极限的运算法则.ppt

1、1极限 2 极限的运算法则，两个重要极限 3 无穷小与无穷小的比较 4 连续函数,一、本章要点,1极限,数列的极限,， ，当 时，有,函数的极限,单侧极限,定理,，当 时，有,，当 时，有,定理,，当 时，有,，当 时，有, 若 ，,2极限运算法则， 两个重要极限,设 ， ，则, 设 ， ，且,当时，则,极限存在准则,准则I (夹逼定理) 如果数列 ， ， 满足下列条件： ， ， 那么数列的极限存在，且,准则I(夹逼定理) 如果函数 ， ， 满足下列条件： 当(或)时， ， ， 那么存在，且,准则II 单调有界必有极限,两个重要极限,3无穷小与无穷小的比较,无穷小 若 ，则称 为无穷小,设 为

2、无穷小，, ， 为 的高阶无穷小，记作, ，则称 是 的k阶无穷小, ，则称 与 是等价无穷小, 记作,当 时，常用的等价无穷小：,4连续函数,函数 在 处连续,， ，当 时，有,单侧连续,左连续 ，,右连续 , 间断点及间断点的分类,若函数 在 点不连续，则 称为函数的间断点,设 为 的间断点：, 存在， 为可去间断点；,；,， 至少有一不存在,第二类间断点,定理 初等函数在定义域内为连续函数,闭区间上连续函数的性质 设 在闭区间 上连续，则, 若 ，则 ，使 , 在闭区间 上有界且可取到最大值和最 小值, 在闭区间 上可取到介于最大值和最小 值中的一切值,二、例题选讲,例1 证明,证 ，因

3、,故，取 ，当 时，有,即 ,例2 证明 ,证 ，因,，,取 ，当 ，即 时，有,令 ，当 时，有,即,例3 设数列 满足 ， 其中 ，证明：,证 由条件，得 ，令 ，则有，,又 ，,由夹逼定理，得,例4 求下列极限：, ； ；, ； ；,解,所以,，,因,例5 ，求常数,解 令 ， ，,故 ，,原式为,例6 ，求,解,例7 求极限 ,解 令 ，,则 ， ，,得 ,解 设 ，,则 ，,例8 设 ，求 ,又 ，故,例9 设数列 满足,证 由条件,证明： 存在，并求此极限,即：数列是 单调上升的又 ，故数列的极限 存在，设其为，则,原式两边取极限，得,即,解得 ， (舍去),例10 设 ， ，,证

4、明数列 自第二项起单调下降且有下界； 求,证 先证 ，,因,即,若设 ，则,两边取极限，得,故数列 单调下降且有下界，故 存在，设 其为 ，则在,解得 ，即,例11 ,解 因,故,例12 求极限,解,例13 求极限,故,解 令，则 时， ，,例14 求极限,解 因,所以,解,例15 求极限 ，其中,注意到：,故原极限为,例16 求,解 令 则,且时，,所以,例17 确定 使,解,由此得,例18 指出当 时， 是 的几阶无穷小？,解 考虑极限,故,例19 设,讨论 的连续性,所以 为第一类可去间断点,解 当 时，显然 为连续函数；又因,例20 设函数 在 内连续，求 ,解 当 时，,得,当 时，,得,将 ， 代入到 的表达式中，得,解得,由于连续，因此,即得,解 当 时，,当 时，,故 为定义域内的连续函数,例22 若函数 在闭区间 上连续，且 证明：至少存在一点 使得,由零点定理，知存在 ，使得 ，即,证 令，则在上连续因,证 令 并设 ，令,例23 设函数 在 内连续，且 ， 存在，证明： 可以取到介于 和 之间但不等于 和 之间的一切值,则 在 上连续,因 ，故 ，,即,由介值定理，知：对于任