20.5.3几何应用,习题课.ppt

1、1,例5,已知 为 的两个不同解,为AX = 0的基础解系,k1,k2是两个,任意常数,则 的通解为:,2,5.3 方程组的几何应用,3,矩阵的秩及方程组的理论可以用来讨论几何空间中的平面、直线的位置关系.,1. 两个平面的位置关系,不全为0,4,此时方程组有无穷多解,有一个自由未知量,可求出通解为：,即,t为任 意常数.,为直线的参数方程.,注 特解代表交线上的一个点,导出组的 基础解系代表交线的方向向量.,5,2. 三个平面的位置关系,三平面重合,方程组 有无穷多解.,三平面交于一条直线, 方程组有无穷多解.,不全为0,6,三平面交于一点, 方程组有唯一解.,三平面平行, 方程组无解.,7

2、,三个法向量共面,方程组无解.,交成2或3条平行直线,8,3.空间四点Mi (xi, yi , zi ) (i=1,2,3,4)共面,9,4.平面三点Mi(xi , yi) (i=1,2,3) 共线,10,例1,设三直线交于一点,即方程组,设,证明平面上的三条直线,交于一点的,线性无关,而,线性相关.,有唯一解,证,即,11,是方程组,线性无关,而,线性相关.,线性无关,而,线性相关.,若,则,可由,线性表示,且表法唯一.设,即,的唯一解,即三直线交于一点.,12,线性代数与解析几何,第二十讲,哈工大数学系代数与几何教研室,王 宝 玲,第五章 线性方程组,习 题 课,13,14,例1 已知,(

3、1) a,b为何值时,不能表为,的线性组合.,(2) a,b为何值时,可唯一表为,的线性组合.,15,解,无解.,有唯一解.,16,17,已知线性方程组A44X=0有基础解系,则该方程的一个特解是,例2,解 设,18,解系线性表示,所以不是解. 应选(B).,故 可由 线性表示, 所以 是该,方程组的一个解, 不能由基础,19,例3,时仅有零解.,时必有非零解.,时必有非零解.,时仅有零解.,解,只有零解,有非零解,这时 即可.,故应选(D).,20,设矩阵Ann且A0, 记A的前n1 列形成的矩阵为A1, A的第n列为b. 问: 线性方程组A1X=b是否有解？为什么？ 解1: 无解, 因为r

4、(A1)=n1 r(A1,b)=r(A)=n 系数矩阵与增广矩阵的秩不等. 解2：因为A可逆, A的n个列向量组线性 无关, 所以b不能由前n-1个向量线性 表示,即原方程组A1X=b无解.,例4,21,已知向量组1, 2, 3是齐次线性方程 组AX=0的基础解系, 则下列向量组中也可 以作为AX=0的基础解系的是( ). 1+2, 2+3, 3-1 1-2, 2-3, 3-1 (C) 1, 1-2, 1+2 (D) 1, 1+2, 1+3 解 利用前面学习的结论, 把这些向量组 用1, 2, 3表示出来, 观察相应的矩阵.,例5,22,例6,解系,则 的基础解系还可以表示成,的一个等价向量组

5、.,(B) 的一个等秩向量组.,解,(A) 错. 个数可能n .,(B) 错.可能不是解.,(C) 错.可能不是解.,23,(D) 对.,的基础解系含有n-r个解向量,又,是,的n-r 个线性无关的解向量, 即为基础解系.,24,例7 已知,是线性方程组,的非零解向量,试判断 的线性相关性 .,解,线性无关(不共面).,线性无关，,25,例8 设,是线性方程组 的基础解系,求线性方程组 的基础解系.,解,即,是,的基础解系.,又线性无关,26,设是非齐次线性方程组AX=b0的解, 1,2,n-r 是导出组AX=0的基础解系, 证明: (1) , 1,2,n-r 线性无关; (2) +1, +2

6、, +n-r, 是AX=b 的 n-r +1个线性无关的解向量.,例9,左乘A得,故 , 1,2,n-r 线性无关.,线性无关,证 (1),27,(2),再证它们线性无关.,由(1)知,线性无关,故 +1, +2, +n-r, 是,若有,AX=b 的 n-r +1个线性无关的解向量.,28,例10,设非齐次线性方程组AX=b(b0),是它的,个线性无关的解向量,证明它的,任一个解向量都可以表示为,其中,证,AX=0的基础解系含n-r个线性无关的 解向量,而由解的性质知,是 AX=0 的解,下证他们线性无关.,29,线性无关,是 AX=0 的基础解系,所以,AX=b的通解为：,线性无关,30,3

7、1,因为, 如果AX=0, 则AT (AX)=0, 所以 (I)的解都是(II)的解.,设A为mn阶实矩阵, 则方程组 (I):AX=0, (II):ATAX=0为同解方程组.,例11,所以(II)的解也是(I)的解.,又AXRm,AX0.,故 (I) 与(II)同解.,证,反之, 若X Rn 是ATAX=0的任一解, 则有 XT(ATAX) =0 即 (AX) TAX = |AX|2 = 0,32,本题可进一步得出,r(A)=r(ATA),因为AX=0与ATAX=0同解，故基础解系相同.则基础解系所含无关的解向量的个数相同, 即n-r(A)=n-r(ATA). 所以 r(A)=r(ATA).

8、,若A为mn 阶实矩阵,则,33,预 习 6.1,34,线性代数与空间解析几何,第二十三讲,哈工大数学系代数与几何教研室,王 宝 玲,6.1 特征值与特征向量,第六章 特征值、特征向量 及相似矩阵,35,.,特征值与特征向量的概念； 特征值与特征向量求法； 特征值与特征向量的性质； 实对称阵的特征值与特征向量.,本节的主要内容,36,在工程技术中有许多与振动和稳定性有关的问题（如：机械、电子、土木、化工、生态学、核物理、弹性力学、气体力学), 在数学中, 解微分方程组及简化矩阵的计算等, 都会遇到这样的问题：,1. 对于给定的3阶方阵A, 是否存在非零列,向量X,使向量AX与X平行？,2. 如

9、果存在这样的X, 则该如何求这个X ？,问题的提出：,37,设,则对于,有,而对于,可见有些向量X, 有AX与X平行这个性 质,而其它向量则没有这个性质. 有这样性 质的向量称为特征向量.,例1,38,1.定义 设A是n阶方阵,若存在数 及非零列 向量X, 使得,则称 是A的特征值, X是A的属于 特征值 的特征向量.,6.1.1 特征值与特征向量的概念,1.若X=0,则A0=0,()成立. 2.几何意义:向量AX=,注,AX= X,39,求方阵A的特征值:,称,即,为矩阵A的特征多项式,征值的问题就转化为求特征方程根的问题.,AX= X(X 0),有非零解,为矩阵A的特征方程,求矩阵特,2. 特征值与特征向量的求法,40,求方阵A的特征向量:,求齐次线性方程组的非零解问题.,由齐次线性方程组解的性质知特征向 量有以下2条性质:,(1)X是属于 的特征向量,则,(2) 是属于 的特征向量,则,的非零解,41,对A的特征值