材料物理课件 Chapter 1.2 晶体的宏观对称性.ppt

1、2020/8/1,1,第一章 晶态结构,1.2.1. 宏观对称元素,第二节 晶体的宏观对称性,C4,若图形中可以找到一直线L，绕此直线将图形旋转某一角度，可使图形复原，则此直线称为旋转轴。,C3,C4,1. 旋转轴(A proper Axis of Rotation),其中n只能取1，2，3，4，6这五个值。为什么,?,C3,C3,C3,C4,2020/8/1,2,对称性定律：晶体中只可能出现1，2，3，4，6次旋转轴，这称为对称性定律。,C1,1.2.1. 宏观对称元素(continue),C2,C3,2020/8/1,3,对称性定律(continue),C4,C6,C5,2020/8/1,

2、4,对称性定律(continue),C8,2020/8/1,5,2. 反映面(镜面) (A Plane of Reflection),反映面的阶次为2，用表示。正四面体有9个反映面 。,h,v,v,d,2=E,d,d,d,d,d,2020/8/1,6,3. 对称中心 (Center of Inversion),与对称中心相应的动作是中心反演(或倒反)，记作I。,I2=E I= hC2,4. 反轴(Improper Axis),与反轴相应的动作是旋转反射操作，记作Sn 。,这是一个由旋转和镜面反射组成的复合操作。,Sn= hCn= Cnh,2020/8/1,7,4. 反轴(continue),根

3、据反轴的定义，可以得到,若n为偶数，则 (h )n =E ，所以 (Sn)n=E。 若n为奇数，则 (h )n = h，所以 (Sn)n= h 。,S2= hC2= I,(Sn)n=(hCn)n= (h )n Cn = (h )n,n,2020/8/1,8,5. 一些特殊的对称元素,1)主轴 在某些对称性群中，通常总有一转轴的对称性高于其它的转轴。对称性最高的的轴就称为主轴。在讨论问题时一般都将主轴取作坐标系的Z轴。,2) 等价轴(面) 若对称性群中转动轴(或反映面)可由群元使之彼此相合，则这些轴(面)就乘为等价轴(面)。绕等价轴转动相同角度的操作属同一类(对等价的反轴也一样)。,2020/8

4、/1,9,两个对称元素组合必产生第三个对称元素，这是因为晶体外形是有限图形，对称元素组合时至少交于一点。否则对称元素将无限伸展。,一、反映面之间的组合,1.2.2 对称元素组合原理,定理：两个反映面相交，其交线为旋转轴，基转角为反映面相交角的2倍。,二、反映面与旋转轴的组合,定理：当一个反映面穿过旋转轴Cn时必有n 个反映面穿过此旋转轴。(万花筒定理),2020/8/1,10,三、旋转轴与对称中心的组合,1.2.2 对称元素组合原理(Cont),定理：如果在偶次旋转轴上有对称中心，那么必有一反映面与旋转轴垂直相交于对称中心。,四、旋转轴之间的组合,欧拉定理：两个旋转轴的适当组合产生第三个旋转轴

5、。,推论：在有对称中心时，图形中偶次轴数目和反映面数目相等。,2020/8/1,11,1.3.1 点群的概念,第三节 点群(Point Group),点群这一概念并没有一个统一和明确的定义。一种观点认为晶体在宏观观察中是有限的，对称元素必须至少交于一点，在对称操作中至少有一点不动，因此我们把宏观观察中所具有的点对称元素的组合或宏观对称类型称为点群。,1. 正当转动点群 (proper rotation point group),2020/8/1,12,对于立方体群，由於不存在主轴，所以不能用极射投影图而用单位球来表示，但很繁复。实际上常直接在立方体中标出各种转轴。,1.3.2 极射投影图,20

6、20/8/1,13,1. Cn群 这类群仅有一个n次轴，群元都是绕这n次轴的转动操作。这种群称作轴转动群。,1) C1=E,2) C2=C2,E,1.3.3 晶体的32类点群,C2,C3,C4,C6,2020/8/1,14,2. Cnh群 这类群是由Cn群与水平反映面h组合而成的。因此这类群包含n个转动及n个旋转反射，故群共有2n个群元。这类群共有五个。,6) C1h=h,E,32类点群(2),7) C2h=C2,h,C2h, E,C1h,C2h,C3h,C4h,C6h,2020/8/1,15,3. Cnv群 这类群含有n次旋转轴及过主轴的垂直反映面。由对称元素之间的关系可知， Cnv群必包含

7、n个过主轴的垂直反映面。因此，群的群元数为2n，其中n个是绕主轴的转动，n个是在垂直镜面上的反射。,由于C1v群与C1h群等价，所以可能的Cnv群只有四个。,32类点群(3),11) C2v=c2z,v=xz=Ic2y, v=c2zxz =Ic2x,E,C2v,C3v,2020/8/1,16,3. Cnv群(continue),C4v,C6v,C6v群中由C6群的元与组合的五个元均为在垂直镜面上的反射，分别记作2,3 ,4 ,5及6 ,其镜面与xz平面的夹角分别为(n-1)/6。,32类点群(3),2020/8/1,17,4. S2m群 这类群仅包含n次反轴，且n=2m。当n为奇数时，与Cnh

8、群等价。所以这类群只有三个：S2、S4及S6。这类群的群元都是旋转反射操作(S2m)n，其中1n2m。这类群都是阿贝尔群。,32类点群(4),15) S2=s2=hc2z=c2zh=I,E,S2,S4,S6,2020/8/1,18,5. Dn群 Dn群包含有一个n次轴及n个与之垂直的二次轴，所以这类群的阶为2n。由于二次轴的存在，使n次轴成为双向轴。 由于D1群与C2群是等价的，因此Dn群有四个：D2 、D3 、D4 、D6 。,32类点群(5),18) D2=c2z,c2x,c2y,E,D2,D3,D4,2020/8/1,19,5. Dn群(continue),D6,32类点群(5),202

9、0/8/1,20,32类点群(6),6. Dnh群 Dnh群是由Dn群与水平反映面h组合而成的。 Dnh群包含了在水平面上的二次转轴，它们与h组合可得到垂直反映面v。因此，Dnh群共有4n个群元，其中2n个是Dn群的正当转动，n个垂直反映面v以及n个反轴sn=hcn。,D2h,由于D1h与C2v群是等价的，所以 群有四个：D2h，D3h，D4h 及 D6h 。,2020/8/1,21,32类点群(6) Dnh群 (continue),D3h,D4h,2020/8/1,22,32类点群(6) Dnh群 (continue),D6h,2020/8/1,23,32类点群(7),7. Dnd群 Dnd

10、群是由Dn与垂直反映面d组合而成的，其中 d反映面包含主轴并且平分垂直于主轴的相邻二次轴之间的夹角，这样的垂直反映面共有n个。垂直反映面的存在，使得n次旋转轴成为双向轴，并使相邻的二次轴可以互换而彼此等价。由于d及二次轴的存在，所以，主轴不仅是n次轴，而且是2n次旋转反射轴。因此，根据对称性定律，对于n3的Dnd群是不存在的。而且D1d与D2v群是等价的。所以，可能的Dnd群只有两个：D2d及D3d。,D2d,2020/8/1,24,32类点群(7) Dnd群 (continue),D3d,2020/8/1,25,32类点群(8) 正多面体群,8. 正多面体群 在正多面体群中，并不存在主轴，而

11、存在互相垂直的等价轴。,在三维空间中，已经证明仅有5种多面体是可能的，即正四面体、正八面体、正六面体、正十二面体、正二十面体。,2020/8/1,26,32类点群(8) 正多面体群(continue),如图所示，由正六面体的六个面心作为顶点可以构成一个镶嵌其中的正八面体，因此正六面体群和征八面体群具有相同的对称性，它们属同一点群。,同样，正十二面体与正二十面体也属同一点群，但由对称性定律可知，晶体中不存在五次轴的对称性，因此这两种多面体群是不存在的。,2020/8/1,27,32类点群(8) 正四面体群 Tetrahedron,28) T群 T群是使正四面体自身重合的全部正当转动构成的群。正四

12、面体有三个二次轴及四个三次轴。因此T群的十二个群元可分成四类：E；3c2；4c3；4c3-1。,C2,C2,C2,C3,C3,C3,C3,2020/8/1,28,32类点群(8) 正四面体群(continue),29) Td群 Td群是由使正四面体自身重合的全部对称操作组成的，Td群是完全的正四面体群。,Td群的对称元素除了T群的三个二次轴和四个三次轴之外，还包含六个平分正四面体并包含正四面体一个边的反映面d；另外还有3个四次旋转反射轴Ic4x，Ic4y，Ic4z及其逆Ic4x-1， Ic4y-1，Ic4z-1(亦可表示为3s4及3s4-1)。,所以，Td群共有24个群元，分为五类：E；3c2

13、；8c3(4c3，4c3-1)；6Ic4(3Ic4，3Ic4-1)；6d 。,2020/8/1,29,32类点群(8) 正四面体群(continue),30) Th群 Th 群是由T群的全部对称元素与水平反映面h组 合而成的。,Th群也有24个群元，分成八类：T群中的四类E；3c2； 4c3；4c3-1及I；3Ic2；4Ic3；4Ic3-1。,由于T群中存在二次旋转轴，而二次轴与h组合成 为对称中心 ， 而正四面体中并不存在对称中心，因此 Th 群不是正四面体的对称性群。,2020/8/1,30,C4,C3,C4,C3,C3,C3,C4,32类点群(9) 正八面体群(Octahedron),3

14、1) O群 O群是使正八面体自身重合的全部正当转动构成的群。由于正八面体与正六面体的对称性相同，我们这里只以正六面体对称性来说明。正六面体有9个二次轴，4个三次轴和3个四次轴。,O群共有24个群元，可分为五类：E；3c2；6c2；8c3(4c3，4c3-1)；6c4(3c4，3c4-1)。,2020/8/1,31,32类点群(9) 正八面体群(Continue),32) Th群 Oh 群是由O群的全部对称元素与水平反映面h组合而成的。,Oh的群元是是正八面体(或正六面体)自身重合 的一切对称操作。Oh群是晶体点群中最大的一 个群，共有48个群元，分为10类：除了O群的24 个群元E；3c2；6

15、c2；8c3(4c3，4c3-1)；6c4(3c4， 3c4-1) 外，还有五类24个群元：1I；3Ic2；6Ic2； 8Ic3(4Ic3，4Ic3-1)；6Ic4(3Ic4，3Ic4-1)。,2020/8/1,32,32类点群(10),32类点群之间的相互关系,2020/8/1,33,32类点群(10),32个晶体点群共分9大类： Cn, Cnh, Cnv, S2m, Dn, Dnh, Dnd, O, T 。在这32个点群 中，除Oh群 (正六面体群)和 D6h群(正六角柱群)是相互无 关的两个群外，其余的30个 点群都是Oh群或D6h群的子 群。这种关系示于图中。,32类点群之间的相互关系

16、,2020/8/1,34,七大晶系按对称性从低到高排列包括三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、六方晶系、立方晶系。,1.3.4 七大晶系及其最大点群,1. 三斜晶系(triclinic) abc 90o,2. 单斜晶系(monoclinic) abc 90o,3. 正交晶系(orthorhombic) abc 90o,4. 四方晶系(tetragonal) abc 90o,2020/8/1,35,七大晶系按对称性从低到高排列包括三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、六方晶系、立方晶系。,1.3.4 七大晶系及其最大点群 (continue),5. 三角晶系(rhombohedral) abc 90o,7. 立方晶系(cubic) abc 90o,6. 六方晶系(hexagonal) abc 90o, 120o,2020/8/1,36,1.3.4 七大晶系及其最大点群,2020/8/1,37,除了前面所讨论的基本对称元素如旋转轴、反映面、对称中心外，如果将滑移面和螺旋轴也考虑进去，则实际晶体对称类型的数目要大得多，共230种，