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1、1、第9章，状态空间分析方法，第9章，状态空间分析方法，第9-1章，线性系统的能控性和能观性，第9-3章，线性系统的线性变换，第9-4章，线性时不变系统的反馈结构和观测器，第9-5章，李雅普诺夫第二方法，第3章，经典控制理论与现代控制理论的比较，第4章，掌握矩阵指标的计算方法以及时域和复域状态方程的求解方法。掌握从动力学方程计算传递函数的公式。正确理解线性变换，掌握线性变换前后动力学方程矩阵之间的关系。正确理解能控性和能观性的概念，熟练掌握和运用能控性准则和能观性准则。5，可将可控系统转化为可控标准形式。不可控系统可以分解为可控性。掌握全维状态观测器的公式和设计方法，掌握由观测器获得的状态估计

2、值代替状态值组成的状态反馈系统，可以进行闭环极点配置和观测器极点配置。正确理解李雅普诺夫方程正定对称解的存在条件和解，可以通过求解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。基本要求，6，状态空间方法的基础。在经典控制理论中，传递函数被用来设计和分析单输入单输出系统。在现代控制理论中，系统由状态变量描述。矩阵表示可以使系统的数学表达式简洁明了，为系统的分析和研究提供了有力的工具。七一。状态空间的基本概念，即知道时间的状态和输入，可以确定一个变量在那个时间的运动状态。8，状态空间：张成开发的N维向量空间。状态向量：如果需要N个状态变量来完全描述给定系统的动态行为，那么状态向量被定义为X(t)。在一定时间内，状

3、态表示为状态空间中的一个点，状态随时间的变化过程构成了状态空间中的一个轨迹。例如，让我们建立一个如图所示的RLC网络。循环方程如下：如果选择状态变量，11、和输出，12、和，如果选择另一组状态变量，13。如果给出初始值、和当t=0时，就可以确定系统的行为。单输入单输出线性时不变系统，选择状态变量；2.系统的状态空间表达式，14、15或写成、16、系统结构图如图所示，例如17、输入为U，输出为Y，试求系统的状态方程和输出方程。考虑由以下常微分方程描述的系统，取状态变量，状态方程是，解：18，线性时不变系统的状态方程的解，所有这些都是列向量。齐次向量微分方程的解是1。齐次状态方程的解是19。可以得

4、出等式两边的系数必须相等，即定义了20。因此，齐次状态方程的解是通过将t=0代入解而得到的，这种解称为nn矩阵，这种矩阵称为矩阵指数。21，因此齐次状态方程的解是，2，通过拉普拉斯变换22求解，并且通过逆拉普拉斯变换23获得，最终获得，这与通过先前方法获得的结果一致。在公式24中，状态转移矩阵有以下性质：25，例如，让系统的状态方程为，试着找出状态转移矩阵。解决方案：找到状态转移矩阵，其中，26，你可以把方程的解写成，让系统状态方程，试着找到状态方程的解。解，例如，27，状态方程的解是，28，它被重写为，使用左乘法方程，2解非齐次状态方程，非齐次方程，积分公式，使用乘法方程，29，讨论非齐次状

5、态方程的拉普拉斯变换解，然后公式可以写成，拉普拉斯逆变换，因为，通过卷积定理，30，解：通过，状态转移矩阵，32，如果初始状态为零，那么，33，4，传递函数矩阵，系统状态方程，输出方程，拉普拉斯变换是因此，例如，假设系统的状态方程是，解：系统的特征方程是，并且特征方程的根是-1，-2和-3。矩阵a的特征值也是-1，-2和-3。这两个是一样的。试着找出系统的特征方程和特征值。37，5。动态方程的线性变换，其中p是nn矩阵，38，特征多项式，特征多项式不变。39，传递函数矩阵，传递函数矩阵没有改变，例如，40，系统执行坐标变换，而变换关系是试图找到被变换系统的特征方程和特征值。41，解：根据问题的

6、含义求出变换矩阵，代入，42，特征方程为，特征值为-1，-2，-3，与上例结果相同。可以得到线性系统的能控性和能观性。在状态空间法中，系统的描述可以用状态方程和输出方程来表示。状态方程描述了输入和初始状态引起的状态变化。输出方程描述了状态变化引起的输出变化。44.首先，准备知识，让A是神经网络矩阵，X是n1向量，齐次方程。如果|A|=0，上述公式有一个非零解；如果|A|0，上述公式只有零解。Ax=0，1，齐次方程的非零解，45，2，凯莱-汉密尔顿定理，凯莱-汉密尔顿定理表明矩阵A满足它自己的特征多项式。那么满足，46的特征多项式。利用凯莱-汉密尔顿定理，47，3引理，存在的充要条件是它是非奇异

7、的。这里是A :nn，b: n1。48，如果对于任何状态都有一个有限的时间和控制量，并且该状态在当时可以被转移到0，那么这个系统的状态是完全可控的。2.线性系统的可控性，定义为1。在任何时候，如果有一个控制向量，每个初始状态可以转移到另一个任意状态，那么这个系统的状态是完全可控的。等价的定义，49，2可控性准则，其中A (nn)，b (n1)，c (1n)，d (11)，系统可控的充要条件是单变量线性时不变系统的可控性准则，50，3 Jordan型方程，Jordan块的一般形式是，从前面的讨论来看，等价变换不是，51，当且仅当只有一个Jordan块对应于相同的特征值，即每个Jordan块的特征

8、值是不同的。在每个等价块的最后一行，b中对应的元素不为零。这个充要条件也称为单输入系统等价方程的能控性准则。例如，系统状态方程试图确定当系统可控时应该满足的条件。53，解决方案：因为在矩阵A中有两个if块，根据准则(1)，对应于准则(2)的第二行A的B中的元素B2和B4不是零，所以当且仅当系统是可控的，它必须是可控的。单输入系统，如果它具有下列形式，55，上述公式的形式称为单输入系统的可控标准形式。对于一般的单输入N维动态方程，其中A和B分别是神经网络和N1的矩阵。以下定理成立：如果N维单输入系统是可控的，则有一个可逆的线性变换，它被变换成一个可控的标准型。56，下面给出变换矩阵p的构造方法，

9、并计算可控性矩阵s；计算和记录的最后一行是h。通过构造p阶矩阵，可以得到变换后的系统状态方程。例如，让系统状态方程试图将系统状态方程转换成可控的标准形式。解：首先判断可控性，然后计算变换矩阵，将状态方程变换成可控标准型。因此，系统是可控的。它必须转换成一个可控的标准形式。58。这时，标准形式的系统矩阵的最后一行的系数是矩阵A的特征表达式的系数，但是符号是相反的。那么变换矩阵是，59，可以找到，60。根据可控性对系统进行分解。当系统可控时，它可以被转换从图中还可以看出，系统的传递函数完全由图中虚线以上的部分决定，即传递函数不能反映系统的不可控部分。例如，对于如下的系统方程，它的传递函数是可控性分

10、解的一种尝试。65，解：系统的可控性矩阵，因为S的第三列是第一列和第二列的线性组合，所以系统是不可控的。选择，66，计算，构成，67，所以有，所以得到，68，线性系统的可观测性，让n维单变量线性时不变系统的动力学方程为，如果在有限时间间隔0，t1，根据输出值y(t)和输入值u(t)，系统的初始状态x可以唯一地确定，其中a，b和c分别是矩阵。1，可观性的定义，69，2可观性准则，可观性的充要条件是，上述公式中的矩阵称为可观性矩阵。把它写成v.70，尝试判断系统的可观测性。例如，假设系统的动力学方程是解，并且系统的可观测性矩阵是奇异的，因此系统是不可观测的。在系统可逆线性变换下，系统可观测矩阵的秩

11、保持不变，因此可逆线性变换不改变系统的可观测性。71，3对偶原理。上述两个系统的系统矩阵、输入矩阵和输出矩阵之间有一定的关系，这两个系统称为系统，是对偶系统。一个系统的能控性(能观性)等同于一个系统的能观性(能控性)。上述结论可以通过写出系统的能控矩阵(能观矩阵)和能观矩阵(能控矩阵)来证明。利用对偶原理，可控性的研究成果可以应用于可观性的研究。因为对偶系统的能控性研究相当于原系统的能观性研究。73，4可观测的标准形式，如果一个单输出系统的A和C矩阵具有下列标准形式，则该系统必须是可观测的。上述公式被称为单输出系统的可观测标准形式。74。对偶原理证明了给定的系统方程如下。如果有等价变换，它将被

12、变换成可观察的规范形式，75。构建了原系统的对偶系统。根据对偶原理，因为原系统是可观测的，所以它的对偶系统必须是可控制的。转化为下面的可控标准型，其变换矩阵为p .76。因此，通过比较以上两组公式，我们可以知道期望的线性变换矩阵，它可以将系统方程变换成可观测的标准型。例如，系统动力学方程是将系统动力学方程转换成可观察的标准形式，并找到转换矩阵。78，解决方案：显然，系统可以被观察到，并且可以被转换成一个可观察的规范形式。写出其对偶系统的A矩阵和B矩阵，即：根据A矩阵和B矩阵，求出P矩阵：79根据变换可控标准形式的步骤，计算可控矩阵S，通过公式(9-128)求出P矩阵，通过公式(1-60)求出M

13、矩阵，然后、81和5系统根据可观测性进行。如果系统是不可观测的，并且，82，那么存在一个可逆矩阵P，并且动态方程被改变成、83，这可以通过证明可观测标准形的方法来证明。84，根据可观测性分解系统。从图中可以看出，传递函数完全由图中虚线以上的部分决定，即传递函数不能反映系统的不可观测部分。85，状态反馈和状态观测器。在本节中，我们首先研究以状态变量作为反馈的控制模式。系统的动力学方程如下：1。状态反馈和极点配置的问题，其中V是参考输入，K称为状态反馈增益矩阵，这里是1n的向量。上图所示闭环系统的状态空间表达式为，其中A-bk为闭环系统的系统矩阵。87，计算闭环系统的可控性矩阵，因为1状态反馈不影

14、响如果原系统是不可控的，无论用什么K矩阵作为状态反馈，闭环系统仍然是不可控的。这种称为状态反馈的特性不会改变系统的可控性。90，2。闭环方程的系统矩阵A-bk的特征值通常称为闭环极点。闭环系统的质量主要由闭环极点决定，而稳定性则完全由闭环极点决定。通过选择反馈增益矩阵来改变闭环特征值在复平面上的位置，称为状态反馈极点配置问题。91，证明：定理：系统矩阵A-bk的特征值可以被状态反馈增益矩阵K配置到复平面中的任何位置，当且仅当系统是可控的。92，状态反馈公式可以写成：考虑矩阵，93，它的特征公式是，因为的特征公式，是的特征公式，所以和有相同的特征值。让任意给定的闭环极点为，和，95。在上述定理的

15、充分性证明中，给出了用可控标准型选择K矩阵使闭环具有任意所需特征值的计算步骤。现在总结如下：计算A的特征表达式，从给定的N个期望特征值计算期望多项式，96，根据公式(9-94)，计算如果你不经过这一步，你也可以直接找到k。搜索，97，系统状态方程是，如果闭环特征值分布是-1，-2，-1 j，-1-j，通过加入状态反馈，尝试搜索状态反馈增益矩阵k。例如，98，计算特征表达式A，从给定的四个期望特征值计算期望多项式，解是：方法1，通过变换可控范式求解，99，找到反馈增益矩阵，=-0.4 -1 -21.4 -6， 并根据公式(9-94)计算出可控标准型的坐标变换矩阵P。比较两个特征表达式的系数，可以

16、得到k=-0.4 -1 -21.4 -6，101。 其次，为了实现状态反馈，必须测量状态变量，但在实际系统中并非所有的状态变量都可以测量。因此，为了实现状态反馈控制律，有必要利用已知的信息(输入和输出)通过模型来估计状态变量。状态观测器也称为状态渐近估计器。一个显而易见的方法是用计算机构造一个与实际系统具有相同动力学方程的模型系统，并使用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值，如图所示。103，104，闭环状态估计方案，105，观测器部分的状态方程可以根据前面的图来写，并且观测误差应该满足的方程可以从上面的公式和系统方程获得，106，定理：如果系统(A，B，C)可以被观测，那么(9-169)给