,称复数,为 的共轭复数，,共轭复数的性质,记作,定义,工程数学-复变函数,x 轴,实轴,y 轴,虚轴,面,复平面，或 Z 平面,数,点,向量,3. 复平面,工程数学-复变函数,|z|=r,称为 z 的辐角, 记作,辐角不确

4、定.,当 时，,实轴正向与向量 z,之间的夹角，,有无穷多个值，,其中仅有一个满足：,即,向量 的长度称为z 的模或绝对值,记作,模与辐角,工程数学-复变函数,辐角主值的确定,由于,所以,工程数学-复变函数,复数的其他表示,（三角表示）,（指数表示）,其中,欧拉公式：,工程数学-复变函数,4. 复球面,S,复球面,的四则运算,（无穷远点）,扩充复平面,工程数学-复变函数,例1.,求复数的实部、虚部、共轭复数、辐角主值和模.,解：,工程数学-复变函数,5. 复数的乘幂与方根,定理1,1). 乘积与商,设,两个复数乘积的幅角等于它们辐角的和.,则,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,工程数学-复变

5、函数,定理二,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,两个复数的商的模等于它们的模的商,工程数学-复变函数,2). 幂与根,棣莫弗( De Moivre )公式,n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,幂,个,若,则,如果定义,那么当 n 为负整数时式 (1),和式 (2) 也成立.,注：,记作 , 即,工程数学-复变函数,(棣莫弗公式),根,令,则 w 称为z 的n 次根,记作,(n为整数),即,若,亦即,工程数学-复变函数,所以,那么,几何上, z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径的的,圆内接正n边形的n个顶点.,工程数学-复变函数,例2.,将下列复数幂的值.

6、,解：,工程数学-复变函数,例3.,求下列根式的值.,解：,工程数学-复变函数,例4.,解方程,解：,直接验证可知方程的根,故方程可写成,令,则,其中,工程数学-复变函数,2 区域,1. 区域的概念,z0的去心邻域.,满足,满足 的所有点的集合,称为无穷远点的去心邻域.,的 邻域:,的 邻域；,点的邻域:,的点的集合, 称为无穷远点的邻域;,工程数学-复变函数,内点:,设G 为一平面点集, z0 为 G 中任意一点.,z0 的一个邻域属于G,开集:,如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集.,区域:,平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列条件:,1) D是一个开集;,2) D是连通的.,

7、边界点:,设D为复平面内的一个区域,但P的任意小邻域,D的所有边界点组成D的边界.,如果点P不属于D,称P为D的边界点.,总包含D中的点,如果存在,则称 z0 为 G 的内点.,工程数学-复变函数,区域 D与它的边界一起构成 闭区域 或闭域,闭区域:,如果存在正数 M, 使区域 D的每个点 z 都满足,记作 .,有界区域：,| z | M, 则称 D 为有界的,否则称为无界的.,工程数学-复变函数,是两个连续的实变函数，,2. 单连通域与多连通域,连续曲线:,其复数表示式为：,则称这曲线为光滑的.,若在 上x (t)和y (t)都是连续的, 且,光滑曲线:,若曲线的参数方程,则称其为连续曲线；

8、,工程数学-复变函数,如果连续曲线,对于,则称,为简单曲线；,如果 C 又满足,则称之为,简单闭曲线.,简单曲线:,简单、不闭,简单、闭,不简单、不闭,不简单、闭,工程数学-复变函数,连通域：,单连通域,多连通域,复平面上的一个区域 B, 如果在其中任作一条简单,闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域；,如果不是单连通域, 就称为多连通域.,一个区域,工程数学-复变函数,例1.,满足下列条件的点集是什么？如果是区域，是单连通还是多连通？,解：,是以点 i 为圆心，半径为 的圆盘，,是闭区域，单连通.,是椭圆周，不是区域.,工程数学-复变函数,是闭的多连通区域.,是以点 为圆心，半径为

9、 的圆盘外部，,是以直线,为左右底边，,实轴为两腰的梯形(不包括边界)，,单连通区域.,直线,工程数学-复变函数,3 复变函数的定义、极限和连续性,1. 复变函数的定义,设G是复平面上的一个点集，若对于G中每一点,按照一定的法则,都有复数 与之对应，,则称 w 是 z 的复变函数, 记作,集合G称为f(z)的定义集合, 对应于G中所有z对应的一切,w值所成的集合G*, 称为函数值集合.,定义,由于,所以有,工程数学-复变函数,例1.,已知,解：,法1（代入法）,因为,所以,法2（拼凑法）,将其写成关于 的解析式.,工程数学-复变函数,2. 映射的概念,在几何上函数 w = f (z) 就可以看

10、做是把 z 平面上的,一个点集G(定义集合)变到 w 平面上的一个点集G*(函数,值集合)的映射(或变换).,w称为 z 的象, 而z称为w 的原象.,如函数 ,工程数学-复变函数,例2.,解：,在映射 下，,求下列点集在 w 平面上的象.,设,线段,双曲线,则,故线段,映射为线段,设,则,故,所以,为平行于 v 轴的直线.,工程数学-复变函数,3.复变函数的极限,定义,有定义,设函数w =f (z) 在 z0 的去心邻域 内,有,成立。,则称常数 A 为 当 z 趋于 z0,时的极限，记作,或记作当z z0 时, f (z)A.,工程数学-复变函数,定理一,定理二,如果,则,设,则,工程数学

11、-复变函数,4. 复变函数的连续性,定义,如果,则称 f (z) 在 z0 处连续.,如果 f (z) 在区域 D 内处处连续,定理三,充要条件是 u(x,y) 和 v(x,y) 在 (x0,y0) 处连续.,定理四,(分母在z0不为零)在z0处连续;,2)如果函数h =g(z)在z0处连续, 函数w = f (h)在h0 = g(z0),连续, 则复合函数 w = f g(z) 在 z0 处连续.,则称 f (z) 在 D 内连续.,函数 f (z) = u(x,y)+iv(x,y) 在 z0 = x0+ iy0 处连续的,1) 在z0连续的两个函数f (z)与g (z)的和, 差, 积,

12、商,工程数学-复变函数,推论,1）有理整函数 (多项式),在复平面内处处连续；,2）有理分式函数,其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式, 在复平面分母不为零的点,连续.,工程数学-复变函数,作业,P12 1. 1) 2. 4. 2) 4) 6. 1) 2) 10. 2) 5) 6) 10) 13. 14. 3) 4) 15. 2) 17.,工程数学-复变函数,Ch1 复数与复变函数,2. 复数的运算,加减法,乘法,1. 复数的表示,一、知识要点,工程数学-复变函数,乘幂,方根,除法,共轭,工程数学-复变函数,3. 区域,邻域、内点、开集、区域、边界、闭域.,4. 曲线,简单曲线，连续曲线，光滑曲线,5. 复变函数,函数极限，,函数连续,1）有理整