第五章大数定律与中心极限定理.ppt

1、1 大数定理,定理（契比雪夫(Chebyshev)不等式）:设随机变量X具有数学期望E(X)=,方差D(X)=2 ,则对于任意正数,有,1.1 契比雪夫(Chebyshev)不等式,证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有,(2)设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk,则有,例:在供暖的季节,住房的平均温度为20度,标准差为2度,试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于4度的概率的下界.,解,解,1.2 大数定律,定义:设Xk是随机变量序列，数学期望E(Xk)(k=1,2,.)存在，若对于任意 0，有,则称随机变量序列Xn服从大数定律.,定理（契比雪夫(Chebyshev)大数定律）

2、:设Xk是两两不相关的随机变量序列,具有数学期望E(Xk)和方差D(Xk)k=1,2,.若存在常数C,使得D(Xk) C(k=1,2,),则对于任意给定的0,恒有,证明,推论(契比雪夫大数定律的特殊情况):设Xk是两两不相关的随机变量序列,具有相同的数学期望E(Xk)=和方差D(Xk)=2(k=1,2,),则对于任意给定的0,恒有,注:,解,所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理.,伯努里大数定律: 设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频率，则,证明:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,由切比雪夫大数定律,2 中心极

3、限定理,在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态分布:“若一个随机变量X可以看着许多微小而独立的随机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小,都有不起压倒一切的主导作用,则X一般都可以认为近似地服从正态分布.”,例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响,使测量产生误差X1;测量者观察时视线所产生的误差X1;测量者心理和生理上的变化产生的测量误差X3;显然这些误差是微小的、随机的,而且相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和,即Xi.,一般地,在研究许多随机因素产生的总影响时,很多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布

4、问题,而通常这种和的项数都很大.因此,需要构造一个项数越来越多的随机变量和的序列:,我们关心的是当n时,随机变量和Xi的极限分布是什么?由于直接研究Xi的极限分布不方便,故先将其标准化为:,再来研究随机变量序列Yn的极限分布.,定义：设Xk为相互独立的随机变量序列,有有限的数学期望E(Xk)=k和方差D(Xk)=k2,令,若对于一切实数x,有,则称随机变量序列Xk服从中心极限定理.,定理(林德贝尔格-勒维(Lindeberg-Levy)定理):设Xk为相互独立的随机变量序列,服从同一分布,且具有数学期望E(Xk)=和方差D(Xk)=2 ,则随机变量,的分布函数Fn(x),对于任意x,满足,例:

5、 将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？,解 设Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,100,则 X1,X100独立同分布.,由中心极限定理,定理(De Moivre-Laplace中心极限定理):设随机变量Yn服从二项分布Yn B(n,p), (op1),则对于任意x,恒有,证明 设X1,X2,Xn是n个相互独立的服从(0-1)分布(PXi=0=1-p,PXi=1=p)的随机变量,则,Yn= X1+X2+Xn,由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p) (i=1,2,n),由此得,解法1,设X为10000个新生儿中男孩个数,则X服从B(n,p)，其中n=10000，p

6、=0.515,由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，所求概率为,设X为10000个新生儿中男孩个数,则女孩不少于男孩的概率为,解法2,例:一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,20),它们相互独立且都在区间0,10上服从均匀分布,噪声电压总和V=V1+V2+V20,求PV105的近似值.,解:易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布的中心极限定理知,近似服从标准正态分布N(0,1),于是,例: 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问： (1)保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？,解 设X表示一年内死亡的人数，则XB(n, p), 其中 n= 10000，p=0.6%， 设Y表示保险公司一年的利润， Y=1000012-1000X 于是由中心极限定理 (1)PY0=P1