第三章 粘性流体流动的微分方程.ppt

1、第三章粘性流体流动的微分方程，先讨论总质量、总能量及总质量平衡修正方程，再用它们解决工程设施修正中的许多问题。 总衡订正算法的对象是某个宏观调控体。 特征：根据进出口股票的状态、控制体范围和环境间的交换情况确定内部的某一量的总变化。 例：总质量平衡修正算法只是考察流体通过圆管的平均速度，而不能确定截面上的速度分布。 这个问题必须用微观平衡修正算法来解决。 微平衡校正算法所依据的法则与总平衡校正算法相同。 微分平衡校正方程也称为变化方程，描述了与运动量、热量和质量传递相关的随位置和时间变化的物理量，例如速度、密度、压力、温度、成分浓度等的普遍规律。 在本章中将重点放在微分质量平衡修正算和微分动量

2、平衡修正算方程式上。 第1节连续性方程式，连续性方程式：对于一成分系或者没有组成变化的多成分系，应用质量守恒定律进行微分平衡修正算出的方程式。 31连续性方程式的导出，y，图：从流动的流体中选择微单元，其边的长度为dx、dy、dz，对应的各边的长度分别与x轴、y轴和z轴平行。 中的组合图层性质变更选项。 流体在任意点(x、y、z )的速度u在x、y、z方向上的分量分别是ux、uy、uz，流体密度是与x、y、z的函数。 因此，将点(x、y、z )处的质量通量设为u，根据质量守恒定律，对该微小区进行质量平衡校正运算：输出的质量流量输入的质量流量累积的质量流量0， 首先分析在该微小区中沿x方向流动的

3、质量流量：微小区的左侧平面上的质量通量为ux的沿x方向的净输出质量流量为上述差，同样，沿y方向的净输出质量流量为沿z方向的净输出质量流量， 三者相加是该微小区中的流体质量流量的总输出与总输入之差，总净输出为：(输出的质量流量)(输入的质量流量)即累积的质量速度将上述两个差除以d，累积质量速度，流体流动时的微分质量平衡式，矢量形式写为、(31 )、(32 )、分散度，在此适用范围：(1)因为导出时没有任何假设，所以适用于稳定或非稳定的系统。 (2)理想流体和实际流体。 (3)可压缩流体和非压缩流体。 (4)牛顿型流体和非牛顿型流体。 是研究动量、热、质量传递过程最基本和最重要的微分方程之一。 3

4、2连续性方程的分析和简化，可以展开连续性方程的另一形式是上式的物理意义分析：与传递过程相关的许多物理量(例如压力、密度、速度、温度、浓度等)是位置和时间的连续函数，有：因为要进行全微分，x、y、z是固定的，后三项都是因为总导数被认为是在测量运动流体密度时，当观察者在流体中以任意速度运动(其中，是其速度分量，该速度不一定等于流体速度)时，密度相对于时间的变化率。 很明显，全导数不仅与时间和位置有关，还与观察者的速度有关。 (3)随体导数是在测量流体密度时，当观察者在流体中的运动速度与流体运动速度完全一致时，流体流速在3个坐标轴上的成分。 此时，上述方程式可以表示流体密度是位置、时间和流体速度u的

5、函数。伴随这种流体运动的导数被称为“随体导数”或“真导数”，或者被称为拉格朗日导数，表示为(37 )，并且随体导数中的物理量可以是标量(压力、密度、温度、浓度等) 空间的某个固定点上的量的时间变化称为“局部导数”，另一部分是量的对流变化，该量因流体质点的运动而从一点向另一点移动时该量发生的变化称为“对流导数”。 上式表示流体质点在d时间内从一个空间点(x，y，z )移动到另一个空间点(xdx，ydy，zdz )时，流体密度相对于时间的变化率。 连续性方程式以随体导数的形式表现：方程式的前三项是速度向量的分散度，现在来看第四项的物理意义：考察流体运动的一个单位质量的流体微元，质量平衡是固定的，但

6、体积v和密度随时间变化，(310 )，两侧是随体导数速度矢量的分散度等于流体运动时的体积膨胀速度。 这个概念很重要，以后再用好几次。 上述方程的物理意义是在运动量、能量和质量平衡的修正计算和分析对流体的运动时有两种方法。 一种是欧拉法：固定流体在运动空间内的位置，固定被研究流体的体积，其质量随时间变化，从而分析该固定位置的流体状况变化，得到整个流场的流体运动规律。 另一种是拉格朗日方法：在流体运动的空间内，选择一定质量的微单元，观察者随着该流体微单元一起运动，根据该运动的流体微单元的状态变化研究整个流场的流体运动规律。 在这种情况下，流体质量一定，位置变化，体积也可能变化。 在总平衡校正运算或

7、导出导数校正运算方程的过程中，可以采用两种观点且最终结果相同，只是在一种情况下会使得简化。 用别的方法很麻烦。 例如，在导出连续性方程式时采用欧拉法，在分析该方程式时采用Lagrange法。 后面的微分动量平衡修正运算和微分能量平衡修正运算方程式的导出采用Lagrange法。 连续性方程式的简化，(1)稳态流动的连续性方程式是稳态流动，所以密度不会随时间变化，即，式(31 )可以简化为、(314 )，上式适用于可压缩流体和不可压缩流体。 (2)非压缩流体的连续性方程式此时为常数，因此(31 )式能够简化为(315 )，适用于稳定和非稳定的流动。 这个公式很有用！ 33柱坐标系和球坐标系中的连续

8、性方程式在研究圆管、圆柱形流路内的流动时，在同一半径上的所有点具有相同的速度和其他物理量，这时用柱坐标系表现连续性方程式是最方便的。 同样，当流动系统的范围面是球形或其一部分时，采用球坐标是最方便的。 另外，这2个坐标系上的连续性方程式的导出，原则上与正交坐标系类似，也能够通过从正交坐标系变换坐标系之间的对应关系来得到。 虽然此处没有详细叙述，但结果是圆柱坐标系上的连续性方程式：r径向坐标、z轴坐标、(316 )、方位角、时间、三个方向的流体速度分量、全纬度、方位角、(316 )、球坐标系方向，球坐标系上的连续性方程式：第二节运动方程式通过微分质量平衡校正计算导出了连续性方程式。 同样，微分动

9、量平衡的修正算法可以导出流体的运动方程式。 两者相结合可以解决许多流体运动问题。 这两个方程式是三传的基础方程式。、1运动方程式的推导、流体运动所遵循的牛顿的第二定律可以表现为，流体的运动量的经时变化率等于作用于该流体的各外力的矢量和。 对于使用(318 )、Lagrange法以质量平衡以相同的流速跟踪流体的运动的微要素流体，(319 )，式(319 )是向量方程式，可以分别写作x，y，分别写作(321a )，(321b )，(321c )，I表示惯性力，以上外力的各成分由(1)质量力或体积力、作用于流体微单元整体的外力、(2)机械力或表面力、作用于流体各表面的外力这2种力构成，分别如下说明：

10、1质量力、传递的x单位质量流体的质量力的x方向的成分仅考虑重力场的作用，因此x为单一因为x方向是水平方向，所以X0，同样Z0，Yg，有(323a )，(323b )，(323c )，2的表面力，这个力从这个流体微观要素邻接的外部流体，对于由静压力和粘性力给予的单位表面来说被称为表面应力或机械应力。 表面应力分为法向应力和剪应力两部分。 表面应力记为。 图中显示了一个流体微单元yz平面上三个机械应力分量的作用状况，法向应力分量和切向应力分量，即剪应力分量，下标的意思是，第一下标x的应力分量的作用面垂直于x轴，第二下标的应力分量的作用方向分别为x轴、y轴和z轴方向。 中的组合图层性质变更选项。 如

11、果两个下标相同，则表示法向应力。 法向应力：按一下拉伸方向为正，即向外为正。 压缩方向为负，即内侧为负。 作用于在x方向上流动的流体微单元的机械应力成分图考察了一个流体微单元在x方向上受到的机械应力的情况。 该微单元的6个表面全部受到来自与其相邻的外部流体的机械应力。 每个应力可分解为x、y和z方向上的分量。 图中只表示了x方向的应力成分。 流体微单元的体积缩小为一点时，相对的两面的法线应力和切线应力相应地大小相等，可以认为方向相反。 因此，在流场中，任何一点的流体受到的机械应力状态，只能用9个机械应力成分完全表现，有3个法向应力和6个剪应力，各方向有2个应力成分。 可以证明上述6个剪应力可以

12、使流体微单元旋转。 不是相互独立，而是相互关联。 中的组合图层性质变更选项。 图中的流体微单元在xy平面上的对应平面分开观察时，作用于该平面周围的4个剪切应力如下图所示：图中平面的图中点为0，假定平行于z轴的轴线通过图中点，这4个剪切应力在该轴线上产生力矩，流体微单元力矩必须等于流体质量、旋转半径平方和角加速度的乘积。 中的组合图层性质变更选项。 只有剪应力才能在旋转轴上产生力矩，但由于法向应力和重力的作用通过上述质心，因此不会产生力矩(即旋转半径为零)。 假设逆时针方向的旋转力为正，相反为负，则能够写出如下的力矩方程式运动微分方程的导出：参照上述流体微单元，首先考察x方向的净机械力成分，明显

13、可以用下式表示：(326 )、简化后：(327 )，接着考察x方向的总外力成分：这等于机械力成分与重力成分之和，运动微分方程的解析：在上述三个运动微分方程中， 由于只有3个已知量x、y、z，独立的未知变量达到10个，即：所以不可能得到其解析解。 只有通过适当的简化、假设，才能在特定的情况下求解。 由牛顿型流体的应力和变形速度的关系导出内维斯托克斯方程式。 2应力和变形速度的关系、剪应力、牛顿型流体、剪应力与剪切速度成比例，即对于一维流动，速度梯度与y轴方向相同时：(332 )在此称为x方向的变形速度或剪切速度。 中的组合图层性质变更选项。 用平面夹角变化速度的形式表现变形速度很方便。 如图所示

14、，相对于一维流动，将流体微单元的xy平面设为矩形，通过剪切力的作用，该矩形必然变形，经过d，成为虚线所示的平行四边形，该变化在粘性流体流动时，通过粘性的作用， 可以解释为在与x轴平行的两对置平面上产生相对运动的相对运动使上层流体比下层流体更多地行进，根据距离：xy平面上的原矩形平面所成的角度也发生d (用弧度表示)变化，d的正切可以用(333 )表示，为什么取负符号，是因为如果上层行进距离多因为d小，所以上式写作(334 )，代入牛顿粘性法则，(335 )是角变形速度，可以理解为微分长度dy以原点为中心旋转时的角速度。 用该公式分析了三维流体流动时的情况：粘性流体在流动过程中必然产生体积变形，

15、由原来的方形变为菱形微单元六面体。 分析在xy平面受到的剪应力成分和变形速度的关系，经过微分时间d，成为(其中和全部为负的值)，相同的维的流动相似，所以(336 )牛顿型流体的剪应力与变形速度成正比，所以将上式代入式(3)的二法线应力由于静压的作用如果流体微单元受到压缩应力的部分、因体积变形、粘性应力的作用而产生的部分、微单元在法线方向上受到拉伸或压缩的部分、直线变形、如果一个流体微单元静止，或者即使流动也没有粘性应力的作用(即理想流体) (338 )， (对于理想流体或静止的实际流体成立)，对于2流的粘性流体，由于流场各处流速不同，三者不相等，与p的关系也更为复杂。 表示三个法向应力的平均值。 该平均值与静压p的关系在数值上仍相等，即上式成立。 可是，对于气体和非压缩流体，对