七年级数学上册 4.6 角导学案 华东师大版

1、 湖北省武穴市实验中学七年级数学上册湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 4.64.6 角导学案角导学案 华东师大版华东师大版 【目标概览】 生活中有很多角的形象，在小学里，我们已学过角的概念，角的概念是几何中又一重要的几 何概念，我们在本节学习中应注意： 了解角的基本概念，掌握角的表示方法。 从射线的位置变化，认识平角、周角的图示，学会用运动观点看待问题。 了解角的度量单位度、分、秒及角的测量工具，会进行度、分、秒之间的换算及度数的计 算。 学会借用三角尺、量角器来画给定度数的角。 会进行角的大小比较，理解余角、补角概念，理解对顶角相等的关第六。 理解角的等分线（平分线）定义及其应用。 认识方

2、位角。 【思考交流】 海岸上有 A、B 两个观测站，B 观测站与 A 观测站的距离是 2.5km，某天 A 观测站测到有一条 船在南偏东 50方向，在同一时刻，B 观测站观测到该船在南偏东 74方向上，你能根据他们观 测的结果画出船的位置吗？ 【学法指津】 理解角的两种定义和掌握角的表示方法是学好本节的关键，角的构成元素必须包括作为边的 两条射线和作为公共端点的顶点；从角的形成过程来看，角是一条射线绕着端点从一个位置旋转到 另一个位置所成的图形。理解这些定义，可借助现实生活中的钟表上的时针、分针、圆规等其他自 制的工作。 【知识导学】 本节重点是理解角的定义及平角、周角概念能进行角的比较，理解

3、余角和补角的性质，尤其 是掌握角的平分线定义与应用。 知识点一：（重点）角的定义及表示 角的描述性定义：有公共端点的两条射线，组成的图形，这是从静止的角度来看的。由此 我们知道：两条射线组成角的两条边，公共端点是角的顶点。 角的发生或定义：由一条射线绕着经的端点旋转而形成的图形叫做角，这是从运动的观点 来看的，说明了角的形成过程。角是用几何符号“”来表示的，共有四种方法可以表示。 用三个大写字母表示：表示顶点的字母写在中间，两边各取一点，写在两边，可交换位置， 如图可记作AOB 或BOA。 用一个大写字母表示：此时顶点处只有一个角，如图记作O，但图的AOB 不能记作 O。 A C B O B

4、O O A 用数字加弧线表示，如图AOB 记作1。 用希腊字母加弧线表示，如图BOC 记作。 误区警示：如上图中有 3 个角：AOB、BOC、AOC。 知识点二：（重合）角的计算 常用的角的度量单位是度、分、秒，把一个周角 360 等分，每一份就是 1 度，记作 1；把 1的角 60 等分，每一份是 1 分的角，记作 1；把 1的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，记作 1。 1 周角=360，1 平角=180，1 直角=90 锐角是 0到 90之间角，钝角是 90到 180之间的角。 1=60，1=60 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分 线

5、。角的平分线是一条射线。 方法规律：一条线段的中点与一个角的平分线所表现的性质有很大的相似性。 知识点三：（重点）理解角的特殊关系 有两种特殊的角：平角和周角，当射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 与起始位置 OA 成一直 线时，所成的角是平角；继续旋转回到起始位置 OA 所成的角叫周角。 1 两个角的和相等 90（直角）就说两个角互余，简称互余；如果两个角的和等于 180，就 说这两个角互为补角，简称为互补。 等角的余角相等，若1+=90，2+=90，1=2 等角的补角相等，若1+=180，2+=180，1=2 两个角有公共顶点，并且一个角的两条边分别是另一个角两边的反向延长线，这

6、两个角称为 对顶角，对顶角相等。 名师点拨：角的概念错综复杂，应多画图形进行理解。 【技巧解悟】 一、考查角的定义及表示方法 A 例 1：如图写出符合下列条件的角。 能用一个大写字母表示的角。 以 A 为顶点的角。 写出图中所有的角。 B D C 解析：本题考查对角的四种表示方法的理解。 答案：B、C；1、2、BAC；1、2、BAC、B、3、4、C 方法规律：写出图中所有的角，或较复杂的图形数角的个数时，一般采用以角的顶点来分 类的方法。今后所指的角，都是指小于平角的角。角的识图，关键是找角的顶点和角的两条边。 例 2：判断正误，对错误的加以改正。 由两条射线所组成的图形叫做角。 反向延长射线

7、 OA 就得到一个平角。 在ABC 的一边的延长线上取一点 D。 射线 AO 和射线 BO 组成一个角。 解析：运用角的定义进行判断。 答案：、错误，正确。 忽视了两条射线应有公共端点，改为：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 角的边是射线，无用延用，应说成：在ABC 的一边上取一点 D。 1 2 3 4 两条射线的端点不同，即没有公共端点。 名师点拨：利用定义和几何图形之间的关系来理解定义，是把定义形象化，把图形理性化的 一个重要手段。 例 3：下列说法正确的是（ ） A.平角是一条直线 B.反向延长射线 OA，就得到一个平角 C.周角是一条射线 D.画一条射线就是一个周角 解析：A：“

8、平角”与“直线”是两个不同的概念，平角有角的顶点，有两条边。 C：“周角”是一条射线绕着一个端点旋转 360后形成的图形。 D：画一条射线仅仅是画出了周角的一条边。 答案：B 名师点拨：角的第 2 定义即运动性定义很重要，角是由一条射线绕着它的一个端点旋转而形 成的图形。角有内部、外部之分。 二、考查角的计算 例 4：填空 直角=_，平角=_，周角=_ 3 1 6 1 8 1 15=_直角，60=_平角，75=_周角 0.4=_，7515=_，37.25=_ 解析：按度分秒换算方法进行，同时掌握特殊角。 答案：30，30，45 ， 6 1 3 1 24 5 24，75.25，3715 例 5：

9、计算： 4827+664590-271430 25175176523（精确到分） 解析：有关度分秒的计算，逢 60 进 1，不够减时借 1 化成下一级单位。 答案：4827+6645=11472=11512 90-271430=625530 25175=12585=12625 176523 =(174+2)+(51+1)3 =58+1203+513+603 =58+40+17+20 =585720 =5857 方法规律：在进行角度的换算时，注意进制对计算的应用。 三、考查角的大小比较及运算 例 1：已知一条射线 OA，若以 O 点为顶点，画AOB=46，BOC=28，那么AOC 的度数为 _。

10、 解析：由于BOC 既可在AOB 的外部，也可以在AOB 的内部，所以求AOC 的度数应分情 况讨论。 答案：如图，AOC=AOB+BOC=74 如图，AOC=AOB-BOC=18 故AOC 为 18或 74 A A C O B O B C 例 2：已知如图 OM 平分AOB，ON 平分COD，MON=90，BOC=26，求AOD 的度数。 N C B D M O A 解析：用代数方法解几何问题，使分析细致入微。 答案：OM 平分AOB，ON 平分COD 设AOM=MOB=x，CON=NOD=y MON=90，BOC=26 NOC+BOC+BOM=90 x+y+26=90 x+y=64 AOD

11、=2x+y+26=264+26=154 【能力拓展】 综合题： 例 1：如图，OM 平分AOB，ON 平分COD，若MON=50，BOC=10，求AOD 的度数。 解析：本题属于几何计算题，可采用代数解法，设DOC=2x，AOB=2y，则 AOD=2x+2y+10，关键在于求 x+y。 答案：设COD=2x，AOB=2y ON 平分COD，OM 平分AOB CON=x，BOM=y，MON=NOC+BOC+BOM MON=50 x+10+y=50 x+y=40v AOD=COD+BOC+AOB=2x+10+2y=2(x+y)+10=90 方法规律：几何中有关计算问题，若已知条件中存在着和、差、倍

12、、分的关系，用设未知数、 列方程求解，可达到事半功倍效果，还体现了整体代入的思想方法。 创新题： 例 2：如图是四个小正方形拼成的正方形 ABCD，观察图中的1、2、3。 D G C F A E B 测1、2、3 的大小。 DCF、EGD 是不是直角三角形？它们能否完全重合。 有人判断1+2+3=135对吗？ 解析：用量角器进行度量获得感性认识，然后进行数学推理来说明。 答案：经测量，1 约为 27，2 约为 45， ，3 约为 63。 DCF、EGD 均为直角三角形，两个三角形DCF 与EGD 能够完全重合。 1+2+3=27+45+63=135 且因为DCF 与EDG 完全重合，故1=CD

13、F 而3+CDF=90 1+2+3=2+（3+CDF）=45+90=135 经验技巧：巧妙地将图形进行转换，可使人产生“柳暗花明又一村”的感觉。 【探究体验】 归纳猜想题： 例 1：如图已知 BD、CE 分别为ABC 和ACB 的平分线，DBC=ECB 猜想：ABC 和ACB 的大小关系？并说明理由。 若已知A+ABC+ACB=180，DBC=35，求A 的度数。 A E D 1 2 3 B C 解析：根据角的平分线的定义，可猜想出ABC=ACB。 利用的结论，可得ABC=ACB=70，再代入A+ABC+ACB=180，求出A=40。 答案：猜想ABC=ACB，理由如下： BD 是ABC 的平

14、分线，CE 是ACB 的平分线（已知） ABC=2DBC，ACB=2ECB（角平分线定义） DBC=ECB ABC=ACB（等式性质） DBC=35，DBC=ECB ECB=35 又ABC=2DBC=235=70，ACB=2ECB=70 且A+ABC+ACB=180 A+70+70=180 A=40 名师点拨：“没有大胆而放肆的猜想，就没有科学上的伟大发现。 ” （牛顿语）猜想探索题 数学课程标准大力倡导的题型之一，也备受各省市中考命题者的青睐。 探索题： 例 2：我们通常所用的一幅三角板有两个，它们对应的三角形内角度数分别为 30、60、90 和 45、45、90，你能运用所学知识利用这样的

15、两个三角板拼出不同的角度的角吗？你能拼 出多少个不同的角？它们三角有什么规律？ 解析：动手实践，改变学习方式是新课程的最基本理念，也是培养同学们终生学习能力的很 好的办法。 答案：可以拼出 15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、 165、180等 12 个角。 经验技巧：利用一副三角板来进行中考命题的形式有三种：三角板的拼接、三角板的平移、 三角板的旋转。经常动手试一试，会对其中的规律有所了解。 【习题解疑】 P153 练习 180 45 90 135 略 50 70 130 95 P156 练习 第 2 个角较大 第 2 个角较大 3214 解析：OD 平分BO

16、CBOD=COD 又AOB=55BOC BOC=COD=62.5AOD=55+62.5=117.5 P158 练习 利用余角定义，如图 C B E D O A BOC 为AOB 的余角，BOD 为AOB 的补角，射线 OE 为AOB 的平分线 AFB 与BFG，BFD 与AFG，BGF 与CGE，CGF 与BGE 互为对顶角。 MOP 与IOP，MOI 与JOP，KPO 与NPL，KPN 与LPO 互为对顶角。 利用补角定义来分析。 P1 59 习题 46 11227515512333 时针的分针 1 小时转 360，1 分钟转 6的角 解析：3=180- (6515+7810)=3615 B

17、 D C OA 解析：图中一共有 6 个角，它们是：AOC、AOD、AOB；COD、COB；DOB。 B O A C 解析：如图所示，设这两个钝角均为 x，故 x+x+90=360，x=135 北 A 西 东 南 7220的角的余角是 1740，2531的角补角是 16429 解析：设AEB=2x，BEC=2y 又EF、EG 分别平分AEB、BEC 故AEF=BEF=x，BEG=GEC=y 又AEB+BEC=180 2x+2y=180 x+y=90 而GEF=GEB+FEB=x+y GEF=90 BEF 的余角是BEG 或GEC 【自主评价】 基础题： 70 40 6045 45 有公共端点的

18、两条射线叫做角。 （ ） 角的大小与边的长短有关。 （ ） 同角或等角的补角相等。 （ ） 若1+2+3=90，则1、2、3 互为余角。 （ ） 一个角的余角一定比这个角的补角小。 （ ） 如果AOB+AOC=180，那么AOB 与AOC 是邻补角。 （ ） 60=_直角=_平角 (25)=_；732118=_； 4 1 3029+5736=_；100-271520=_ A D 右图有_个角，它们分别是_ 一个角等于它的补角的，则这个角等于_度。 B C 4 1 已知 与 互余，且=15，则 的补角为_度。 若一个角等于它的余角，则这个角是_度；若一个角等于它的补角，则这个角是 _度。 从 3

19、 点 20 分到 3 点 50 分，分针转过了_度，时针转过了_度；3 点半时，时针 和分针形成的夹角_度。 下列各图中，1 和2 是对顶角的是（ ） 用一个钝角减去一个锐角，得到的差为（ ） A.锐角B.直角C.钝角D.以上三种都有可能 如图，AOB 和COD 都是直角，则AOD+BOC=（ ） A.180B.90 C.120D.不能确定 利用一副三角板（含 30、45、60角）能作出 的大于 0而小于 180的角共有（ ） A.4 个B.6 个C.11 个D.13 个 A O B C D 有 4 人在同一地点观察同一建筑物时所报出的方位角分别如下，其中表述正确的是（ ） A.东偏南 150

20、B.南偏西 60C.西偏南 30D.北偏西 120 直线 AB 和 CD 相交于点 O，OE 是钝角BOC 的角平分线。 图中的对顶角有_对，它们是_ AOE 的补角是_ 如果AOC=46，那么DOE=_ 如下图，OD 平分AOC，23=13，求AOC 的度数。 C D B O A 21. 与 互为补角（） ，若用、 的代数式来表示 的余角，则这 个代数式应为（ ） A.-B.（-）C.（+） D.- 2 1 2 1 2 1 22.如右图，O 为直线 AB 上的一点，OM 平分AOC，ON 平分BOC，则图中互余的角有_对。 23.如右图，若 OM、ON 分别平分AOC 和BOC，且 MON=

21、90，那么 A、O、B 三点共线吗？试说明理由。 【自主评价】答案点拨 解析：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 解析：组成角的两边是射线 解析：互为余角、互为补角是指两个角之间的关系 解析：用特殊值来讨论 解析：如图，BC中，AOB=120，AOC=60 O A 1 2 3 C M AOB N ， 解析：直角=90，平角=180 3 2 3 1 2515，73.355，8005，724440 8 个，A、ABD、ABC、DBC、C、CDB、ADB、ADC 36 解析：设这个角是 x，则 x=(180- x) 4 1 105 解析：=15，则=75， 的补角为 105 45，90 解析：用方

22、程方法来解 180，15 解析：分针从 20 分转到 50 分时刚好是一个直角。时针走了 0.5 小时， 因为时针 1 小时转 30，故时针转了 15。3 点半时：时针、分针夹角为 90-15=75 D 解析：运用对顶角定义 D 解析：如：120-15=105，120-30=90，120-60=60 A 解析：360-（90+90）=180 C 解析：15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165 B 解析：方位角是从正南或正北为起始边，而 且方位角是用锐角表示的 解析：对顶角有 2 对，它们是AOC 与 BOD；BOC 与AOD。 与AOE 互补的角有BOE 或C

23、OE。 若 AOC=46 BOC=134 OE 平分BOC BOE=67 DOE=67+46=113 解析：因为 OD 平分AOC 设1=2=x，则BOC=3x 2x+2x=1805x=180 x=36AOC=72 21.B 解析：+=180 的余角=90-=90-（180-）=-90=-= 2 2 22.4 对 解析：设BON=CON=x，可求得COM=AOM=90-x 23.解析：A、O、B 三点共线，AOB=AOC+BOC=2MON=290=180 【资料交流】 BD A C OE 崭露头角的初中立体几何题 注重对空间想象能力和对简单立体图形知识的考查，成为近几年中考试题的又一这点。本文 对这类试题进行简单归类剖析，以飨读者研讨。 一、图形的翻折 例 1：（2004 年海口）下面平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ） 部析：只有 C 项图形能还原成正方体，故选 C。 例 2：（2004 年玉林）如图所示的平面图形折叠成正方体后，如果相对面的值相等，则一组 x、y 值是（ ） 剖析：平面图形折叠成正方体后，x+y 与 5；xy 与 6 分别为对面。由题意知，x+y=5；xy=6。 解得 x=2，y=3 或 x=3，y=2。故填 2、3 或 3、2。 二、视图与投影 例