高考数学一轮复习 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件精品学案

1、2012版高三数学一轮精品复习学案：第一章集合与常用逻辑用语第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件【高考目标导航】一、考纲点击1、理解命题的概念；2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。二、热点、难点提示1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。【考纲知识梳理】1、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语

2、句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。2、四种命题及其关系（1）四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若，则逆否命题若，则（2）四种命题间的相互关系（3）四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。 3、充分条件与必要条件（1）“若p，则q”为真命题，记，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。（2）如果既有，又有，记作，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件。【要点名师透析】一、命题的关系与真

3、假的判断1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。2、例题解析 例1设原命题是“已知p、q、m、n是实数，若p=q，m=n，则pm=qn”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假解：逆命题：“已知p、q、m、nR，若pm=qn，则p=q，m=n(假)原命题：“已知p、q、m、nR，若pq，m

4、n，则pmqn”(假)逆否命题：“已知p、q、m、nR，若pmqn，则pq或mn”(真)注，否命题“若pq，mn”应理解为“pq或mn”即是指：pq，但m=n，p=q但mn，而不含pq且mn因为原命题中的条件：“若p=q，m=n”应理解为“若p=q且m=n，”而这一语句的否定应该是“pq或mn”例2以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题内接于圆的四边形的对角互补；已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd；分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题解析：对：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它

5、必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”对：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“ab，cd”是条件，“acbd”是结论所以：逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd，则ab，cd”；否命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab或cd，则acbd”(注意“ab，cd”的否定是“ab或cd”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd则ab或cd”逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若acbd则ab，cd

6、两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理试一试：写出命题“当c0时，若ab，则acbc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假二、充分条件与必要条件的判定1、相关链接（1）利用定义判断若，则p是q的充分条件；注：“p是q的充分条件”是指有p就有q，但无p也可能有q如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件若，则p是q的必要条件；注： “q是p的必要条件”是指有q才能有p，但有q未必有p如，一个偶数未必能被6整除(q：为偶

7、数，p：能被6整除)若且，p是q的充要条件；p是q的必要而不充分条件（2）利用集合判断记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若若，则p是q的充分不必要条件；若若，则p是q的必要不充分条件；若A=B，则p是q的充要条件；注：p与q之间的关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆。2、例题解析例1 “”是“直线相互垂直”的（ ）A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件答案：B；解析：当时两直线斜率乘积为从而可得两直线垂直,当时两直线一条斜率为0一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。注：对于两条直线垂直的充要

8、条件都存在时中有一个不存在另一个为零对于这种情况多数考生容易忽略。例2已知p：x1，x2是方程x25x60的两根，q：x1x25，则p是q的 A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件分析：利用韦达定理转换解析：x1，x2是方程x25x60的两根，x1，x2的值分别为1，6，x1x2165因此选A说明：判断命题为假命题可以通过举反例 三、充要条件的证明例1（12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a0或a=1.分析：（1）讨论a 的不同取值情况；（2）利用根的判别式求a的取值范围. 解答：充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0,其根为x=,

9、方程只有一个负根；当a=1时，方程为x2+2x+1=0.其根为x=-1,方程只有一个负根。当a0,方程有两个不相等的根，且0,方程有一正一负根。必要性：若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根。当a=0时，适合条件。当a0时，方程ax2+2x+1=0有实根，则=4（1-a）0，a1,当a=1时，方程有一个负根x=-1.若方程有且仅有一负根，则 a1”是“”成立的（ ）A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分又不必要条件答案：C（6）（2011届湖南省长沙市一中高三月考（理）若集合是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：A（7）2011届温州

10、市高三八校联考（文） “”是“直线和直线互相平行”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：A（8）已知，为实数，且.则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】显然，充分性不成立.又，若和都成立，则同向不等式相加得 即由“”“”（9）是“实系数一元二次方程有虚根”的（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件答案：A解析：40时，22，因为是“22”的必要不充分条件，故选A（10）2011届汕头华侨中学高三摸底（理）已知，则成立的一个充分

11、不必要条件是( )A B C D 答案：B（11）（2011届怀柔区一模(理)）若(1,2,3)，(2,a1,a2)， 则“a1”是“”的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案:A（12）（2011届东城区一模（文）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，则这两个平面互相平行；若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面. 其中为真命题的是（ ）A和B和C和D和答案：D二、填空题（1）若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是 答案：（2）（2011届湖北监利一中高三月考（文）若 ，则p是q的_ 条件。（填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”）答案：必要不充分（3）p：平行四边形是轴对称图形则p的否定命题p是：_平行四边形不都是轴对称图形_（4）（2011届贵州省高三上第二次五校联考（理）条件甲：“”；条件乙：“”若条件甲是条件乙成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是 答案：三、解答题（1）（2011届湖南长沙一中高三月考（理）（本小题满分12分）设：函数在区间（4，+）上单调递增；，如果“”是真命题，“或”也是真命题，求实数的取值