系统工程计算题.pptx

1、1、建立邻接矩阵,邻接矩阵是图的基本的矩阵表示，它用来描述图中节点两两之间的关系。邻接矩阵A的元素aij可定义为：,Si与Sj有关系表明从Si到Sj有长度为1的通路， Si 可直接到达Sj,举例,下面有向连接图的邻接矩阵为：,2、建立可达矩阵,布尔代数运算规则： 0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，01=0，00=0，10=0，11=1,矩阵A1描述了各节点间经过长度不大于1的通路后的可达程度。设矩阵A2=(A+I)2，即将A1平方，并用布尔代数运算规则进行运算后，可得矩阵A2,矩阵A2描述了各节点间经过长度不大于2的通路后的可达程度。,通过依次运算后可得,式中，n矩阵阶数,则,矩

2、阵R 称为可达矩阵，它表明各节点间经过长度不大于（n-1）的通路后的可达程度。对于节点数为n 的图，最长的通路其长度不超过（n-1）。,本例中，A2继续运算，得到矩阵A3,可知：,，,例：现有由7个要素组成的系统，试建立它的关系，并求出邻接矩阵和可达矩阵。,3.建立系统解释模型,可得到关联矩阵A,Step 1、建立邻接矩阵,Step2、建立可达矩阵,经过至多(n-1)演算后能得到可达矩阵。,可达集合(Reach)：,Step3、划分,先行集合(Ahead),共同集合,T = 3,7,T=3,7且R(3)R(7)=,则系统可分为两个连通域：1,2,7，3,4,5,6。,Step 3、划分 （1）

3、区域分解,Step 3、划分 （2）级间分解,得新的可达矩阵M0,Step 4、求缩减可达矩阵,选择n4为代表，则可得经过排序的缩减可达矩阵：,Step 5.做出梯阶有向图,注：越级二元关系可去掉。,利用上述信息，可以得出该系统的分级递阶结构模型：,至此，系统的结构模型即告建成。,4.建立状态空间模型（数学模型）,状态空间模型是以系统的状态作为变量，并以此来描述动态系统行为的一种数学模型。 两类系统及其相应状态空间系统方程 离散系统 连续系统,状态空间模型（数学模型）,状态：表示系统运行的特征属性的量。系统的状态随时间变化的。 状态变量：指状态中的每个变量，即能够完整的确定系统状态所必须的一组

4、最少的变量。是系统状态的一种数学描述。 例如：在飞机飞行时，可用飞机所在的位置高度和飞行的速度两个属性表示飞行的情况。我们分别用数学符号x1(t)表示高度，用x2(t)表示速度，则x1(t)、 x2(t)就是描述飞机飞行状态的状态变量。,系统状态方程,连续系统系统方程,离散系统系统方程,状态空间模型例题,例： 某电话公司第t年增加 u(t)百万元的新资金，0.75u(t)用于安装交换设备，0.25 u(t)用于装设新的传输电缆，以增加长途通讯服务。每年对每1元的交换设备的价值，公司要损失20分，对每1元价值的电缆，公司要收益15分。收益将用于下一年购买更多的交换设备。试计算公司在第t年的总价值

5、。,解 令状态变量为x1(t)年交货设备的全部价值， x2(t)状态变量为第t年电缆的全部价值。y(t)第t年公司的总价值。 由所给条件，可得状态方程为,交换设备,传输电缆,0.25u(t),x2(t+1)=,+ x2(t),x1(t+1)=,0.75u(t),+ 0.8x1(t),+ 0.15x2(t),第t年公司的总价值为,y(t)= x1(t) +x2(t),课堂练习： 2010年A国的人口数为1亿人，其中A1城市的人口为1千万。A1城市每年有上一年人口的4%迁出到该国其它城市，其它城市上一年人口的2%迁入A1城市。每年的人口自然增长率为1%，建立A国和A1城市人口数量状态空间模型。,解

6、：设第t年A1城市的人口数为：,第t年A国除A1城市之外的人口总数为：,则有,初始条件：,5.模糊评价法,二、模糊变量的运算,由于模糊变量是用隶属度来表示的，因此，其运算应为模糊运算。设有模糊矩阵,则R与S的并与交运算的规则与集合运算相似，并运算为两中取大，交运算为两中取小。,模糊矩阵的乘积定义如下：记C=RS,设对一个评价问题有：评判因素集U=u1,un；评价集V= v1, ,vn；各评价指标的权重分别为W1,W2,Wn。,二、模糊综合评价,则综合评价问题可描述为计算模糊乘积UV。,例：某服装厂对一新产品进行评判： 评判因素集=款式色彩，穿着舒适，价格费用，评价集V= 很好，较好，不太好，不

7、好。,请若干专家与顾客进行评价，若对款式色彩有20%人很欢迎，70%的人比较欢迎，10%的人不太欢迎，则可以得出对款式色彩评价的隶属度：,A款式色彩=（0.2/很欢迎， 0.7/较欢迎，0.1/不太欢迎，0.0/不欢迎）。类似地，穿着舒适有： A穿着舒适=（0.0/很， 0.4/较，0.5/不太，0.1/不）价格费用有：A价格费用=（0.2/很合理， 0.3/较合理，0.4/不太合理，0.1/不合理）,例题,由以上可得模糊矩阵,如已知顾客考虑三相因素的权重为,则顾客该服装的综合评判为,即综合评价介于不太欢迎与较欢迎之间。,归一化处理得：（0.17 0.33 0.42 0.08）,对某品牌电视机

8、进行综合模糊评价,设评价指标集合： U图像，声音，价格； 评语集合： V很好，较好，一般，不好；,习题,首先对图像进行评价： 假设有30%的人认为很好，50%的人认为较好，20%的人认为一般，没有人认为不好，这样得到图像的评价结果为 （0.3, 0.5, 0.2 , 0) 同样对声音有：0.4, 0.3, 0.2 , 0.1) 对价格为：（0.1, 0.1, 0.3 , 0.5) 所以有模糊评价矩阵：,设三个指标的权系数向量： A 图像评价，声音评价，价格评价 （0.5, 0.3, 0.2),用模糊综合评价法对某品牌电视机进行综合模糊评价,计算的综合评价结果为： BAP （0.3, 0.5,

9、0.2, 0.2) 归一化处理： B（0.25, 0.42, 0.17, 0.17) 所以综合而言，电视机还是比较好的比重大。,五、构造判断矩阵,在递阶层次结构中，设上一层元素C支配着下一层元素u1,u2, ，un，两两比较对C的相对重要度，形成比较矩阵。,将各种因素对于上层元素的重要性做两两比较，相对重要程度按1-9比例标度权重。,比如说ui与uj相比，对C明显更重要，则记aij=5，同时取aji=1/5 。形成矩阵A=(aij)nn， 称为判断矩阵。,2、4、6、8为中间值，看情况选取。,建立判断矩阵,例：为购买机器，选定的三个评价标准为功能、价格和维护性。假定以购买机器为比较基准，对这三

10、个指标两两比较的结果为,C1,C2,C2,C3,C3,C1,1,5,3,1/5,1,1/3,1/3,3,1,上述矩阵表明：对购买机器而言，功能比价格重要（aij=5）、比维护性较重要（aij=3），而维护性比价格较重要（aij=3），其他可以类推。,重要度,功能,价格,维护性,判断矩阵的性质,u1 与 u2 稍微重要，a12 = 2； u2 比 u3 稍微重要， a23 = 3；,那么按照逻辑， u1 应该比 u3 非常重要， a13 = a12 a23 = 6。,但实际情况有时却并不满足这个关系，因此要进行一致性检验。,六、相对重要程度的计算,对以某个上级要素为准则所评价的同级要素之相对重要

11、程度可以由计算比较矩阵A的特征向量获得。但因其计算方法较为复杂，而且实际上只能获得对A粗略的估计，因此，计算其精确特征值没有必要。实践中可以采求和法或求根法来计算特征向量的近似值。,方法1、求和法,（1）将矩阵按列归一化（使列为1）：,（2）按行求和：,（3）归一化：,方法2、求根法,（1）将矩阵按行求 （2）归一化：,求和法,求根法,七、判断矩阵一致性检验,由于判断矩阵是人们主观评估给出的，所以完全有可能出现类似“甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要”的严重违反逻辑的错误。如果用这样的判断矩阵选择方案，其可靠性难以保证。,最大特征值可由下式求出：,如：,则：,即判断矩阵的一致性

12、是可以接受的。,AHP应用案例,例1：某工厂产品结构调整 三种可选产品：液化气钢瓶、喷灌机、自行车 三条准则：经济效益、社会效益、技术可行性 建立层次结构模型：,C1,C2,C3,P1,P2,P3,A,C1,C2,C3,C1,C2,C3,1 1 3,1 1 3,1/3 1/3 1,W,0.4286,0.4286,0.1428,Step1：判断矩阵A C,C1,P1,P2,P3,P1,P2,P3,1 3 5,1/3 1 3,1/5 1/3 1,W,0.6370,0.2583,0.1047,Step2：判断矩阵C1P,C2,P1,P2,P3,P1,P2,P3,1 2 3,1/2 1 1,1/3 1

13、 1,W,0.5499,0.2402,0.2098,Step3：判断矩阵C2P,C3,P1,P2,P3,P1,P2,P3,1 5 7,1/5 1 3,1/7 1/3 1,W,0.7207,0.1957,0.0835,Step4：判断矩阵C3P,Step5：层次总排序计算结果,层次C1,P1,C1,C2,C3,0.6370 0.5499 0.7207 0.6116,层次P总排序权值,方案排序,1,2,3,层次P,0.4286,0.4286,0.1428,P2,P3,0.2583 0.2402 0.1957 0.2416,0.1047 0.2098 0.0835 0.1467,结论：选择液化气钢瓶

14、作为最佳支柱产品,课堂练习,某公司有一笔资金可用于4种方案 ：投资房地产，购买股票，投资工业和高技术产业。评价和选择投资方案的标准是：收益大，风险低和周转快。试对4种投资方案做出分析和评价。,根据题意建立AHP的多级递阶结构,建立判断矩阵，计算各级要素相对重要度并进行一致性检验,计算综合重要度,结论,最好的投资方案,风险低,房地产,收益大,周转快,股市,工业,高科技,G,C1,C2,C3,p1,p2,p3,p4,AHP的多级递阶结构,1,3,1/3,1,3,1,5,1/5,G,C1,C1,C2,C2,C3,C3,1/3,p1,C1,p2,p3,p3,1/3,p1,p2,p4,p4,1,1/3,

15、3,2,3,1,7,5,1/7,1,1/3,1/2,1/5,3,1,解：建立判断矩阵，计算各级要素的相对重要度，并进行一致性检验。,1,3,1/3,1,3,1,5,1/5,0.636,G,C1,C1,C2,C2,C3,C3,1/3,Wi0,C.I.,0.258,0.106,0.0270.10,p1,C2,p2,p3,p3,1/3,Wi2,C.I.,0.569,0.266,0.0730.10,p1,p2,p4,p4,1,5,3,7,1/5,1,1/5,1/2,5,1,3,1/7,2,1/3,1,0.067,0.099,p1,C3,p2,p3,p3,1/3,Wi3,C.I.,0.25,0.075,0.010.10,p1,p2,p4,p4,1,1/2,3,2,2,1,7,5,1/7,1,1/2,1/2,1/5,2,1,0.549,0.127,