第七章 空间解析几何与向量代数简介.ppt

1、空间解析几何简介,向量及其线性运算 数量积 向量积 *混合积 空间平面及其方程 空间直线及其方程 二次曲线及其方程 二次曲面及其方程,数量关系 ,第一部分 向量,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式 点, 线, 面,基本方法 坐标法; 向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,向量及其线性运算,表示法:,向量的模 :,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小, 又有方向的量称为向量,向径 (矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的

2、向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,规定: 零向量与任何向量平行 ;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线 .,若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 ,则称此 k,个向量共面 .,二、向量的线性运算,1. 向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律 :,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加 .,2. 向量的减法,三角不等式,3. 向量与数的乘法, 是一个数 ,规定 :,可见,总之:,运算律 :,结合律,分配律,因此,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空

3、间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,坐标轴 :,坐标面 :,2. 向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,设点 M的坐标为,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理

4、得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,2. 方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,*三、向量的混合积,第二节,一、两向量的内积,二、两向量的向量积,数量积 向量积 *混合积,一、两向量的内积,沿与力夹角为,的直线移动,1. 定义,设向量,的夹角为 ,称,内积,(点积，数量积) .,故,2. 性质,为两个非零向量,则有,3. 运算律,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,事实上, 当,时, 显然成

5、立 ;,4. 数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式, 得,例2. 已知三点, AMB .,解:,则,求,故,为 ) .,求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度,例3. 设均匀流速为,的流体流过一个面积为 A 的平,面域 ,与该平面域的单位垂直向量,解:,单位时间内流过的体积,的夹角为,且,二、两向量的向量积,引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,1. 定义,定义,向量,方向 :,(叉积),记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,引例中的力矩,思考: 右图三角形面积,S,2. 性质,为非零向量, 则,3. 运算律,(2) 分

6、配律,(3) 结合律,证明:,4. 向量积的行列式计算法,例4. 已知三点,角形 ABC 的面积,解: 如图所示,求三,一点 M 的线速度,例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转,导出刚体上,的表示式 .,解: 在轴 l 上引进一个角速度向量,使,其,在 l 上任取一点 O,作,它与,则,点 M离开转轴的距离,且,符合右手法则,的夹角为 ,方向与旋转方向符合右手法则 ,向径,*三、向量的混合积,1. 定义,已知三向量,称数量,混合积 .,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,2. 混合积的坐标表示,设,3. 性质,(1) 三个非零向量,共面的充要条件是,(2) 轮

7、换对称性 :,(可用三阶行列式推出),例6. 已知一四面体的顶点,4 ) , 求该四面体体积 .,解: 已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,例7. 证明四点,共面 .,解: 因,故 A , B , C , D 四点共面 .,内容小结,设,1. 向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,混合积:,2. 向量关系:,第三节,一、平面的方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,平面及其方程,定义：,设 是 中一个平面，,定义如上，则 中与二维子,空间 正交的非零向量称为平面 的法向量；平面 的,所有法向量添上零向量组成 的一个一维子空间， 中以平面 的法向量为方向向量的直线称为

8、平面 的法线。,设在 中给定一个平面 ，采用线性代数的术语来描述平面 ， 是 中的一个集合，则集合 是 中的一个二维线性子空间。反之，给了 中一个二维子空间 ，存在 中的平面 使得 实际上，任取点 记 则 可充当平面 的，可见这种平面有无限多。,一、平面的方程,设一平面通过已知点,，法向量是,称式为平面 的坐标形式方程（点法式）。,故,称为平面 的向量形式方程。,还可以采用两个参数来表述平面。设 是 的一个二维子空间。设 是两个不共线的向量。设 是一个固定点，设 是 上的任意点，则,并得到平面 的参数方程。,例1.求过三点,即,解: 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的

9、方程,此平面的三点式方程也可写成,一般情况 :,过三点,的平面方程为,说明:,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减 , 得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,特殊情形, 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 轴;, A x+C

10、z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,特别有下列结论：,因此有,例4.

11、 一平面通过两点,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C , 得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,外一点,求,例5. 设,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d .,则P0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),例6.,解: 设球心为,求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成,则它位于第一卦限,且,因此所求球面方程为,四面体的球面方程.,从而,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,第四节,一、

12、空间直线方程,二、线面间的位置关系,空间直线及其方程,1. 参数方程,设直线上的动点为,则,已知直线上一点,和它的方向向量,或者,这两个方程称为直线的参数方程。,一、空间直线方程,2. 对称式方程,故有,说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如, 当,和它的方向向量,因此其一般式方程,3. 一般式方程,直线可视为两平面交线，,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x = 1, 解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点 .,故所给直线

13、的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,二、线面间的位置关系,1. 两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,特别有:,例2. 求以下两直线的夹角,解: 直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,2. 直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,特别有:,解: 取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直

14、的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面,1. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,直线,2. 线与线的关系,直线,夹角公式:,平面 :,L,L / ,夹角公式：,3. 面与线间的关系,直线 L :,第五节,二次曲线,定义：设在 中取定了正交坐标系 ，则有形如 的方程所确定的点的轨迹统称二次曲线，其中二次项系数 不全为零。,消去交叉项,若 ，要利用旋转坐标变换使得在新坐标系下方程不含交叉项。,其中 待定。,则方程在新坐标系 下变为,其中,那么当,有,无交叉项方程简化及曲线分类,标准方程：,（1）设 ，用配完全平方法，,记,分类（1），不妨

15、设,椭圆,一点,无轨迹,双曲线,过原点的两直线,（2）设 ，不妨设 ,则,（2a）设 ，有,（2b）设 ，有,分类（2），,抛物线,两条平行直线,无轨迹,一条直线,第六节,二次曲面,定义：设在 中取定了正交坐标系 ，则有形如 的方程所确定的点的轨迹统称二次曲面，其中二次项系数 不全为零。 （同二次曲线的处理方法，可用旋转变换消去交叉项）,1. 椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,标准方程有如下16种：,与,的交线为椭圆：,(4),同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3) 截痕:,为正数),2.,3.,4.,单叶双曲面,椭圆.,时, 截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,双曲线:,虚轴平行于x 轴）,时, 截痕为,时, 截痕为,(实轴平行于z 轴;,相交直线:,双曲线:,5 双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,6. 二次锥面（椭圆锥面）,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .,可以证明, 椭圆上任一点