高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第八章 椭圆教学案 新人教A版

1、椭_圆知识能否忆起1椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的焦距2椭圆的标准方程及其几何性质条件2a2c，a2b2c2，a0，b0，c0图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围|x|a；|y|b|x|b；|y|a对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称顶点长轴顶点(a,0) 短轴顶点(0，b)长轴顶点(0，a) 短轴顶点(b,0)焦点(c,0)(0，c)焦距|F1F2|2c(c2a2b2)离心率e(0,1)，其中c通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为小题能否

2、全取1(教材习题改编)设P是椭圆1的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B8C6 D18解析：选C依定义知|PF1|PF2|2a6.2(教材习题改编)方程1表示椭圆，则m的范围是()A(3,5) B(5,3)C(3,1)(1,5) D(5,1)(1,3)解析：选C由方程表示椭圆知解得3m5且m1.3(2012淮南五校联考)椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D.或21解析：选C若a29，b24k，则c，由，即，得k；若a24k，b29，则c，由，即，解得k21.4(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8.则该椭

3、圆的方程是_解析：2c8，c4，e，故a8.又b2a2c248，椭圆的方程为1.答案：15已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|2|PF2|，PF1F230，则椭圆的离心率为_解析：在三角形PF1F2中，由正弦定理得sinPF2F11，即PF2F1，设|PF2|1，则|PF1|2，|F2F1|，所以离心率e.答案：1.椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在2已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的

4、判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论椭圆的定义及标准方程典题导入例1(2012山东高考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.1B.1C.1 D.1自主解答椭圆的离心率为，a2b.故椭圆方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，b25，即a24b220.故椭圆C的方程为1.答案D本例中条件“双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四

5、边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x2y22x150的半径”问题不变解：x2y22x150，(x1)2y216，r4，即2a4，a2.又，c，b1，故椭圆方程为y21.由题悟法1解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题2椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为：(1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程3当椭圆焦点位置不明确时，可设为1(m0，n0，mn)，也可设为Ax2By21(A0，B0，且AB)以题试法1(2012张家界模拟)椭圆y21的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|()A. B.C. D4解析：选A

6、因为a24，b21，所以a2，b1，c.不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(，0)，设P(，m)(m0)，则m21，解得m，所以|PF1|根据椭圆定义|PF1|PF2|2a，所以|PF2|2a|PF1|22.椭圆的几何性质典题导入例2(1)F1、F2是椭圆y21的左右焦点，点P在椭圆上运动则的最大值是()A2B1C2 D4(2)(2012江西高考)椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.B.C. D.2自主解答(1)设P(x，y)，依题意得F1(，0)，F2(，0)，(x)(x)y2

7、x2y23x22.0x24，2x221.的最大值是1.(2)由题意知|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac，且三者成等比数列，则|F1F2|2|AF1|F1B|，即4c2a2c2，a25c2，所以e2，故e.答案(1)B(2)B由题悟法1求椭圆的离心率实质上是建立a，b，c中任意两者或三者之间的关系，利用e或e 去整体求解2解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意axa，byb，0e1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用以题试法2(1)(2012西工大附中适应性训练)已知动点P(x，y)在椭圆1上，若A点的坐标为(3,0)，|,|1

8、，且,0，则|,|的最小值为_(2)设F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左，右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是_解析：(1)由|,|1，A(3,0)知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，,0且P在椭圆上运动，PMAM，PM为A的切线，连接PA(如图)，则|,| ，当|,|minac532时，|,|min .(2)设P，线段F1P的中点Q的坐标为，则直线F1P的斜率kF1P，当直线QF2的斜率存在时，设直线QF2的斜率为kQF2(b22c20)由kF1PkQF21得y20，但注意到b22c20，故2c2b20，即3c2a20，即e2

9、，故e1.当直线QF2的斜率不存在时，y0，F2为线段PF1的中点由c2c得e，综上得e1.答案：(1)(2)直线与椭圆的位置关系典题导入例3(2012安徽高考)如图，F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左，右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值自主解答(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)法一：a24c2，b23c2，直线AB的方程为y(xc)将其代入椭圆方程3x24y212c2，得B，所以|AB|c.由SAF1B|AF1|AB|sin F1ABaca240

10、，解得a10，b5.法二：设|AB|t.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240知，a10，b5.由题悟法1直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判断式的符号来确定：当0时，直线和椭圆相交；当0时，直线和椭圆相切；当b0)的离心率为，右焦点为(2，0)斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程；(2)

11、求PAB的面积解：(1)由已知得c2，.解得a2，又b2a2c24.所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2120.设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x12)，其离心率为，故，解得a4，故椭圆C2的方程为1.(2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x，即，解得k1.故直线AB的方程为yx或yx.法二：A，B两点的坐标

12、分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.由2，得x，y.将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1.故直线AB的方程为yx或yx.1(2012长春模拟)以O为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足|,|2|,|2|,|，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选C不妨设F1为椭圆的左焦点，F2为椭圆的右焦点过点M作x轴的垂线，交x轴于N点，则N点坐标为，并设|,|2|,|2|,|2t，根据勾股定理可知，|,|2|,|2|,|2|

13、,|2，得到ct，而a，则e.2(2012太原模拟)已知椭圆C1：1(a1b10)和椭圆C2：1(a2b20)的焦点相同且a1a2.给出如下四个结论：椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；aabb；a1a2b1b2.其中，所有正确结论的序号是()A BC D解析：选C由已知条件可得abab，可得aabb，而a1a2，可知两椭圆无公共点，即正确；又aabb，知正确；由abab，可得abba，则a1b2，a2b1的大小关系不确定，不正确，即不正确；a1b10，a2b20，a1a2b1b20，而又由(a1a2)(a1a2)(b1b2)(b1b2)，可得a1a2b1b2，即正确综上可得，正确的结论序号为.

14、3(2012西城模拟)已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围解：(1)设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c1.因为椭圆C的离心率为，所以a2c2，b2a2c23.故椭圆C的方程为1.(2)当MNx轴时，显然y00.当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为yk(x1)(k0)由消去y并整理得(34k2)x28k2x4(k23)0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，则x1x2.所以x3，y3k(x31).线段M

15、N的垂直平分线的方程为y.在上述方程中，令x0，得y0.当k0时，4k4；当k0时，4k4.所以y00或0y0.综上，y0的取值范围是.1(2012广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1,0)，且点P(0,1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程解：(1)根据椭圆的左焦点为F1(1,0)，知a2b21，又根据点P(0,1)在椭圆上，知b1，所以a，所以椭圆C1的方程为y21.(2)因为直线l与椭圆C1和抛物线C2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l的方程为ykxm(k0)，代入椭圆方

16、程得(kxm)21，即x22kmxm210，由题可知此方程有唯一解，此时4k2m24(m21)0，即m22k21.把ykxm(k0)代入抛物线方程得y2ym0，由题可知此方程有唯一解，此时1mk0，即mk1.联立得解得k2，所以或所以直线l的方程为yx或yx.2(2012湖南高考)在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2y24x20 的圆心(1)求椭圆E的方程；(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标解：(1)由x2y24x20得(x2)2y22，故圆C的圆心为点(2,0)从而可设椭圆E的方程

17、为1(ab0)，其焦距为2c.由题设知c2，e.所以a2c4，b2a2c212.故椭圆E的方程为1.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1，l2的方程分别为l1：yy0k1(xx0)，l2：yy0k2(xx0)，且k1k2.由l1与圆C：(x2)2y22相切得，即(2x0)22k2(2x0)y0k1y20.同理可得(2x0)22k2(2x0)y0k2y20.从而k1，k2是方程(2x0)22k22(2x0)y0ky20的两个实根，于是且k1k2.由得5x8x0360.解得x02或x0.由x02得y03；由x0得y0，它们均满足式故点P的坐标为(2,3)，或(2，3)，或或.3(2012河南模拟)已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围解：(1)由题意可设椭圆方程为1(ab0)，则故所以椭圆的方程为y21.(2)由题意可知，直线l的斜率