北大微观经济学课件16.现代数学工具基本知识.ppt

1、现代数学工具基本知识,（自修内容）,商品空间上的拓扑 映射与函数 连续性原理 隐函数存在定理 集值映射 二元关系,2,闭球B(x,r),点集：商品空间 中的向量也叫做点， 的子集叫做点集。 开球： 闭球： 开集：能够表示成若干个开球的并的点集，叫做开集。易证：空集 和全空间 都是开集，任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。 拓扑：由 的一切开集组成的集族，叫做空间 上的拓扑。 闭集：能够表示成某个开集的余集的点集，叫做闭集。易证：空集 和全空间 都是闭集，任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。,一、商品空间上的拓扑,开球B(x,r),开集 X,任何两个开球的交都是开集,3,内点：

2、点 x 叫做集合 X 的内点， 是指存在实数 r 0 使得以 x 为中心、r 为半径的开球 B(x,r) 包含在 X 中。 内部：集合 X 的内点的全体叫做 X 的内部，记作 int X 或 X 。可以证明： X 是包含在 X 中的最大开集； X 是开集 当且仅当 X = X 。 邻域：我们把以 x 为内点的集合叫做 x 的邻域。 可以证明： x 的任何两个邻域的交仍然是 x 的邻域。,(一) 内点与邻域,内点,一、商品空间上的拓扑,邻域U,邻域V,4,(二) 闭包与边界,X,一、商品空间上的拓扑,附贴点：点 x 叫做集合 X 的附贴点，是指以点 x 为中心的任何开球 B(x,r)(r 0)

3、都与 X 相交。 闭包：X 的附贴点的全体，叫做 X 的闭包，记作 cl X 或 。 可以证明： 是包含X 的最小闭集；X 是闭集当且仅当 。 边界：集合 叫做 X 的边界。 可以证明：X 是闭集 当且仅当 X 包含着它的边界。,附贴点,5,(三) 拓扑子空间,一、商品空间上的拓扑,子空间：赋予相对拓扑的点集 X，叫做 的拓扑子空间。 所谓子空间 X 上的相对拓扑，是指由 X 与 的开集之交所构成的集族 (X ) = X U : U 是 的开集。 (X )中的集合就叫做 X 的开集，也叫做相对开集。 相对开集在 X 中的余集，叫做 X 的闭集，或称相对闭集。 显然， X 的子集 M 是相对闭集

4、当且仅当 M 是 X 与 的某个闭集的交集。,例：半开半闭区间(1,2既不是实数直线 R 中的闭集，也不是 R 中的开集。 但在子空间(0,2中，(1,2是相对开集，这是因为(1,2 = (0,2(1,3)。,M,6,(四) 连通集(连通空间),一、商品空间上的拓扑,连通集：赋予相对拓扑后，不能表示成为两个非空且不相交的相对开集之并的子空间，叫做连通子空间或连通集。 可以证明：对于点集 X 来说， X 连通当且仅当X 不能表示成两个非空且不相交的相对闭集之并。 X 连通当且仅当不存在满足下述条件的集合 A 与B： X = AB，A ，B ，AB = ，AB = ,A,B,X 不连通,C,D,X

5、 连通,7,(五) 有界集与紧集,一、商品空间上的拓扑,X 下有界： (aR )(xX )( x a )。 X 上有界： (bR )(xX )( x b )。 X 有界： X 既下有界，又上有界。 X 的开覆盖UttT：UttT 是 的开集族，并且 X tT Ut。 紧集 X：是指 X 的任何开覆盖都有有限子覆盖。 定理 设 。X 是紧集当且仅当 X 是有界闭集。,X 下有界,X 上有界,X 的开覆盖,8,(六) 凸集,一、商品空间上的拓扑,凸集：点集 X 叫做是凸集，是指 X 中任何两点之间的连线都在 X 中，即(x, yX )(t0, 1)(t x+(1-t ) y X )。 凸紧集：既是

6、凸集，又是紧集的集合叫做凸紧集。 凸紧集在经济分析中相当有用！ 凸包：X 的凸包是空间 中包含 X 的最小凸集，记作 co X 。,X 是凸集,X 不是凸集,X 的凸包,co X,9,(七) 一些重要事实,一、商品空间上的拓扑,定理 设 。 int X X cl X 。X 是开集 X = int X 。X 是闭集 X = cl X 。 int X 是包含在 X 中的最大开集，cl X 是包含X 的最小闭集。 X 是闭集 X 中任何收敛点列的极限都仍在 X 中。 X 连通 不存在满足下述条件的集合 A 与B： X 是紧集 X 是有界闭集。 X 是紧集 X 是闭集且 X 中的任何序列都有收敛子序列

7、。 X 是紧集 X 的任何具有有限交性质的相对闭集族都具有非空的交。 集族的有限交性质：集族中任何有限个集合的交集都非空。,10,二、映射与函数,假定 X 和 Y 为两个任意给定的集合。 映射 f : X Y 是从 X 到Y 的一种对应关系：对于X 中的任一元素x，Y 中都有唯一的元素 y与之对应(这个元素 y 通常记作 f (x)。X 叫做 f 的定义域，Y 叫做 f 的值域。,图像：G( f ) = (x, y)X Y : y = f (x)叫做映射 f 的图像。 像或值集：集合 f M = f (x): xM 叫做 M ( X )在 f 下的像或值集。 原像：集合 f K = x X :

8、 f (x)K 叫做 K ( Y )在 f 下的原像。,f : X Y,-1,若 f 是从 X 到 Y 的映射，则 f 也是从 X 到 f X 的映射。 函数：取值为实数的映射，叫做函数。即 f : X Y 为函数是指Y R(也即 f M R)。,X,Y,11,(一) 几类典型的映射,二、映射与函数,单射 f : X Y：把不同的点映射成不同的点，即 (x, yX ) ( ( x y ) ( f ( x) f ( y) ) 满射 f : X Y：Y = f X ，即 (yY )(xX ) ( y = f ( x) )。 双射 f : X Y：f 既是单射，又是满射。也称 f 为1-1对应。 泛

9、函：定义域为(拓扑)向量空间，取值为实数的映射。 线性泛函：保持线性运算的泛函 f : V R( V 为向量空间)，即(x, yV )( , R ) ( f ( x+ y) = f (x)+ f ( y) )。 例：任意给定向量 ，定义映射 如下： 。则 f 是线性泛函。 例： 是双射(1-1映射)。 例：f : R 0, 1 ( f (x) = sin x)是满射，但不是单射。,12,道路：对于 x, yX，连接 x 和 y 的道路是一个连续映射 : 0,1 X 满足 (0) = x 且 (1) = y。 X 道路连通： X 中任何两点都能由道路连接。 对于 ，X 道路连通 X 是连通的。,

10、(二) 连续映射,二、映射与函数,假定：X 和Y 都是拓扑空间(比如 )，f : X Y。 f 在点 xX 处连续：是指对 f (x)的任何邻域VY，都存在 x 的邻域U 使得 f (z)V 对一切 z U 成立。 f 连续：是指 f 在 X 中的任何点处都连续。 f 连续 Y 中任何开集在 f 下的原像都是开集。 f 连续 Y 中任何闭集在 f 下的原像都是闭集。 紧集上的连续函数必有最大值和最小值。 商品空间 上的任何线性泛函都是连续的。,x,y,X 道路连通,X,13,定理中的雅克比矩阵 J (x, y)定义如下：,定理 设函数Fi(x, y)在点 附近连续可微且 ，雅克比矩阵 可逆。则

11、存在 的邻域 和 的领域 ，存在唯一的映射 (即 )满足： 对任何 xU，都有 ； ； 在U 内连续可微(i = 1,2, n)。,三、隐函数存在定理,14,四、集值映射,集值映射是取值为集合的映射，反映的是元素与集合之间的对应关系。这是经济学为自己创造的一种分析工具。 多值函数就是集值映射的一种形式。 带歧视的价值函数也是一种集值映射。 消费预算、需求、供给也都是集值映射，甚至连经济系统本身也可以看成是一种集值映射。 集值映射在现实生活中也是多见的。比如，消费选择。消费者往往因为好多西太多而眼花缭乱，做不出唯一的选择：这件东西好，那件东西也好，买哪一个都行。这样，这件东西和那件东西都成为他需

12、要且在购买能力之内的商品。这种选择的不唯一性，是集值映射的一个典型事例。又如，抛物线 y = 4x 上 y与x的关系 是集值映射。 关于集值映射，讨论起来比单值映射要复杂得多。这里只讨论与本课程有关的内容：集值映射的连续性。,15,(一) 集值映射的概念,四、集值映射,集映(集值映射)F : X Y：F 是从 X 到幂集P(Y )的映射，即对任何xX，都有F(x) Y。 对应(correspondence) F : X Y ：是指(xX )(F(x) )。 集合 M ( X ) 在 F : X Y 下的像集 FM ：FM = xM F(x)。 看待集映 F : X Y 的几种不同视角：,X,Y

13、,F : X Y,看成单值映射：F : X P(Y )。 看成集族：F(x)xX 。 看成多值映射：与 x 对应的值不止一个，把这些值放在一起即形成了集合 F(x)。,看成乘积集合 X Y 的子集：集值映射 F 与它的图像 G(F ) = (x, y)X Y : yF(x) 之间是1-1对应的，因而可把 F 与其图像 G(F ) 等同看待。,16,(二) 各种类型的集映,四、集值映射,开集映F : X Y：X 与Y 都是拓扑空间，图像G(F )是开集。 闭集映F : X Y：X 与Y 都是拓扑空间，图像G(F )是闭集。 开集值集映F : X Y：Y 为拓扑空间且xX，F(x)是开集。 闭集值

14、集映F : X Y：Y 为拓扑空间且xE，F(x)是闭集。 紧集值集映F : X Y：Y 为拓扑空间且xE，F(x)是紧集。 凸集值集映F : X Y：Y 为向量空间且xE，F(x)是凸集。,开集映,闭集映,G(F ),G(F ),17,(三) 连续集映,四、集值映射,假定：X 与Y 都是拓扑空间，F : X Y。 上半连续：F 在 x X 处上半连续，是指对 Y 中任何包含 F(x) 的开集 V，都存在 x 的邻域 U 使得 FU V。F 上半连续，是指F 在任何点 x X 处都上半连续。 下半连续：F 在 x X 处下半连续，是指对 Y 中任何与 F(x) 相交的开集 V，都存在 x 的邻

15、域U 使得F(z)V 对一切zU 成立。F 下半连续，是指F 在任何点 x X 处都下半连续。 连续集映：既上半连续，又下半连续的集映。,x,U,V,F(x),F(x),V,U,x,上半连续,下半连续,18,1. 集映连续性的意义,四、集值映射,x,U,V,F(x),F(x),V,U,x,在 x 处虽然上半连续，但不下半连续,(三) 连续集映,集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广。F的上半连续性是说F(x)不会突然彭胀框得住；F的下半连续性是说F(x)不会陡然收缩粘得住。,在 x 处虽然下半连续，但不上半连续,粘不住,框不住,19,2. 集映连续性的判别,四、集值映射,(三)

16、连续集映,定理 设 ，F : X Y。 如果F 是闭集值集映且FX 有界，则F 上半连续当且仅当F 是闭集映。 若F(x) 是闭集且存在 x 的邻域U 使得FU 有界，则F在 x 处上半连续当且仅当对任何 yY 以及任何序列 xkX 和 ykF(xk) ( k = 1,2,)，当 xk x ( k ) 且 yk y ( k )时，y F(x)。 集映F在 x 处下半连续当且仅当对任何 yF(x) 及 X 中任何收敛于 x 的序列 xk ( k = 1,2,)，存在Y 中收敛于 y 的序列 yk (k = 1,2,)，使得 ykF(xk) ( k = 1,2,)。 如果F是闭集值的闭集映且存在

17、x 的邻域U 使得FU 有界，则F 在 x 处上半连续。 本定理为研究集值映射提供了极大便利，其中结论(4)直接从(1)得到，且比(1)可能更为有用；结论(2)和(3)也很有用。,20,五、二元关系,消费者对各种消费方案的比较实际上是一种二元关系消费方案间的两两关系。严格论二元关系，可给出如下定义。 定义 集合 X 上的二元关系是 X = X X 的子集： = (x, y)X : xy 例1：关系、=、 都是二元关系。比如， = (x, y)X : xy， = (x, y)X : xy。 例2：价值关系 设 v(x)是 上的价值函数。定义 = (x, y)X : v(x)v(y)，则 是消费集

18、合X 上的二元关系，称为价值关系。x y 是说方案 x的价值没有方案 y 的价值大。 例3. 集映关系 从 X 到自身的集映F: X X 实际上表达了 X 上的一种二元关系：xy yF(x)；反过来，X 上的任何二元关系也都是一个集映F : X X ：(xX )(F(x) = yX : xy)。因此，消费集合 X 上的二元关系恰恰就是从 X 到自身的一个集值映射。,21,(一) 二元关系的性质,五、二元关系,假定： 是集合 X 上的二元关系。 二元关系的常用性质 自反性：(xX )(xx) 传递性：(x, y, zX )(xy)( yz)(xz) 完全性：(x, yX )(xy)( yx) 对称性：(x, yX )(xy)( yx) 反对称性：(x, yX )(xy)( yx)(x = y) 常用性质的组合 等价关系：自反、传递、对称的二元关系。 半序关系：自反、传递、反对称的二元关系。 序关系：自反、传递、完全、反对称的二元关系。 半预序：自反、传递的二元关系。 预序关系：自反、传递、完全的二元关系。 经济学中，预序关系最为重要。,22,(二) 预序关系,五、二元关系,预序关系 (pre-ordering) 是消费选择活动中的一种十分重要的关系。实际上，任何评价行为都可用预序关系来反映。 序关系(ordering)与预序关系的区别在于排序