老胡自动控制原理 第四版第三章时域分析福大课件.ppt

1、1,建立了系统的数学模型后，可以采用不同的方法分析系统的性能。经典控制理论中的时域分析法、根轨迹法、频域分析法是三种不同的分析方法。由于时域分析法直接在时域中分析系统，且直观、准确，对建立控制系统的基本概念尤为重要。,第三章 线性系统的时域分析法,3-1 典型输入信号 3-2 线性定常系统的时域响应求解方法 3-3 控制系统暂态响应的性能指标.2学时 3-4 一阶系统的暂态响应.1学时 3-5 二阶系统的暂态响应.2学时 3-6 高阶系统的暂态响应.1学时 3-7 利用计算机求取系统的响应.1学时 3-8 线性系统的稳定性.2学时 3-9 控制系统的稳态误差.2学时 3-10 给定稳态误差与扰

2、动稳态误差,课时安排,3,系统的输入信号通常不会都是确定的，更不是典型的，使用典型的输入 信号只是为了分析和设计的方便。采用典型的输入信号，可以使问题的数学处理系统化，另外，它还可以由此去推知更复杂输入下的系统响应。,3-1 典型输入信号,单位阶跃函数,近似,单位斜坡函数,-函数,A=1 单位-函数 R(s) = 1,单位抛物线函数,r(t) =(t) =,r(t) =,r(t) =,r(t) =,R(s) = 1/S,R(s) = 1/S2,R(s) = 1/S3,3-1 典型输入信号,4,正弦函数,典型信号之间的关系,r(t) = Asin（t+F0）,正弦函数输入下系统的稳态响应称系统的

3、频率响应，由此形成了一整套控制系统的频率响应分析和设计方法,S=1,5,几种典型输入信号的时域曲线如图3-1所示。 分析系统时，所选择的实验信号应以实际系统在工作中最常见的信号作为输入信号。如果系统的输入信号是突然扰动量，应选择阶跃信号作为实验信号；如果系统的输入信号是冲击输入量，可选择脉冲信号为实验信号；如果系统输入信号随时间逐渐变化，应选择斜坡信号。一般说来，控制系统在实验信号基础上设计出来后，在实际输入信号作用下，系统响应特性一般都能满足要求。,6,线性定常系统的描述,线性常系数微分方程的解：,3-2 线性定常系统的时域响应求解方法,输出 = 任一特解 + 对应齐次方程的通解,特解：电网

4、络中常常用稳态响应作为一个特解（稳态分量）,通解：齐次解（方程右边=0） 零输入响应 、也称自由分量、相应稳态分量称暂态分量,特解：若系统稳定，稳态时输出中所有暂态分量将衰减到零，即 稳态分量与系统初始状态无关零状态响应 , 强制分量,7,由传递函数,用拉普拉斯变换工具可以使求解更加简单,得输出的拉普拉斯变换,将输出进行拉普拉斯反变换得输出的时域形式(单位阶跃响应),步骤：1、求G(s)；2、求C(s)；3、求C(t)=L-1(C(s),8,r(t)=(t) R(s)=1 C(s) = G(s) C(t) = g(t),系统的脉冲响应可以由求阶跃响应的导数得到,系统在任意输入下的响应又可以通过

5、系统的脉冲响应求出,r(t)=(t-kD) C(t) = g(t-kD),任意波形分割为一系列脉冲,9,C(s)=G(s)R(s) 不能得到c(t) = g(t)r(t),c(t) = g(t)r(t),输出是g(t)和r(t)的卷积,10,3.3 控制系统的时域性能指标,任何一个控制系统在典型信号作用下的时间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成。 动态过程是系统在典型信号作用下，系统从初始状态到最终状态的过程。根据系统结构和参数选择的情况，动态过程表现为衰减、发散和等幅振荡几种形式。一个可以正常工作的控制系统，其动态过程必须衰减，也就是说，系统必须是稳定的。一个系统的动态过程可以提供稳定信息

6、、响应速度、阻尼情况，这些都可以通过系统的动态性能来描述。动态过程也称为过渡过程或瞬态过程。 稳态过程是系统在典型信号作用下，时间t趋于无穷时输出量的表现形式。稳态过程反映系统输出量最终复现输入量的过程，它提供了稳态误差的信息，用系统的稳态性能来描述。稳态过程又称为稳态响应。,11,由此可见，任何控制系统在典型信号作用下的性能指 标都由动态性能指标和稳态性能指标两部分组成。 一般认为阶跃输入对系统是最严峻的工作状态，如果系 统在阶跃函数作用下能满足动态性能的要求，在其它输入形 式作用下也能满足其动态性能要求。所以，系统的动态性能 指标是在单位阶跃函数作用下测定或计算的。为便于分析和 比较，假定

7、系统在单位阶跃信号作用前处于静止状态，而且 系统输出量以及各阶导数均等于零。对大多数控制系统，这 种假定是符合实际情况的。图3-2所示是控制系统的单位阶 跃响应曲线，根据图示，定义如下动态性能指标。 （1）上升时间tr：指阶跃响应曲线从终值的10上升到终值90所需的时间；对于有振荡的系统，定义为响应从零第一次上升到终值所需的时间。,12,（2 ）延迟时间td： 阶跃响应曲线第一次达到其终值一半 所需的时间。 （3）峰值时间tp：指阶跃响应曲线从运动开始到达第一个峰值的时间。 （4）调节时间ts：指阶跃响应曲线到达并保持在终值2或5内所需的最短时间，调节时间又称为过渡过程时间。 （5）超调量：指

8、阶跃响应曲线的最大峰值c (tp)与终值c (t)之差的百分比，即 （3-1） 若系统输出响应单调变化，则无超调量。,13,稳态性能指标表征了系统控制精度及抗干扰能力，用稳态误差来描述。当时间趋于无穷时，系统输出量不等于希望值，说明系统存在稳态误差。稳态误差一般在阶跃函数、斜坡函数、加速度函数作用下测定或计算。 上述五个动态性能指标基本可以反映系统的动态过程性能。其中td、tr、tp反映系统响应的初始快速性；ts即反映系统的总体快速性，又与阻尼程度有关；则反映系统响应的平稳性或阻尼程度。,便于参数寻优及性能比较,（二）综合性能指标,但它不能使阶跃响应的各参数均最优，甚至某些参数还可能不能用 。

9、,15,3-4 一阶系统的暂态响应,一阶系统的阶跃响应： r(t)=1(t),C(s),R(s),方框图,微分方程：,传递函数方框图阶跃响应脉冲响应仿真演示 ,一阶系统的传递函数,16,用拉普拉斯求取阶跃响应：r(t)=1(t) 则 R(s)=1/S,输出由两部分组成：一部分不随时间变化稳态分量（1）；另一部分随随时间变化暂态分量（ ）。因此，系统的阶跃输出是随时间变化的,t=3T4T时,过渡过程基本结束;,t=0处斜率为1/T,t时,输出等于输 入值（公式中暂态项等于零）;,t=T时,输出到达稳态 的63.2%;,17,3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应,输入信号r(t)=(t)时，系统响应

10、c(t)为单位脉冲响应。由于理想单位脉冲函数的拉氏变换为1，所以单位脉冲响应的拉氏变换与系统的传递函数相同。图3-4所示一阶系统的输出为 其单位脉冲响应为 （t0）(3-7) 一阶系统的单位脉冲响应曲线如图3-7所示。显然，响应曲线为单调下降指数曲线，且在初始时刻t=0时，响应幅值为最大值1/T；当t时，幅值衰减到零。对式(3-7）求一阶导数，可以求出响应曲线斜率 (3-8),18,即 一阶系统单位脉冲响应的调节时间按指数曲线衰减到初值的5求取，得=3T。而且时间常数小的系统，响应速度好。 零初始条件时，一阶系统的闭环传递函数与脉冲响应函数之间的动态过程相同，这也适用于其他各阶线性定常系统。因

11、此测出系统的单位脉冲响应，就可以得到系统的闭环传递函数。由于理想单位脉冲函数是无法获取的，故而往往以脉宽为b、幅值有限的脉动函数代替 理想的单位脉冲函数，且要求脉宽b0.1T。,19,一阶系统的脉冲响应：r(t)=(t) 则 R(s)=1,脉冲响应的积分就是阶跃响应 因为阶跃信号是脉冲信号的积分,如果将脉冲信号做积分运算,20,3.2.4 一阶系统的单位斜波响应,输入信号r(t)=t时，系统响应c(t)为单位斜坡响应。因为R(s)=1/s2，图3-4所示系统的输出为 (3-9) 其单位斜坡响应为 (t0) (3-10) 式(3-10)中的（t-T）为稳态分量， 为瞬态分量。稳态分量与斜坡输入函

12、数的斜率相同，但在时间上滞后一个T值，所以存在位置误差，误差值即时间常数T；瞬态分量则随时间单调衰减。图3-8为一阶系统的单位斜坡响应曲线。,21,由图3-8可以看出，系统的输出量和输入量之间的位置误差随时间推移逐渐增大，但最后趋于常值T。系统的惯性越小，位置误差越小，跟踪准确度就越高。在t=0时，初始斜率为零，即 所以初始状态时输出速度和输入速度之间误差最大。,22,3.2.5 一阶系统的单位加速度响应,输入信号 时，系统响应c(t)为单位加速度响应。因为 ，图3-4所示系统的输出为 其单位加速度响应为 （t0）(3-11） 就单位加速度响应来说，仅分析其跟踪误差e(t)即可。e(t)的表达

13、式为 当t时，跟踪误差达到无穷大，由此得到一阶系统无法跟踪加速度信号的结论。,23,表3-2 一阶系统对典型输入信号的响应式,从上述一阶系统对四种不同典型输入的响应，得出系统对输入信号微分的响应等于系统对该输入信号响应的微分；系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，这一特性适用于任何阶线性定常连续系统，非线性系统以及线性时变系统则不具有这种特性。这样，研究线性定常系统的时间响应只取一种典型形式进行测定即可。 上述四种典型输入信号的响应表达式列于表3-2中。,24,开环传递函数（上式分式上下同除以（ ）,标准传递函数,方框图,3-5 二阶系统的暂态响应,传递函数方框图特征参数阶跃

14、响应与根分布阶跃响 应特征值脉冲响应仿真演示 ,25,阶跃响应,根在根平面上的位置,不等负实根 1 相等负实根 2 共轭复根 3 共轭虚根 4 正（正实部）根 5,根位置不同（、不同）有不同的阶跃响应,特征参数 、,26,一、不同参数( 、n)下二阶系统的阶跃响应,不同系统（就是不同参数、n ）下，二阶系统的阶跃响应有不同的形态，通过分析参数、n 与二阶系统的阶跃响应的关系可以很容易揭示其本质,27,暂态分量：,响应随t的增加逐渐单调衰减到零；后一个分量衰减更快。,输出也是由两部分组成： 稳态分量 =1 暂态分量 两个形如脉冲响应部分 ，随时间变化的,t时,输出等于输 入值（=1，暂态项等于零

15、）。,28,仿真模块 ypzk34,根分布,29,根分布,30,阶跃响应是随时间单调上升的 当 t响应趋于稳态值,31,3、,根分布,此时根的特点：共轭复数,阶跃响应是振荡的，由于根的实部为负，所以，振荡的幅值随时间的增加而衰减，最终趋于零,32,仿真模块 (ypzk36),. 11 .,33,阶跃响应 与极点分布：,34,5、,阶跃响应暂态分量指数项在 t 时为无穷大，系统不稳定。,根分布,35,无阻尼自然振荡频率,阻尼自然振荡频率,阻尼比,临界阻尼 校正的概念,36,3.3.3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析,在控制工程中，一般都希望系统的动态过程既有充分的快速性，又有一定的阻尼，所以为了获

16、得满意的动态性能指标，希望阻尼比等于0.40.8。过小（阻尼比小于0。4）,将导致超调量较大；过大（阻尼比0.8），又会使响应迟缓。 下面推导由式（3-19）描述的典型二阶系统在欠阻尼状态下的上升时间、峰值时间、超调量、调节时间的计算公式。为了便于说明问题，由图3-13表示欠阻尼二阶系统各特征参量之间的关系。图中衰减系数指闭环极点到虚轴之间的矩离；阻尼振荡频率d为闭环极点到实轴的矩离；自然频率n是闭环极点到坐标原点之间的矩离；n和负实轴夹角的余弦是阻尼比 ,即,图3-13 欠阻尼二阶系统的特征参量,(3-25),37,1） 二阶系统阶跃响应的特征量有： 上升时间 峰值时间 百分比超调量 调节时

17、间 衰减比,二、二阶系统阶跃响应的特征量,第一次达到稳态值时间,第一次进入误差带时间,误差带：,到达最大值时间,第二超调量与第一超调量之比,38,当（=1）时阶跃响应没有超调，此时， 上升时间的定义修改如下：,39,2） 二阶系统阶跃响应的特征量的计算：,！第一次到达,上升时间 tr,依定义有：,当租尼比一定时，阻尼角不变，系统的响应速度与 自然频率成正比，当阻尼一定时，自然频率越小，上升时间越短。,40,峰值时间 tp,！第一次到达,令：,峰值时间tp等于阻尼振荡周期的一半。当阻尼比一定时，闭环极点距负实轴越远，峰值时间越短。,41,百分比超调量 Mp%,42,超调量与自然频率无关，仅是阻尼

18、比的函数。阻尼比越大，超调量越小；阻尼比越小，超调量越大。当选取阻尼比为0.40.8时，值在1.525.4之间。,43,调节时间 ts,符合上式答案有多个，如下图,44,用包络线近似来简化计算：,取得包络线方程：,45,当 当,0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.02 -0.087 -0.144 -0.223 -0.337 - 0.51,适用,其中,46,调节时间与闭环极点的实部数值成反比。闭环极点距虚轴距离越远，调节时间越短。 阻尼比的值主要根据超调量要求确定；自然频率n的值主要根据调节时间要求确定,47,例3-2 单位负反馈控制系统如图3-16所示。 （1）确定系统特征参

19、数、与其实际参数的关系； （2）若K=16，T=0.25，计算系统的各动态性能指标。,48,衰减比 振荡次数,单位脉冲响应 可由阶跃响应求导数得到,49,3-8 高阶系统的暂态响应,特解 稳态分量 零状态响应 强制分量,齐次解 暂态分量 零输入响应 自由分量,3-6 高阶系统的暂态响应,50,不同闭环极点位置与相应响应分量图例,极点离虚轴越远，响应分量衰减越快（a - b） 则：该分量（极点）对系统阶跃 响应的影响就小,根据系统对阶跃响应暂态分量的分析，闭环极点位置决定该分量阶跃响应的形态,d 、e 点：虚部不为零，过渡过程是振荡的,b、d 、e 点：实部相同,其衰减（或幅值衰减）速度相同,d

20、 、e 点：实部相同,虚部不同，虚部值越大，其振荡频率越大,51,等线,d 点：其虚部与c相同，响应分 量振荡频率与c相同,e点：与c点、原点在同一直线, 有相同的，响应分量 有相同的百分比超调量,极点位置在虚轴上，其响应是等幅振荡的，离实轴越远，振荡频率越高,极点位置上，如果恰好有闭环零点（偶极 子），它们的作用将抵消,52,闭环零点：减小峰值时间，使系统响应加快，超调量增大。阻尼比减小。且闭环零点越接近虚轴，这种作用越显著； 闭环非主导极点：增大峰值时间，使系统响应变缓，超调量减小，阻尼比增大。且闭环非主导极点越接近虚轴，这种作用越显著；,闭环零点和非主导极点的影响：,主导极点：高阶系统中

21、距离虚轴最近的极点，其附近没有零点，它的实部比其它极点的实部的1/5还小，称其为主导极点。此时认为系统的响应主要由该极点决定。通过主导极点可以把高价系统近似为二价系统进行分析。,53,小结：,系统的暂态响应性能是考核系统的重要指标；,使用典型的阶跃信号输入，用二阶系统响应的特征量来表述系统性能：上升时间、峰值时间、百分比超调量、调节时间；,求解系统的动态响应方法：,直接求解微分方程（低阶）：通解、特解；,用拉氏变换求解：拉氏变换求输出的拉氏形式 拉氏反变换；,二阶系统的特征量 、与性能指标关系可用公式描述；,系统闭环极点与零点共同决定系统的暂态性能，但主要是由极点 决定，零点主要影响响应的初始

22、形态；,系统的响应可以在根平面上分析。,54,3-8 线性系统的稳定性,稳定性的概念 稳定的充要条件 ROTH稳定判据,一、稳定性的概念,定义：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后，系统能够回到原状态或者回到原平衡点附近，称该系统是稳定的，否则，不稳定。,上述稳定是“渐近稳定”的,“线性”系统通常是线性化的,因此，稳定性通常也应在小偏差范围中讨论,55,齐次解 暂态分量 零输入响应 自由分量,二、稳定的充要条件,根据系统的阶跃响应输出表达式, 只要Si0或当它为复数时，其实部 -kk0 即：系统所有的闭环特征根在根平面的左半面，系统阶跃响应的暂态分量随

23、时间t趋于无穷而趋于零，此时，系统是渐进稳定的。, 如果至少有一个根Si0或有实部 -kk0的根，即：在根平面的右半面有系统的闭环特征根，那麽，系统阶跃响应的暂态分量中，该输出分量随时间t趋于无穷而趋于无穷大， 也就是，系统是不稳定的。,56,系统的稳定性判别归结为： 根据系统的闭环特征根在根平面的位置来判别。,3-9 劳斯稳定判据,根据系统稳定的充要条件，判别系统稳定与否，只要令系统的闭环特征多项式等于零，判别系统的特征根（极点）即可。,如果 系统的闭环特征根至少有一个根Si0 或者根的实部 -kk0 即：根平面的右半面有闭特征根， 那麽，系统是不稳定的。,ROTH不求根，只用闭环特征多项式

24、的系数，通过简单运算就可判断极点的位置，从而判断系统稳定性,57,分母都是第一列的元素， 如第三行第二列,三、劳斯判据,闭环特征方程：,1、闭环特征方程如果 ai不是全部同号或系数有等于零的项 （缺项），则系统不稳定；否则，继续进入第二步；,劳斯阵列表:,2、建立劳斯阵列表,3、判别劳斯阵列表第一列系数 第一列元素全部同号且不为零时系统稳定； 否则，系统不稳定。,58,1、闭环特征方程系数全部大于零，系统稳定与否继续第二步；,2、建立劳斯阵列表,因为第一列中，各元素不同号，故系统不稳定。,又：由于第一列的元素变号两次，应有两个极点在S平面的右半面。,该系统有五个根：-2.0461 0.7336

25、 1.1577i -0.7105 0.8922i,59,2. 劳斯稳定判据的特殊情况 应用劳斯判据建立的劳斯表，有时会遇到两种情况，使计算无法进行，因此需要进行相应的数学处理，而处理的原则是不影响劳斯稳定判据的判断结果 。 (1) 劳斯表中某行第一列元等于零: 如果出现这种情况，计算劳斯表下一行第一元时，会出现无穷现象，使劳斯 稳定判据无法使用。例如系统特征方程为 D(s)=s4+3s3+s2+3s+1=0 （3-89） 劳斯列表为,60,有两种方法可以解决这种情况。第一种方法是用因子（s+a）乘原特征方程，a是正实数，再对新特征方程应用劳斯判据判断。如用(s+3)乘式（3-89），得新特征方

26、程为 D(s)=s5+6s4+10s3+6s2+10s+3=0 列劳斯表为,可见第一列元符号改变两次，所以有两个正实部根，系统不稳定。,61,62,63,第一列不变号，故系统无正实部根，但因出现全零行，解辅助方程F(s)得一对共轭复根 ，所以系统属临界稳定。,64,该系统的劳斯阵列中第一列出现等于零的元素，故系统不稳定。,由辅助方程可求得：,65,（4）S4+ 2S3+ 8S2+ 4S+ 3=0 （5）S4+ 2S3+ S2+ 4S+ 2=0 （6） S5+ S4+ 3S3+ 9S2+ 16S+ 10=0 （7） S6+ 3S5+ 5S4+ 9S3+ 8S2+ 6S+4=0,四、 劳斯判据的其

27、他应用,1、确定系统稳定时的参数取值范围,2、确定系统稳定裕量 用(S-)代替S，如果用ROTH判据判断仍能 稳定，则表明该系统至少有稳定裕量,带参数按步骤列表计算ROTH阵列表第一列元素； 令含参数的元素零，得到系统稳定时的参数取值范围,66,例3-7 已知负反馈系统的开环传递函数,（1）用劳斯稳定判据确定使系统稳定K1的取值范围； （2）如果要求闭环极点全部位于s= -1垂线之左，求K1的取值范围。,67,68,3-10 控制系统的稳态误差,一 稳态误差的定义,稳态误差的定义 ：系统的稳态误差是指在输入加入后，经过足够长 的时间，其暂态响应已衰减到微不足道时（指稳定系统，此时系统进入稳态）

28、，稳态响应的期望值与实际值之间的误差。,稳态：当时间趋于无穷 大时的固定响应。,控制系统的稳态误差： 给定输入下的误差给定误差 扰动输入下的误差扰动误差,恒值控制系统：恒值,随动控制系统：跟随输入变化,正弦输入下系统响应是正弦波,69,当H(s)=1时（即单位负反馈），B(s)=C(s),这时的E(s)=E1(s),所以, 经常也用E1(s)来描述稳态误差 （本书在计算给定误差时用E1(s), essr=L-1R(s)-B(s) 而计算扰动误差时用扰动的输出, essn=L-1Cn(s)）,二 误差的衡量,按定义，图中 E(s)是系 统稳态误差的拉普拉斯变换形式,注意扰动输入的符号！ 如图EN

29、(s)=CN (s)=GN(s)*N(s) 在作结构图变换求扰动输入下的输出时，该符号只是决定扰动输出的符号，不影响闭环反馈的符号。,K系统闭环 传递系数,70,三 系统的“型号”,根据随动系统跟踪信号的能力将系统划分为0、I、II 型,系统开环传递函数,H(s)中不含积分环节， =0 不含积分环节 0 型系统 =1 含一个积分环节 I 型系统 =2 含二个积分环节 II 型系统,根据线性系统的可加性， 可以分别求 给定误差和扰动误差,71,3-11 给定稳态误差与扰动稳态误差,一 给定稳态误差终值的计算,位置（阶跃）误差系数,终值定理：,斜坡（速度）误差系数,抛物线（加速度） 误差系数,72

30、,求系统的给定输入下的稳态误差可以先求稳态误差系数,三种典型输入下有三个误差系数的计算公式（由上页），而三个误差系数对应于“0”“I”“II”型系统又分别有三种情况,0 型系统,0型系统，阶跃输入时，误差系数=K,0型系统，阶跃输入时，输出始终不会等于输入，存在稳态误差,0型系统，斜坡输入时，误差系数=0,稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）,0型系统，抛物线输入时，误差系数=0,输 出不能跟随输入， 稳态误差无穷大,系统开环传递函数中不含积分环节,73,I 型系统,I 型系统，阶跃输入时误差系数无穷大,I 型系统，阶跃输入时没有稳态误差 输出最终等于输入,I 型系统，斜坡输入时，误差系数=K,I 型系统，抛物线输入时，误差系数=0,I 型系统，斜坡输入时，输出可跟随输入，但存在误差,稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）,系统开环传递函数中含一个积分环节,74,II 型系统,II 型系统，阶跃输入时误差系数无穷大,II 型系统，阶跃输入时没有稳态误差 输出最终等于输入,II 型系统，斜坡输入时误差系数无穷大,II