《高等数学》(同济六版)教学课件★第2章.导数与微分.ppt

1、第二章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与连续性的关系,五、单侧导数,第一节,导数的概念,第二章,一、 引例,1. 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时)

2、,割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,二、导数的定义,定义1 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,不存在,就说函数在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为

3、导函数.,记作:,注意:,就称函数在 I 内可导.,的导数为无穷大 .,若极限,例1. 求函数,(C 为常数) 的导数.,解:,即,例2. 求函数,解:,说明：,对一般幂函数,( 为常数),例如，,（以后将证明）,例3. 求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,例4. 求函数,的导数.,解:,即,原式,是否可按下述方法作:,例5. 证明函数,在 x = 0 不可导.,证:,不存在 ,例6. 设,存在, 求极限,解: 原式,三、 导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与 x 轴平行,称为驻点;,若,切线与 x 轴垂直 .,切线方程:,法线方程:,例7. 问曲线,哪一

4、点有铅直切线 ? 哪一点处,的切线与直线,平行 ? 写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1) , (1,1) 处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点 (0 , 0) 有铅直切线,四、 函数的可导性与连续性的关系,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续 .,注意: 函数在点 x 连续，但在该点未必可导.,反例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,即,在点,的某个右 邻域内,五、 单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),例如,在 x = 0 处有,定义2 . 设函数,有定义,存在,定

5、理2. 函数,在点,且,存在,简写为,定理3. 函数,(左),(左),若函数,与,都存在 ,则称,显然:,在闭区间 a , b 上可导,在开区间 内可导,在闭区间 上可导.,可导的充分必要条件,是,且,内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但连续不一定可导;,5. 已学求导公式 :,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,思考与练习,1. 函数 在某点 处的导数,区别:,是函数 ,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系 ?,？,与导函数,2. 设,存在 , 则,3. 已知

6、,则,4. 若,时, 恒有,问,是否在,可导?,解:由题设,由夹逼准则,故,在,可导, 且,5. 设, 问 a 取何值时,在,都存在 , 并求出,解: 显然该函数在 x = 0 连续 .,故,时,此时,在,都存在,作业,P86 2 , 5 , 6, 7, 11, 16(2) , 18 , 20,第二节,牛顿(1642 1727),伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义

7、算术等 .,莱布尼茨 (1646 1716),德国数学家, 哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人 ,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿 .,他还设计了作乘法的计算机 ,系统地阐述二进制计,数法 ,并把它与中国的八卦联系起来 .,备用题,解: 因为,1. 设,存在, 且,求,所以,在,处连续, 且,存在，,证明:,在,处可导.,证：因为,存在，,则有,所以,即,在,处可导.,2. 设,故,第二节,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,函数的求导法则,第二章,解决求导问题的思路:,( 构造

8、性定义 ),求导法则,其他基本初等函数求导公式,证明中利用了 两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题 .,此法则可推广到任意有限项的情形.,证: 设,则,故结论成立.,例如,(2),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),例1.,解:,(3),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),例2. 求证,证:,类似可证:,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调

9、性知,且由反函数的连续性知,因此,例3. 求反三角函数及指数函数的导数.,解: 1) 设,则,类似可求得,利用, 则,2) 设,则,小结:,推论3),在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,（当 时 ),故有,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,例4. 求下列导数:,解: (1),(2),(3),说明: 类似可得,例5. 设,求,解:,思考: 若,存在 , 如何求,的导数?,例6. 设,解:,记,则,(反双曲正弦),其他反双曲函数的导数看参考书自推.,的反函数

10、,双曲正弦,四、初等函数的求导问题,1. 常数和基本初等函数的导数 (P95),2. 有限次四则运算的求导法则,( C为常数 ),3. 复合函数求导法则,4. 初等函数在定义区间内可导,由定义证 ,说明: 最基本的公式,其他公式,用求导法则推出.,且导数仍为初等函数,例7.,求,解:,例8.,设,解:,求,先化简后求导,例9.,求,解:,关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,例10. 设,求,解:,内容小结,求导公式及求导法则 (见P95 P96),注意: 1),2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .,1.,思考与练习,对吗?,2. 设,其中,在,因,故,正确解法:,时, 下列

11、做法是否正确?,在求,处连续,由于 f (a) = 0，故,3. 求下列函数的导数,解: (1),(2),或,4. 设,求,解: 方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,作业,P 97 2(2) , (8) , (10) ; 3 (2) , (3) ; 4 ; 6 (6) ,(8) ; 7 (3) , (7) , (10) ; 8 (4) , (5) , (8) , (10) ; 10; 11 (3) , (8) ,(10); *12 (4) , (8) ; 14,第三节,备用题 1. 设,解：,2 . 设,解:,求,二、高阶导数的运算法则,第三节,一、高阶导数的概念,高阶导数,第二章

12、,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,设,求,解:,依次类推 ,例1.,思考: 设,问,可得,例2. 设,求,解:,特别有:,解:,规定 0 ! = 1,思考:,例3. 设,求,例4. 设,求,解:,一般地 ,类似可证:,例5 . 设,解:,例6. 设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,阶数,规律,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼茨(Le

13、ibniz) 公式,规律,规律,用数学归纳法可证,例7.,求,解: 设,则,代入莱布尼茨公式 , 得,例8. 设,求,解:,即,用莱布尼茨公式求 n 阶导数,令,得,由,得,即,由,得,内容小结,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,(3) 间接法 利用已知的高阶导数公式,(4) 利用莱布尼茨公式,高阶导数的求法,如下列公式,思考与练习,1. 如何求下列函数的 n 阶导数?,解:,解:,(3),提示: 令,解:,各项均含因子 ( x 2 ),2. (填空题) (1) 设,则,提示:,(2) 已知,任意阶可导, 且,时,提示:,则当,3. 试从,导出,解：,同样可求,(见 P103 题4 ),

14、作业 P103 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 6 ; 9 ; 10 (2) ; *11 (2) , (3),第四节,解:,设,求,其中 f 二阶可导.,备用题,第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,隐函数和参数方程求导,相关变化率,第二章,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ),(含导数 的方程),例1. 求由方程,在

15、 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,例2. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,例3. 求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐式,两边对 x 求导,1) 对幂指函数,可用对数,说明:,注意:,求导法求导 :,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .,例如,两边取对数,两边对 x 求导,又如,对 x 求导,两边取对数,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系

16、,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,记,?,例4. 设, 且,求,已知,解:,练习: 书P112 题8(1),解:,注意 :,例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解: 先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,例6. 设由方程,确定函数,求,解: 方程组两边对 t

17、 求导 , 得,故,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时, 观察员,视线的仰角增加率是多少?,解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则,两边对 t 求导,已知,h = 500m 时,思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时, 仰角的增加率是多少 ?,提示:,对 t 求

18、导,已知,求,试求当容器内水,例8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V , 则,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,极坐标方程求导,4. 相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,思考与练习,1. 求螺线,在对应于,的点

19、处的切线方程.,解: 化为参数方程,当,时对应点,斜率, 切线方程为,点击图中任意处 动画播放暂停,2. 设,求,提示: 分别用对数微分法求,答案:,3. 设,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,再代入 得,求,作业,P111 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12,第五节,求其反函数的导数 .,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,备用题,1. 设, 求,解：方程组两边同时对 t 求导, 得,2.

20、设,二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,*四、微分在估计误差中的应用,第五节,一、微分的概念,函数的微分,第二章,一、微分的概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,定理 : 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导

21、,且,即,定理 : 函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 可导,则,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,例如,基本初等函数的微分公式 (见 P116表),又如,二、 微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变,5. 复合函数的微分,则复合函数,例1.,求,解:,例2. 设,求,解: 利用一阶微分形式不变性 , 有,例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式

22、成立:,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意,数学中的反问题往往出现多值性.,注意:,注,数学中的反问题往往出现多值性 , 例如,三、 微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,的近似值 .,解: 设,取,则,例4. 求,的近似值 .,解:,例5. 计算,例6. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,( g ),用铜多少克 .,估计一下, 每只球需,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,*四、 微分在估计误差

23、中的应用,某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,称为a 的绝对误差,称为a 的相对误差,若,称为测量 A 的绝对误差限,称为测量 A 的相对误差限,误差传递公式 :,已知测量误差限为,按公式,计算 y 值时的误差,故 y 的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得 x ,例7. 设测得圆钢截面的直径,测量D 的,绝对误差限,欲利用公式,圆钢截面积 ,解:计算 A 的绝对误差限约为,A 的相对误差限约为,试估计面积的误差 .,计算,(mm2),内容小结,1. 微分概念,微分的定义及几何意义,可微,可导,2. 微分运算法则,微分形式不变性 :,( u 是自变量或中间变量 ),3. 微分的应用,近似计算,估计误差,思考与练习,1. 设函数,的图形如下, 试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负 .,2.,5. 设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,则,作业,P123 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; *12,习题课,1. 已知,求,解：因为,所以,备用题,已知,求,解:方程