用好数形结合思想提升解题能力.ppt

1、用好数形结合思想，提升解题能力,南京市第十三中学 周 德,数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具,对于一个数学问题，根据其条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决这种解决问题的思想方法叫做数形结合,我国著名数学家华罗庚先生说：“数无形时不直观，形无数时难入微”，这句话形象简练地指出了形和数的互相依赖、相互制约的辩证关系,下面通过一此问题的研究，来说明数形结合思想在解题中的应用,一、数与形的互化基础,3,说明：本题考查了一次函数、二次函数、对数

2、函数的图象，通过问题解决，同学们还要能想一想另外一些常见的基本初等函数的图象，,函数与其图象的对应是数与形转化的重要基础之一，要能灵活进行转化，必须牢固掌握课本中所学的基本初等的图象与性质,例2在等边ABC中，D为边CA的一个三等分点若椭圆E以A，B为长轴端点，且经过点D，则椭圆E的离心率是_,例2在等边ABC中，D为边CA的一个三等分点若椭圆E以A，B为长轴端点，且经过点D，则椭圆E的离心率是_,例2在等边ABC中，D为边CA的一个三等分点若椭圆E以A，B为长轴端点，且经过点D，则椭圆E的离心率是 _,说明：本题主要考查了点在曲线上这个几何条件的转化方法，椭圆的几何性质在建立直角坐标系后，曲

3、线与方程建立了对应关系，这种对应是数与形结合的另一个重要基础要能熟练应用这种转化，必须掌握常见曲线的方程及其在给定直角坐标系中的曲线形状与位置,例3某人骑自行车以每小时a公里的速度向东行驶，感受到风从正北吹来而当速度为原来的2倍时，感受到风从东北方向吹来则实际的风速的大小是_，方向是_,解：以正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系，设骑自行车以每小时a公里的速度向东行驶对应的速度向量为v1，骑自行车以每小时2a公里的速度向东行驶对应的速度向量为v2，则v1(a，0)，v2(2a，0)，风速对应的向量为v(x，y)，,例3某人骑自行车以每小时a公里的速度向东行驶，感受到风从正北吹来而当速

4、度为原来的2倍时，感受到风从东北方向吹来则实际的风速的大小是_，方向是_,西北,说明：向量因为具有几何与代数的双重特点，是数与形转化的重要工具之一，在掌握向量的几何运算与代数运算的基础上，可以借助向量解决几何问题或代数问题,二、以形助数的几种类型,1画相应函数的图象,例4讨论关于x的方程 a(x1)(x3)2ax1(aR) 实数根的个数,分析：方程f(x)g(x)的根的个数可以转化为函数yf(x)图象与函数yg(x)图象交点的个数，但是要注意到yf(x)与yg(x)的图象都要能画出，且交点的个数也要容易看出,a(x1)(x3)2ax1(aR),对于本题如果直接令 f(x)a(x1)(x3)，

5、g(x)2ax1， 那么两个函数解析式都含有a，讨论的情况比较多，交点的个数也不易看。,a(x1)(x3)2ax1(aR),因此可以先对方程作适当的变形如把方程化为a(x1)(x3)2x1， 再令f(x)a(x1)(x3)2x， g(x)1此时，g(x)的图象非常简单易画，,a(x1)(x3)2ax1(aR),但f(x)的图象画时，还是比较复杂，一是因为含有绝对值，二是含有参数a,a(x1)(x3)2x1,a(x1)(x3)2x1,a(x1)(x3)2x1,a(x1)(x3)2ax1(aR),说明：解决含参数的方程问题时，经常会与函数联系，经常采取分离常数法，把方程化为f(x)a，从而方程有解

6、转化为参数a属于函数yf(x)的值域，讨论方程解的个数转化为函数yf(x)图象与ya的交点个数,对于不等式问题，有时也可以转化为函数图象之间关系，例如，记不等式 (3x1)2b2的解集为A，若集合AZ中有且只有三个元素，求实数b的取值范围,本题可以转化为函数y(3x1)2的图象在函数yb2图象下方的范围内有且只有3个整数1，0，1从而f(1)b2f(2)，解得b(5，44，5),2画方程的曲线,例5若直线l：yk(x2)b与圆O：x2y25对kR总有公共点，则b的取值范围是_,分析：从方程的角度转化，把直线l的方程代入圆的方程，整理成关于x的一元二次方程，根据关于x的一元二次方程有解，得判别式0，把它整理成关于k的二次不等式，根据不等式对kR恒成立，再转化为关于b的不等式，解出b的范围,这种解法运算量比较大，运算能力不强的同学易出错如果从曲线的角度来转化，那么非常容易得到结果,解：因为直线l：yk(x2)b不论k取何值恒过点(2，b)，从而对kR，直线l与圆O总有公共点，当且仅当(2，b)在圆O内或圆O上所以22b25，解得b1，1,说明：把方程之间关系转化为曲线来讨论，根据曲线的几何特征来解决方程问题，这是数向形转化的重要手段之一,3用公式的几何意义