灰色模型ppt讲义.ppt

1、一、灰色系统理论的产生与应用 1982年我国学者邓聚龙先生创立了灰色系统理论， 目前许多国家及国际组织的知名学者从事灰色系统的理 论和应用研究工作。 灰色系统理论应用于工业、农业、社会、经济、 能源、交通、地质、石油、气象、水利等众多领域，成 功地解决了大量的实际问题。,第一章：灰色系统的概念与基本原理,二、灰色系统与几种不确定问题方法的比较。 模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象 具有“内涵明确，外延不明确”的特点。主要凭借经验， 借助于隶属函数进行处理。 概率统计研究的是“随机不确定”现象的历史统计 规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定” 现象中每一种结果发生的可能性的

2、大小，其出发点是， 大样本，且对象服从某种典型分布。 灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息未知”,的“小样本，贫信息”不确定性系统，它通过对已知“部分” 信息的生成去开发了解、认识现实世界。着重研究“外延 明确，内涵不明确”的对象。,2050年中国人口控制在15亿到16亿之间,树高在20米至30米,第三章 序列算子与灰色序列生成, 灰色系统理论是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的,这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径,称之为灰色序列生成 一切灰色序列都可以通过某种生成弱化其随机性,显现规律性. 算子 是处理数据的一种方法。,定义3.1.3 （序列算子的定义） 设X为系统行为数据序列，

3、D为作用于X的算子，X经过算子D的作用后所得序列记为 称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以进行多次，相应的若 皆为序列算子，则称 为二阶算子， 为三阶算子， 为二阶算子作用序列， 为三阶算子作用序列。,3.1 序列算子,定义 3.2.5 设序列 若 则称 为紧邻均值生成数，由紧邻均值生成数构成的序列 称为紧邻均值生成序列。在GM建模，常用紧邻信息的均值生成， 它是以原始序列为基础构造新序列的方法。 注意：设 为n元序列，Z为X的紧邻均值 生成序列，则Z为 元序列： 无法由X生成z(1).,3.2 均 值 生 成,3.5 累加生成算子和累减生成算子,定义 3.5.1 设

4、为原始序列 D为序列算子， 其中 则称D为 的一次累加生成算子，记为1-AGO （Accumulating Generation Operator),称r阶算子 为 的r次 累加生成算子，记为r-AGO,习惯上，我们记,其中 定义3.5.2 设 为原始序列，D为序列算子， 其中， 则称D为 的一次累减生成算子，r 阶算子 称为 的r 次累减生成算子。 定理 3.5.1 累减算子是累加算子的逆算子。,一般的抽象系统都包含有许多影响因素，多种因素共同作用的结果决定了系统的发展态势。我们希望从众多的因素中判断出，哪些是主要因素、哪些是次要因素。这些属于系统分析的内容，数理统计中的回归分析、方差分析、

5、主成分分析等都可以用来进行系统分析。这些方法的不足之处是： 1、要求有大量的数据。 2、要求样本服从某一种典型概率分布，各因素数据与系统特征数据之间呈线性关系且个因素之间彼此无关。 3、计算量大， 4、可能出现量化结果与定性分析结果不符的情况。,灰色关联分析方法的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。 对一个抽象系统或现象进行分析，首先要选准反映系统行为 特征的数据序列。我们称之为找系统行为的映射量，用映射量来间接地表征系统行为。比如： 国民平均受教育的年限 教育的发达程度 刑事案件的发案率 社会治安面貌和社会秩序,4

6、.1 灰色关联因素和关联算子集 定义 4.1.1 设 为系统因素，其在序号k上的观测数据为 则称 为因素 的行为 序列；若k为时间序号， 为因素 在k时刻的观测数 据，则称 为因素 的行 为时间序列；若k为指标序号， 为因素 关于第k个 指标的观测数据，则称 为因素 的行为指标序列。若k为观测对象序号， 为因素关于第k个对象的观测数据，则称 为因素 的行为横向序列,无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据，都可 以用来做关联分析。 定义4.1.2 设 为因素 的 行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为初值化算子， 为原像， 为 在初值化算子 下的像，简称初值像。,定义 4.1.4

7、设 为因素 的行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为均值化算子， 为 在均值化算子 下的像 ，简称均值像。,定义 4.1.4设 为因素 的 行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为区间化算子， 为区间值像。 命题4.1.1 初值化算子 、均值化算子 和区间值化算子 皆可以使系统行为序列无量纲化，且在数量上规一。一般地， 不宜混合、重叠使用。,定义 4.1.5 设 为 因素 的行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为逆化算子， 为 在逆化算子 下的像 ，简称逆化像。,定义 4.1.6 设 为 因素 的行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为倒数化算子， 为倒数化像。 命题4.1.3 若

8、系统因素 与系统主行为 呈负相关关系，则 的逆化算子作用像 和倒数化作用像 与 具有 正相关关系。,4.3 灰色关联公理与灰色关联度,命题 4.3.1 设系统特征行为序列 为增长序列， 为相关因 素行为序列，则有 1、 当 为增长序列时， 与 为正相关关系； 2、当 为衰减序列时， 与 为负相关关系。 由于负相关序列可以通过4.1节中定义的逆化算子或倒数化算 子作用转化为正相关序列，所以我们主要研究非负的相关关 系。,定义 4.3.3 设 为系统特征序列，且 为相关因素序列，,给定实数 ，若实数 满足 1、规范性 2、整体性 对于 有 3、偶对称性 =,4、接近性 越小， 越大。 则称 为 对

9、 的灰色关联度，以上4条称为 灰色关联四公理。 表明系统中的任何两个行为序列 都不可能时严格无关联的。 整体性则体现了环境对灰色关联比较的影响，环境不同，灰色 关联度亦随之变化。偶对对称性表明，当灰色关联因子集中只 有两个序列时，两两比较满足对称性。 接近性是对关联度量化的约束。,定理 4.3.2 设系统行为序列 对于 令,则称 满足灰色关联四公理，其中 为分 辨系数。灰色关联度的计算步骤： 1、求各序列的初值像（或均值像），令 2、求差序列，记 3、求两极最大差与最小差，记,4、求关联系数 5、计算关联度,应用研究 一级男子百米运动员身体素质与运动成绩的灰色关联度分析 选择100米作为研究项

10、目,依据灰色关联度分析原理,揭示一级水平男子百米运动员的各项身体素质、各类型素质与运动成绩之间的关联度;针对训练实践中对身体素质认识上的模糊,提出相应的训练策略,旨在对提高运动成绩有所裨益。 相关因素：行进间30米 ，230米，460米，5150米，立定跳远，立定三级跳，二级蛙跳，后抛铅球，仰卧起坐，坐蹲起，深蹲，前后劈叉，左右劈叉，站立体前屈，折回跑，象限跳，侧跨步。,应用研究 我国铁路货物运输发展的灰色关联分析 本文用灰色关联分析方法对19892002年我国铁路运输货运量的发展进行系统分析,探讨影响我国铁路运输货运量发展的主要因素以及各因素相对于铁路运输货运量发展的关联程度,以便为有关部门

11、的决策者提供数据资料. 影响我国铁路运输货运量发展的主要因素有:GDP、人口数量、居民消费水平、固定资产总投资及国家财政总收入等.把铁路运输货运量作为母序列X0,其影响因素作为子序列,4.4 广义灰色关联度 一、绝对灰色关联度 命题 4.4.1 设行为序列 记折线 为 令,定义 4.4.1 设行为序列 为序列算子，且 其中 则称D为 始点零化算子， 为 的始点零化像，记为 命题4.4.2 设行为序列 的始点零化像分别为,令 则 1、若 恒在 上方， 2、若 恒在 下方， 3、若 与 相交， 符号不定。 定义 4.4.2 称序列 各个观测数据间时距之和为 的长度。 注意：长度相等的两个序列中的观

12、测数据数量不一定相等。,定义 4.4.3 设序列 与 的长度相等，则称 为 与 的灰色绝对关联度。灰色绝对关联度满足灰色 关联公理中的规范性、偶对对称性与接近性，但不满足整体性。 引理 4.4.2 设序列 与 的长度相同，且皆为1-时距，而 分别为 和 的始点零化像，则,定理 4.4.3 设序列 和 的长度相同，当他们时距不同 或至少有一个为非等时距序列时，若通过均值生成填补相应空 穴使之化成时距相等的等时距序列，则此时灰色绝对关联度不 变。,定理 4.4 .4 灰色绝对关联度 具有下列性质： 1、 2、 只与 和 的几何形状有关，而与其空间相对位置 无关。 3、 任何两个序列都不是绝对无关的

13、，即 恒不为0。 4、 与 几何上的相似程度越大， 越大。 5、 与 的长度变化， 亦变。 6、 当 或 的任一个观测数据变化， 将随之变化。 7、 8、,应用研究 登陆地域选择 登陆作战中登陆地域的选择是决定能否“登得上”的主要因素之一。登陆地域选择的好坏直接影响到登陆成败、战场兵力与武器损耗的多少,以及作战价值的大小等等。因此,必须在认真分析海岸区域的地理条件和敌海岸兵力分布情况的基础上,科学地选择登陆地域。 用灰色关联理论的方法来分析登陆地域选择问题,主要是提出一种新的用以解决登陆地域选择的问题的解法,即灰色关联理论的方法。,二、灰色相对关联度 定义 4.4.5 设序列 长度相同，且初值

14、不等于0， 分别为 的初值像，则称 的灰色 绝对关联度为 与 的灰色相对关联度。记为 灰色相对关联度是序列 与 相对于初始点的变化速率的 联系的数量表征。 与 的变化速率越接近， 越大，反 之越小。 命题 4.4.4 设 为长度相同且初值不等于0的序列，若 ，其中c0为常数，则 。,应用研究 海洋产业与海洋主要产业总产值关联度分析，确定主导产业 0为海洋主要产业总产值;1为海洋水产业;2为海洋油气业;3为海滨砂矿业;4为海洋盐业;5为沿海造船业;6为海洋交通运输业;7为沿海海外旅游业。,三、灰色综合关联度 定义 4.4.6 设序列 的长度相同，且初值不等于0， 与 分别为 与 的灰色绝对关联度

15、和灰色相 对关联度， 则称 为 与 的灰色综合关联度。 它既体现了折线的相似程度，又反映了相对与始点的变化速率 全面反映了序列之间联系，一般取 =0.5。,灰色聚类决策在上市公司投资中的应用 灰色聚类分析是利用灰色系统中的决策理论,将不 同的决策对象,根据评判指标,按照一定的评判目标 进行聚类分析,从而对对象优劣进行排序,为投资者 提供决策的参考依据。文章介绍了灰类聚类决策模型的原理,并在此基础上详细阐述了其在上市公司投资中的应用。,4.7 优 势 分 析 定义 4.7.1 设 为系统特征行为数据序列， 为相关因素序列，且 与 长度相同 为 与 的灰色关联 度，则称 为灰色关联矩阵。,灰色关联

16、矩阵中第 行的元素是系统特征数据序列 与相关因素序列 的灰色关联度；第 列的元素 是系统特征数据序列 与 的灰 色关联度。 类似的我们可以定义灰色绝对关联矩阵、灰色相对关联矩阵以及 灰色综合关联矩阵。利用灰色关联矩阵可以对系统特征或相关因 素做优势分析。,定义4.7.2 设 为系统特征行为序列， 为相关因素行为序列， 为其灰色关联矩阵，若存在 满足 则称系统特征 优于 ，记为 若 恒有 则称 为最优特征,定义 4.7.3 设 为系统特征行为序列， 为相关因素行为序列，且 为其灰色关联矩阵，若存在 满足 则称系统特征 优于 ，记为 若 恒有 则称 为最优因素。,定义 4.7.4 设 为灰色关联矩

17、阵，若 1、存在 ，满足 则称系统特征 准优于系统特征 记为,2、存在 ，满足 则称因素 准优于 记为,导弹武器系统作战效能的灰色评估 依据导弹武器系统的战术技术指标要求,建立了导弹武器系统的指标体系;运用灰色系统的原理和方法结合层次分析法对该系统的能力进行评价,评价采取定量分析为主,与定性分析相结合。实例证明,灰色评估与层次分析法相结合能有效降低人为因素的影响,评价结果具有客观性,一定程度上能给决策者提供可靠的依据,灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白化权函数将一些观测指标或观测对象聚集成若干个可以定义类别的方法。按聚类对象划分，可以分为灰色关联聚类和灰色白化权函数聚类。 灰色关联聚类主要用

18、于同类因素的归并，以使复杂系统简化。由此，我们可以检查许多因素中是否有若干个因素关系十分密切，使我们既能够用这些因素的综合平均指标或其中的某一个因素来代表这几个因素，又可以使信息不受到严重损失。灰色白化权函数聚类主要用于检查观测对象是否属于事先设定的不同类别，以区别对待。,5.1 灰色关联聚类 设有 个观测对象，每个观测对象 个特征数据，得到序列如下 对所有的 计算出 与 的绝对关联度 得上三角矩阵,其中 定义 5.1.1 上述矩阵A称为特征变量关联矩阵. 取定临界值 一般要求 当 时 则视 与 为同类特征. 定义 5.1.2 特征变量在临界值 下的分类称为特征变量的 灰色 关联聚类. 可以根

19、据实际问题的需要确定, 越接近于1,分类 越细; 越小,分类越粗.,南京航空航天大学经济管理学院 精品课程建设组,第八章 灰色系统建模,8.1 GM(1,1)模型 定义8.1.1 称 为灰色微分型方程. 定义8.1.2 若灰色微分型方程满足下列条件: 信息浓度无限大 序列具有灰微分内涵 背景值到灰导数成分具有平射关系 则称此灰色微分型方程为灰色微分方程. 命题8.1.1 方程 为灰色微分方程,其中,定义8.1.3 称 为GM(1,1)模型. 符号GM(1,1)的含义如下: G M (1, 1) Grey Model 1阶方程 1个变量,定理8.1.1 设X(0)为非负序列: 其中x(0)(k)

20、=0,k=1,2, ,n; X(1)为X(0)的1-AGO序列: 其中 ; Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列: 其中 ;k=2,3, ,n 若 为参数列,且 则灰色微分方程 的最小二乘估计参数列满足,定义8.1.4 设X(0)为非负序列,X(1)为X(0)的1-AGO序列, Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列, , 则称 为灰色微分方程 的白化方程,也叫影子方程.,定理8.1.2 设B,Y, 如定理8.1.1所述,则 白化方程 的解也称时间响应函数为 GM(1,1)灰色微分方程 的时间响应序列为 取x(1)(0)=x(0)(1),则 还原值,定义8.1.5 称GM(1,1)模型中的参数-

21、a为发展系数,b为灰色作用量. -a反映了 及 的发展态势.一般情况下,系统作用量应是外生的或前定的,而GM(1,1)是单序列建模,只用到系统的行为序列(或称输出序列,背景值),而无外作用序列(或称输入序列,驱动量).GM(1,1)中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据,它反映数据变化的关系,其确切内涵是灰的.灰色作用量是内涵外延化的具体体现,它的存在,是区别灰色建模与一般输入输出建模(黑箱建模)的分水岭,也是区分灰色系统观点与灰箱观点的重要标志.,定理8.1.3 GM(1,1)模型 可以转化为 其中,定理8.1.4 设 , ,且 为GM(1,1)模型时间响应序列,其中 则,8.2 GM(1,

22、1)模型群 定义8.2.1 设序列 将x(0)(n)取为时间轴的原点,则称tn为未来. 定义8.2.2 设序列 为其GM(1,1)时间响应式的累减还原值,则 当tn时,称 为模型预测值. 建模的主要目的是预测,为提高预测精度,首先要保证有充分高的模拟精度,尤其是t=n时的模拟精度.因此建模数据一般应取为包括x(0)(n)在内的一个等时距序列.,定义8.2.3 设原始数据序列 用 建立的GM(1,1)模型称为全数据GM(1,1) 用 建立的GM(1,1)模型称为部分数据GM(1,1) 设x(0)(n+1)为最新信息,将x(0)(n+1)置入X(0),称用 建立的模型为新信息GM(1,1) 4 置

23、入最新信息x(0)(n+1),去掉最老信息x(0)(1),称用 建立的模型为新陈代谢GM(1,1).,8.3 GM(1,1)模型的适用范围 模型具有多种不同的形式,主要有:,命题8.3.1 当 时,GM(1,1)模型无意义. 命题8.3.2 当GM(1,1)发展系数|a|=2时,GM(1,1)模型无意义. 通过分析,可得下述结论: (1)当-a1时,不宜采用GM(1,1),8.4 GM(2,1)和Verhulst模型 GM(1,1)适用于具有较强指数规律的序列,只能描述单调的变化过程.对于非单调的摆动发展序列或有饱和的S形序列,可以考虑建立GM(2,1),DGM和Verhulst模型.,一、G

24、M(2,1)模型 定义8.4.1 设原始序列 其1-AGO序列X(1)和1-IAGO序列(1)X(0)分别为 和 其中 X(1)的紧邻均值生成序列为 则称 为GM(2,1)灰色微分方程.,定义8.4.2 称 为GM(2,1)灰色微分方程的白化方程. 定理8.4.1 设 如定义8.4.1所述,且 则GM(2,1)参数列 的最小二乘估计为,定理8.4.2 关于GM(2,1)白化方程的解有以下结论: 若 是 的特解, 是对应齐次方程 的通解,则 是GM(2,1)白化方程的通解. 齐次方程的通解有以下三种情况: 当特征方程 有两个不相等实根时, 当特征方程有重根时, 当特征方程有一对共轭复根 时,白化

25、方程的特解有以下三种情况: 当零不是特征方程的根时, 当零是特征方程的单根时, 当零是特征方程的重根时,二、DGM模型 定义8.4.3 设原始序列为 1-AGO序列为 1-IAGO序列为 则 称为DGM(2,1)灰色微分方程. 定义8.4.4 称 为DGM(2,1)灰色微分方程的白化方程.,定理8.4.3 若 为参数列,而 如定义8.4.3所述 则灰色微分方程 的最小二乘估计参数满足,定理8.4.4 设X(0)为非负序列,X(1)为X(0)的1-AGO序列,B,Y, 如定理8.4.3所述,则 白化方程 的时间响应函数为 灰色微分方程 的时间响应序列为 还原值为,三、Verhulst模型 定义8

26、.4.5 设X(0)为原始数据序列, X(1)为X(0)的1-AGO序列, Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列,则称 为GM(1,1)幂模型. 定义8.4.6 称 为GM(1,1)幂模型的白化方程. 定理8.4.5 GM(1,1)幂模型之白化方程的解为,定理8.4.6 设 如定义8.4.5所述 则GM(1,1)幂模型参数列 的最小二乘估计为,定义8.4.7 当a=2时,称 为灰色Verhulst模型. 定义8.4.8 称 为灰色Verhulst模型的白化过程.,定理8.4.7 Verhulst白化方程的解为 灰色Verhulst模型的时间响应式为,Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态

27、的过程,即S形过程,常用于人口预测,生物生长,繁殖预测和产品经济寿命预测等.由Verhulst方程的解可以看出,当t时,若a0,则x(1)(t) 0;若at, x(1)(k+1) 与x(1)(k) 充分接近,此时x(0)(k) 0 ,系统趋于死亡.,基于串联灰色神经网络的电力负荷预测方法 为了提高电力负荷预测的精度,分析现有人工神经网络和灰色预测方法各自的优缺点,将二者相结合提出了一种串联灰色神经网络预测方法.新方法利用灰色预测中的累加生成运算对原始数据进行变换,从而得到规律性较强的累加数据,便于神经网络进行建模和训练,同时避免了灰色预测方法存在的理论误差.最后实际算例证明了方法的有效性.方法

28、适用于中长期负荷预测.,灰色神经网络模型在湖泊水质预测中的应用 应用灰色GM(1,1)预测模型和人工神经网络预测模型相结合而成的灰色神经网络模型,对湖泊高锰酸盐指数进行预测。此方法是用人工神经网络去把握灰色GM(1,1)所得到的预测值和实测值之间的未知关系,再进行新的预测。其特点是可行性强,且方法简便。通过准确地预测湖泊高锰酸盐指数可以为治理、控制湖泊营养化和综合利用自然环境资源、规划管理、决策提供重要的科学依据。,用灰色组合模型预测环保投资 针对环保投资变化的非平稳性，采用灰色GM（1，1）模型分析环保投资的趋势项并与历史环保投资比较得一系列残差，然后应用人工神经网络模型进行修正以提高精度。应用实例表明，该方法效果良好，较单一的灰色模型信息利用率要高，在分析、预测环保投资动态发展趋势方面具有