材料力学 第十一章：压杆稳定.ppt

1、,材,料,压杆稳定,第十一章,一、压杆稳定的概念,压杆失稳试验图,P1PCr,P2=PCr,(1) 在杆端加P1小于某个临界值Pcr,钢条能保持直线位置平衡状态。加干扰：用手指横向推动杆端，这时钢条弯了，但手指一离开，钢条就来回摆动，最后回到原来的直线位置保持平衡。我们说，杆件在P1的作用下处于稳定的平衡状态，此时的平衡具有抗干扰性。,(2) 当P2等于某个临界值Pcr时，只要一加干扰，杆件将弯曲，干扰去掉后，杆件保持在微弯状态下的平衡，不再回到原来的直线平衡形式，我们说杆原来的直线平衡状态是不稳定的。,由稳定的平衡状态过渡到不稳定的平衡状态称为失稳。,压杆失稳 直线平衡状态改变为微弯平衡状态

2、。,P Pcr 压杆处于稳定平衡,P = Pcr 压杆失稳,Pcr 临界压力 临界力,工程实际中的压杆不允许失稳。,对于稳定问题，关键是求出临界压力Pcr，这样，只要工作压力小于临界压力，就不会发生失稳问题。,二、两端简支细长杆的临界压力,如前所述，临界压力Pcr是这样一个值：,当P Pcr ，杆能保持直线平衡状态 ；,当P = Pcr ，杆处于微弯平衡状态 ；,Pcr是杆件维持微弯平衡状态的最小压力。,求临界压力的思路：,假设杆处于微弯的平衡状态，求此时最小的轴向压力。,假定：杆件已发生微小弯曲变形(如图示)，,L,y,P,P,x,P,代入挠曲线近似微分方程，,EIv = M = Pv, E

3、Iv + Pv = 0, 二阶常系数齐次线性微分方程,L,y,P,P,x,P,v,P,P,x,M,x,y,由平衡条件，易得：,M(x) = Pv(x),v + k2v = 0,通解： v = c1sinkx + c2coskx,边界条件：,x = l v( l ) = 0,v(0) = c1sin(k 0) + c2cos(k 0) = c2 = 0, v = c1sinkx,v(l) = c1sinkl = 0,x = 0 v( 0 ) = 0, c1 0 否则 v 0 与假设矛盾, sinkl = 0,有： kl = n n = 0，1，2，,临界压力为维持微弯平衡状态的最小轴向压力, 欧

4、拉公式,杆件失稳 由直线变成曲线,(0 xl) 半个正弦波,三、不同杆端约束下细长杆的临界压力欧拉公式 压杆的长度系数。,例 求一端固定，一端自由细长杆的临界压力。,由平衡条件,M(x) = P( v),代入挠曲线近似微分方程,EIv = M(x)=P( v),v,y,L,P,x,x,M,P, EIv + Pv = P,v + k2v = k2,通解为 v = c1sinkx + c2coskx + ,边界条件:,x = 0 v (0) = 0,x = l v (l ) = ,v(0) = c1sin(k 0) + c2cos(k 0) + = 0,x = 0 v (0) = 0, c2 +

5、= 0 c2 = ,v (0) = kc1cos(k 0) kc2sin(k 0) = 0, kc1 = 0,v (x) = kc1coskx kc2sinkx, c1 = 0,v(x) = (1 coskx),v(l) = (1 coskl) = ,n = 0，1，2，,n = 0，1，2，,( 0 x l ),v(l)=0,A,l,B,A,A,l,l,半个正弦波,个正弦波,MA=MB=0,MA=MA =0,相当长为2l的两端简支杆,对比：,图形比拟：失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为0，故可设想此处有一铰，而将压杆在挠曲线上两个拐点间的一段看成为两端铰支的杆，利用两端铰支的临界压力公式，就可得到

6、原支承条件下的临界压力公式。两拐点间的长度 l 称为原压杆的相当长度，即相当 l 这么长的两端铰支杆。,一端固定，一端铰支,两端固定,l,0.7l,Pcr,l,0.5l,Pcr,不同约束情况下，细长杆的临界压力欧拉公式可统一写成：,：长度系数 l：相当长度,两端铰支 = 1,一端固定，一端自由 = 2,一端固定，一端铰支 = 0.7,两端固定 = 0.5,问题：压杆为空间实体，在轴向力作用下如果失稳，它朝哪个方向弯？,y=f (x),y,z,x,z=f (x),y,x,xz平面内弯,xy平面内弯,z,绕z轴转动,截面绕y轴转动,临界压力公式中的I是对哪根轴的I？,Pcr维持微弯平衡状态最小的压

7、力,各方向约束情况相同时：,为常数，IImin 最小形心主惯性矩,各方向约束情况不同时：,使Pcr最小的方向为实际弯曲方向，I为挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。,朝哪个方向弯,四、欧拉公式的应用范围 临界应力总图,1.临界应力 柔度, 欧拉公式,：柔度，长细比,对细长杆,2.欧拉公式的适用范围,cr p,欧拉公式成立的条件：,欧拉公式适用范围 p,Q235 钢，E=206GPa p = 200MPa,3.临界应力总图,B,C,A,cr,D,cr=ab,cr=s, s,P,s,P,O,0 s 称为小柔度杆，cr = s,s p 称为中柔度杆，cr = a b ,a、 b与材料性质有关的常数,曲线

8、 A、B、C、D 称为临界应力总图， 越大， cr 越小，Pcr = cr A 越小，越容易失稳。,例111 截面为 120mm200mm 的矩形木柱，长l=7m，材料的弹性模量E = 10GPa， p = 8MPa。其支承情况是：在屏幕平面内失稳时柱的两端可视为固定端(图a)；若在垂直于屏幕平面内失稳时，柱的两端可视为铰支端(图b)，试求该木柱的临界力。,l=7m,P,P,l=7m,y,b=120,h=200,z,(b),(a),解：由于该柱在两个形心主惯性平面内的支承条件不相同，因此，首先必须判断，如果木柱失稳，朝哪个方向弯？从临界应力总图，我们知道， 越大，越容易失稳。, 两端固定, y

9、 = 0.5, 计算 y z,在屏幕平面绕 y 轴失稳时,在垂直于屏幕平面内绕 z 轴失稳时, 两端铰支, z = 1, z y, 如果木柱失稳，将在垂直于屏幕平面内绕 z 轴失稳。,z p 应采用欧拉公式计算,五、压杆的稳定计算 压杆的合理截面,1.压杆稳定计算 稳定安全系数法,考虑一定的安全储备，稳定条件为：,P：工作压力,Pcr：临界压力,nst：额定安全系数,nst： 额定安全系数,稳定计算的一般步骤：, 分别计算各个弯曲平面内的柔度y 、z ，从而得到max；, 计算s 、p ，根据max确定计算压杆临界压力的公式，小柔度杆cr= s，中柔度杆cr= ab，大柔度杆, 计算Pcr=

10、crA，利用稳定条件,进行稳定计算。,例112 图示结构，立柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的钢管，其材料为Q235钢，,3m,C,F,B,3.5m,2m,A,D,P=200MPa， s=240MPa，E=206GPa，稳定安全系数为nst=3。试求容许荷截F。,解： 由杆ACB的平衡条件易求得外力F与CD杆轴向压力的关系为：,A,C,N,F,B,xA,yA,3m,2m,两端铰支 =1, p, 可用欧拉公式,由稳定条件,2.压杆稳定计算 折减系数法,工程中为了简便起见，对压杆的稳定计算还常采用折减系数法。即将材料的压缩许用应力乘上一个小于1的折减系数作为压杆的许用临界应力，即：,cr = , 1，称为折减系数,P： 工作压力, ： 折减系数,A： 横截面面积,：材料抗压许用值,根据稳定条件,例113 图示千斤顶，已知丝杆长度l=0.375m，,l,d,P,直径为d=0.04m，材料为Q235钢，强度许用应力=160MPa，符合钢结构设计规范(GBJ1788) 中b类杆件要求，最大起重量为P=80kN，