自动控制原理(第七章)1.ppt

1、共276页第1页,第七章 线性离散系统的分析与校正,共276页第2页,本章主要内容： 一、离散系统的基本概念 二、信号的采样与保持 三、Z变换理论 四、离散系统的数学模型 五、离散系统的稳定性与稳态误差 六、离散系统的动态性能分析 七、离散系统的数字校正,第七章 线性离散系统的分析与校正,共276页第3页,本章要求 :,七、了解离散系统的动态性能分析,六、了解离散系统的稳定性与稳态误差,五、重点掌握采样系统脉冲传递函数的求法,四、了解离散系统的数学模型,三、重点掌握Z变换与Z反变换的方法,二、掌握采样系统信号采样与保持的基本概念,一、了解离散系统的基本概念,第七章 线性离散系统的分析与校正,共

2、276页第4页,离散系统与连续系统相比，既有本质上的相同，又有分析研究方面的相似性。利用Z变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许多概念和方法，推应用于线性离散系统。,第七章 线性离散系统的分析与校正,共276页第5页,一、离散系统的基本概念,本节主要内容： 1、采样控制系统 2、数字控制系统 3、离散控制系统的特点 4、离散系统的研究方法,共276页第6页,如果控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码， 换句话说，这些信号仅定义在离散时间上，则这样的系统称 为离散时间系统，简称离散系统。通常，把系统中的离散信 号是脉冲序列形式的离散系统，称为采样控制系统或脉冲控 制系统；而把数字序列形式的

3、离散系统，称为数字控制系统 或计算机控制系统。 1、采样控制系统 （1）采样控制系统举例 一般说来，采样系统是对来自传感器的连续信息在某些 规定的时间瞬时上取值。如果在有规律的间隔上，系统取到 了离散信息，则这种采样称为周期采样；反之，则称为非周 期采样。本章仅讨论等周期采样。下面举例说明。,一、离散系统的基本概念,共276页第7页,一、离散系统的基本概念,炉温采样控制系统,共276页第8页,工业炉炉温自动连续控制系统,工业炉炉温自动采样控制系统,一、离散系统的基本概念,共276页第9页,工业炉炉温自动控制系统，炉子具有时延特性，且时延时间长达数秒或数十秒，而且惯性时间常数可达千秒以上。当炉温

4、与给定值有偏差时，偏差经放大驱动执行电机，由电动机去开大或关小燃料供应阀的阀门，达到控制炉温的目的。由于电机的时间常数相对于炉子的时间常数显得很小，可忽略不计，故执行电机与放大环节合并成比例环节，燃料供应阀是一个积分环节。在这样一个控制系统中，的设计显得极其困难。因为当选取较大时，电机对很小的温度偏差也很明感，即当有一个小的温度偏差时（炉温低于给定值），电机很快转动，开大燃料供应阀，但由于炉子的延时作用和大惯性特性，炉温的上升很缓慢，在炉温到达给定值之前，电动机一直往一个方向转动，阀门开度持续增大，等炉温达到给定值时，阀门早已开过了头。这时电动机即使停转甚至反转，炉温仍继续升高。此后减小阀门开

5、度，同样也会造成调节过度。如此循环往复，炉温必然大幅度振荡。若选取很小的，系统的灵敏度很低，反应迟钝，而且因为电动机“死区”的存在，调节误差会很大，调节时间也会变得很长。,共276页第10页,I、信号的采样 在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序列的过程 称为采样过程，简称采样。实现采样的装置称为采样器，或 称采样开关。为了简化系统的分析，可认为 趋于零，即把 采样器的输出近似看成一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉 冲 ， 如图 （b） 所示。,一、离散系统的基本概念,（2）信号的采样与复现,共276页第11页,II、信号的复现 在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现过程

6、。实现复现过程的装置称为保持器。,一、离散系统的基本概念,共276页第12页,III、采样系统的典型结构图 根据采样器在系统中所外的位置不同，可以构成各种系统，如果采样器位于系统闭合回路之外，或者系统本身不存在闭合回路，则称为开环采样系统；如果采样器位于系统闭合回路之内，则称为闭环采样系统。在各种采样控制系统中，用得最多的是误差采样控制的闭环采样系统，其典型结构图如下图所示。,一、离散系统的基本概念,共276页第13页,采样系统的典型结构图,一、离散系统的基本概念,保持器,被控对象,共276页第14页,2、数字控制系统 （1）数字控制系统举例 数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连

7、续工作状态的被控对象的闭环控制系统。因此，数字控制系统包括工作于离散状态下的数字计算机和工作于连续状态下的被控对象两大部分。,一、离散系统的基本概念,共276页第15页,复习21,1.控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，仅定义在离散时间上，称为离散系统。把系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统，称为采样控制系统或脉冲控制系统；而把数字序列形式的离散系统，称为数字控制系统或计算机控制系统。 2.信号的采样：把连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样过程，简称采样。 3.信号的复现：在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现过程。,共276页第16页,一、离散系统的基本概念

8、,图 小口径高炮精度数字伺服系统,共276页第17页,一、离散系统的基本概念,共276页第18页,计算机控制系统原理图 （2）A/D转换器、D/A转换器 1） A/D转换 A/D转换包括两个过程：一是采样过程，二是量化过程。 2）D/A转换 D/A转换也经历两个过程：一是解码过程，二是复现过程。,一、离散系统的基本概念,共276页第19页,一、离散系统的基本概念,A/D转换,D/A转换,共276页第20页,(3)数字控制系统的典型结构图,一、离散系统的基本概念,被控对象,保持器,数字控制器,测量装置,共276页第21页,3、离散控制系统的特点 1）由数字计算机构成的数字校正装置，效果比连续式校

9、正装置好，且由软件实现的控制规律易于改变，控制灵活。 2）采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声，从而提高了系统的抗扰能力。 3）允许采用高灵敏的控制元件，以提高系统的控制精度。 4）可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备的利用率，经济性好。 5）对于具有传输延迟，特别是大延迟的控制系统，可以引入采样的方式稳定。,一、离散系统的基本概念,共276页第22页,4、离散系统的研究方法 为了克服运算过程中出现复变量的超越函数这个障碍，需要采用Z变换法建立离散系统的数学模型。即采用Z变换法分析离散系统。,一、离散系统的基本概念,共276页第23页,二、信号的采样与保持,本节主要内容：

10、1、采样过程 2、采样过程的数学描述 3、香农采样定理 4、采样周期的选取 5、信号保持,共276页第24页,1、采样过程 把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器，又叫采 样开关。采样器的采样过程，可以用一个周期性闭合的采样 开关来表示，如图所示。,二、信号的采样与保持,共276页第25页,二、信号的采样与保持,共276页第26页,二、信号的采样与保持,共276页第27页,采样过程可以看成是一个幅值调制过程。,二、信号的采样与保持,共276页第28页,2、采样过程的数学描述 采样信号的拉氏变换 对采样信号 进行拉氏变换，可得 从上可知 只描述了在采样瞬时的数值，所以 不能给出连续函数在采样间

11、隔之间的信息。,二、信号的采样与保持,共276页第29页,例 试求指数函数 的 变换。 解：根据指数函数的 变换为 当 成立，则上式可写成如下闭 式形式,二、信号的采样与保持,共276页第30页,二、信号的采样与保持,采样信号的频谱,共276页第31页,频谱图,二、信号的采样与保持,连续信号频谱,采样信号频谱,共276页第32页,3、香农采样定理,二、信号的采样与保持,共276页第33页,4、采样周期的选取 从频域性能指标来看，工程实践表明，随动系统的采样角频率可近似取为 从时域性能指标来看，采样周期按下列经验公式选取： 或,二、信号的采样与保持,共276页第34页,5、信号保持 从数学上说，

12、保持器的任务是解决各采样点之间的插值问题。 保持器的数学描述 保持器的外推公式 这样保持器称为m阶保持器。若取m0，则称零阶保持器；m1，称一阶保持器。,二、信号的采样与保持,共276页第35页,零阶保持器的外推公式为 时，上式也成立。所以零阶保持器的 数学表达式为,二、信号的采样与保持,零阶保持器,共276页第36页,零阶保持器的输出特性,二、信号的采样与保持,共276页第37页,零阶保持器的频率特性为,相频特性为,其幅频特性为,二、信号的采样与保持,共276页第38页,其中,零阶保持器的频率特性曲线如图所示，对比上图可知零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想的低通滤波器，它除了允许信号的主

13、频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。,二、信号的采样与保持,共276页第39页,图 零阶保持器的频率特性曲线,二、信号的采样与保持,共276页第40页,零阶保持器具有如下特性,低通特性：由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减，说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，但与理想滤波器特性相比，在 =s/2,其幅值只有初值的63.7%，且截止频率不止一个，所以零阶保持器允许主要频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过,从而造成数字控制系统的输出中存在纹波。,二、信号的采样与保持,共276页第41页,相角特性：由相频特性可见，零阶保持器要产生相角迟后，且随的增大而加大，在 =s/2 时，相角迟后可

14、达180o，从而使闭环系统的稳定性变差。,二、信号的采样与保持,时间迟后：零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t) 其平均响应为et(T/2),表明输出比输入在时间上要迟后T/2，相当于给系统增加一个延迟时间为T/2的延迟环节，对系统稳定不利。,共276页第42页, 一阶保持器 一阶保持器外推公式 将 和 代入上式，有 得 于是，一阶保持器的数学表达式为,二、信号的采样与保持,共276页第43页,一阶保持器的输出特性,二、信号的采样与保持,共276页第44页,三、Z变换理论,本节主要内容：,1、Z变换定义 2、Z变换方法,共276页第45页,1、Z变化定义 连续函数 的拉氏变换的表达为 对于采样信

15、号 ，,三、Z变换理论,故采样信号 拉氏变换,共276页第46页,由广义脉冲数的筛选性质可得 令变量 则采样信号 的Z变换定义为 记作,三、Z变换理论,共276页第47页,2、Z变换方法 级数求和法 级数求和法是直接根据Z变换的定义 例76 试求单位阶跃函数 的Z变换 解 由于 在所有采样时刻上的采样值均为1，即,三、Z变换理论,故由上式有,共276页第48页,例77 设 试求理想脉冲序列 的Z变换。 解 因为为T采样周期，故,三、Z变换理论,故,又,共276页第49页,例 求单位脉冲信号的z变换。,解：,设 ，则 由于 在时刻 的脉冲强度为1，其余时刻的脉冲强度均为零，所以有,三、Z变换理论

16、,共276页第50页,例 求单位阶跃信号的z变换。,解： 设 ，则 该级数的收敛域为 ，在该收敛域内上式可以写成如下闭合形式,三、Z变换理论,共276页第51页,例 求单位斜坡信号的z变换。,设 ，则 上式两边对z求导数，并将和式与导数交换，得 上式两边同乘 ，便得单位斜坡信号的z变换,解：,三、Z变换理论,共276页第52页,例 求指数函数的z变换。,解：设 ，则,三、Z变换理论,共276页第53页,注意：,不能直接将 代入 来求 ，因为是针对采样信号 进行z变换。,三、Z变换理论,共276页第54页,部分分式法 举例说明 例78 已知连续函数的拉氏变换为 试求相应的Z变换 。 解:根据部分

17、分式法，先写出 的拉普拉斯变换的部分分式展开式，即令将 展成如下部分分式：,三、Z变换理论,共276页第55页,三、Z变换理论,共276页第56页,三、Z变换理论,又,所以,共276页第57页,例,设 ，求 的z变换。,解：,上式两边求Laplace反变换，得,三、Z变换理论,共276页第58页,例：求e(t)=sint的Z变换。,解：,的原函数为 ，其Z变换为,三、Z变换理论,共276页第59页,(3) 留数计算法,已知连续信号e (t)的拉氏变换E(s)及它的全部极点,可用下列的留数计算公式求E(z)。,函数 在极点处的留数计算方法如下：,若 Si为单极点，则,三、Z变换理论,共276页第

18、60页,若 有n重极点Si，则,例 已知系统传递函数 ，应用留数计算法求E(z）。,三、Z变换理论,共276页第61页,解：E(s)的极点为单极点,三、Z变换理论,共276页第62页,例：求 (t0) 的Z变换.,解：,E(s)有两个s=0的极点，即,三、Z变换理论,共276页第63页,3、Z变换性质 线性定理 实数位移定理 复数位移定理 终值定理 卷积定理,三、Z变换理论,共276页第64页,z变换的基本定理,其中 为任意实数。,1线性定理：,若 和 z变换为 和 ，,则,三、Z变换理论,共276页第65页,证明：,三、Z变换理论,共276页第66页,2实数位移定理,若 的z变换为 ，则,滞

19、后定理,超前定理,三、Z变换理论,共276页第67页,证明：,证明滞后定理,三、Z变换理论,共276页第68页,证明超前定理,三、Z变换理论,共276页第69页,3复位移定理,已知 的z变换函数为 ，则,三、Z变换理论,共276页第70页,4Z域尺度定理,若已知 的z变换函数为 ，则,其中， 为任意常数。,三、Z变换理论,共276页第71页,5. 卷积定理,卷积的定义：,则卷积定理，诺：,必有：,证：由Z变换,再由平移定理及Z变换定义，有,所以：,共276页第72页,故,交换求和次序，可写为：,证得：,共276页第73页,6.初值定理和终值定理,(1)、初值定理： 设 的z变换为 ， 并且有极

20、限 存在， 则,三、Z变换理论,共276页第74页,2、终值定理：,设 的z变换为 ，且 的极点均在z平面的单位圆内， 则,三、Z变换理论,共276页第75页,复习22,1.香农（Shannon）采样定理 ： 2.理想脉冲序列： 3. 保持器：信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。零阶保持器： 4. z变换： 5. z变换的基本定理：线性定理、实数位移定理、复位移定理、终值定理。,共276页第76页,线性定理,复位移定理,终值定理,复习22,共276页第77页,4、z反变换,实质：求E(z)幂级数展开式 z反变换的求解方法： 部分分式法 长除法 反演积

21、分法（留数法）,z反变换: 从E(z)中还原出离散序列e(nT),三、Z变换理论,共276页第78页,三、Z变换理论,然后逐项查Z变换表，得到 最后写出已知 的采样函数,(1)部分分式法,共276页第79页,例713 设Z变换函数为 试求其Z反变换。 解 因为 所以,三、Z变换理论,共276页第80页,三、Z变换理论,部分分式法还可以用下列方法解：,共276页第81页,三、Z变换理论,共276页第82页,三、Z变换理论,查表72公式7得：,共276页第83页,对比式可知:,若z变换函数 是复变量z的有理函数，则可将 展成 的无穷级数，即,由此可看出 是关于复变量 的幂级数 。,(2)、幂级数展

22、开法（长除法）,共276页第84页,把E(z)展开成幂级数,级数的系数就是序列e(nt)。,三、Z变换理论,方法是将z变换函数E（z）表示成按z1升幂排 列的两个多项式之比：,直接作综合除法得z1升幂排列的幂级数展开式：,共276页第85页,解：用长除法展成z的负幂级数,三、Z变换理论,共276页第86页,已知z变换函数为 求其z反变换。,三、Z变换理论,共276页第87页,解：,由,运用长除法得,由此得,于是脉冲序列可以写成,三、Z变换理论,共276页第88页,例714 设z变换函数为 试用幂级数法求其z反变换。,三、Z变换理论,共276页第89页,解：,由,运用长除法得,由此得,于是脉冲序

23、列可以写成,三、Z变换理论,共276页第90页,3、反演积分法（留数法）,根据复变函数理论，若函数E(z)在环状区域 内是解析的，则在此区域内E(z)可展开成劳伦级数，即 而 其中围线c是在E(z)的环状 收敛域内环绕原点的一条 反时针方向的闭合单围线。,三、Z变换理论,共276页第91页,由z变换的定义可知,三、Z变换理论,共276页第92页,利用留数定理求围线积分，令,若E(z)在围线c上连续，在c内有i个极点zi，则：,三、Z变换理论,共276页第93页,三、Z变换理论,单阶极点的留数：,共276页第94页,若 有n重极点Zi，则,三、Z变换理论,共276页第95页,例：以知z变换函数为

24、 试用反演积分法求z反变换。,三、Z变换理论,共276页第96页,解：,所以,三、Z变换理论,共276页第97页,例715：设z变换函数为 试用留数方法求其z反变换。,三、Z变换理论,共276页第98页,解：,所以,三、Z变换理论,共276页第99页,例：求 (t0) 的Z变换.,解：,E(s)有两个s=0的极点，即,三、Z变换理论,共276页第100页,5、关于Z变换的说明,三、Z变换理论, Z变换的非惟一性,共276页第101页, Z变换的收敛区间,双边z变换可写成,工程中大多数是单边z变换,收敛条件,共276页第102页,本节主要内容： 1、离散系统的数学定义 2、线性常系数差分方程及其

25、解法 3、脉冲传递函数 4、开环系统脉冲传递函数 5、闭环系统脉冲传递函数 6、Z变换法的局限性及修正Z变换,四、离散系统的数学模型,共276页第103页,差分方程,初始条件,代数方程,解,解,t域,z域,z变换,Z反变换,对象,保持器,执行器,测量环节,给定值,被控量,数字 调节器,数模 转换器,模数 转换器,采样 保持器,多路 开关,+,-,输出反馈计算机控制系统,四、离散系统的数学模型,共276页第104页,1、离散系统的数学定义 将输入序列 ， 变换为输出序列的一种变换关系，称为离散系统。记作 如果上式所示的变换关系是线性的，则称为线性离散系统；如果这种变换关系是非线性的，则称为非线性

26、离散系统。,四、离散系统的数学模型,共276页第105页,线性离散系统 如果离散系统满足叠加原理，则称为线性离散系统，即有如下关系式,四、离散系统的数学模型,线性定常离散系统 输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统，称为线性定常离散系统。,共276页第106页,2、线性常系数差分方程及其解法,四、离散系统的数学模型,即,线性定常离散系统可通过n阶后向差分方程描述,共276页第107页,线性定常离散系统也可以用如下n阶前向差分 方程来描述：,四、离散系统的数学模型,或表示为,常系数线性差分方程的求解方法有经典法、迭代法和Z变换法,这里仅介绍工程上常用的迭代法和Z变换法这两种解法。,共276页

27、第108页,若已知差分方程，并且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上一步一步地算出输出序列。,四、离散系统的数学模型, 迭代法,共276页第109页,四、离散系统的数学模型,共276页第110页,四、离散系统的数学模型, Z变换法,解 对差分方程的每一项进行Z变换，根据实数位移定理：,共276页第111页,四、离散系统的数学模型,得Z代数方程,共276页第112页,复习23,1.部分分式法：,2.幂级数展开法:,若z变换函数 是复变量z的有理函数，则可将 展成 的无穷级数，即,3.反演积分法:,共276页第113页,复习23,4.线性常系数差分方程,共276页第114页,两边进行

28、Z变换：,所以系统的传递函数为：,脉冲传递函数与差分方程,一般线性离散系统的解为：,四、离散系统的数学模型,共276页第115页,3、脉冲传递函数 脉冲传递函数定义 设开环离散系统如下图所示，线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为系统的初始条件为零时系统输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比，记作,四、离散系统的数学模型,共276页第116页,在零初始条件下，线性定常散系统的输出采样信号为 然而，对大多数实际系统来说，其输出往往是连续信 号 ，而不是采样信号 ，则在系统输出端虚设一 个理想采样开关，它与输入采样开关同步工作，虚设的采 样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描述的，

29、只是输出函数 在采样时刻上的离散值 。,四、离散系统的数学模型,共276页第117页, 脉冲传递函数意义,四、离散系统的数学模型,输入单位序列：,单位脉冲响应序列:,如果输入采样信号是,输出响应序列:,因而序列：,则由Z变换的卷积定理：,或者：,令加权序列的Z变换：,共276页第118页,脉冲传递函数的含义是：系统脉冲传递函数 ，就 等于系统加权序列 的Z变换。,可知：,四、离散系统的数学模型,共276页第119页,线性定常离散系统的差分方程为：,在零初始条件下，进行Z变换可得：,整理得：,四、离散系统的数学模型,共276页第120页, 脉冲传递函数求法,四、离散系统的数学模型,记作 习惯表示

30、为,连续系统或元件的脉冲传递函数 ，可以通 过其传递函数 来求取。,为加权序列,共276页第121页,例718 设某环节的差分方程为 试求其脉冲传递函数 。 解: 对差分方程取Z变换，并由实数位移定理得 当 时， ，在离散系统中其 物理意义是代表一个延迟环节。它把其输 入序列右移一个采样周期后再输出。,四、离散系统的数学模型,共276页第122页,例719 设图723所示开环系统中的 试求相应的脉冲传递函数 。 解 将 展成部分分式 查Z变换表得,四、离散系统的数学模型,共276页第123页,4、开环系统脉冲传递函数,四、离散系统的数学模型,2）若采样函数的拉氏变换 与连续函数的拉氏变换 相乘

31、后再离散化，则 可以从离散符号中提出来，即,1）采样函数的拉氏变换具有周期性，即 其中， 为采样角频率。,采样拉氏变换的两个重要性质,共276页第124页,证明1）：,在上式中，令 ，可得,其中，T为采样周期。因此令 ，必有,四、离散系统的数学模型,共276页第125页,证明2）：,于是：,证得：,四、离散系统的数学模型,共276页第126页,有串联环节时的开环系统脉冲传递函数,四、离散系统的数学模型,1）串联环节之间有采样开关,设开环离散系统如图(a)所示，由图可得,于是有,共276页第127页,2）串联环节之间无采样开关 设开环离散系统如图 (b)所示，显然 这里 为 的拉氏变换,四、离散

32、系统的数学模型,共276页第128页,上式中,四、离散系统的数学模型,通常,对输出取Z变换，得,于是开环系统脉冲传递函数,共276页第129页,显然， 在串联环节之间有无同路不采样开关隔离时，其总 的脉冲传递函数和输出Z变换是不相同的。但是， 不同之处仅表现在其零点不同，极点仍然一样。这 也是离散系统特有的现象。,四、离散系统的数学模型,共276页第130页,例：系统结构如图所示，其中 求开环脉冲传递函数。,四、离散系统的数学模型,共276页第131页,解：,四、离散系统的数学模型,共276页第132页,3) 有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数,四、离散系统的数学模型,设有零阶保持器的开环离

33、散系统如下图 (a)所示。,共276页第133页,由图(b)可得,四、离散系统的数学模型,根据实数位移定理及采样拉氏变换性质，可得,共276页第134页,例：系统结构如上图所示，其中 采样周期 秒 求其开环脉冲传递函数。,四、离散系统的数学模型,共276页第135页,解：,由于,所以,四、离散系统的数学模型,共276页第136页,例721 设离散系统如前图所示，已知 试求系统的脉冲传递函数 。 解 因为 因此，有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数,四、离散系统的数学模型,共276页第137页,5、闭环系统脉冲传递函数 下图是一种比较常见的误差采样闭环离散系统结构图。,四、离散系统的数学模型,共2

34、76页第138页,由上图可见，连续输出信号和误差信号的拉氏变换为,四、离散系统的数学模型,因此有,所以,共276页第139页,定义,四、离散系统的数学模型,为闭环离系统对于输入量的误差脉冲传递函数。,定义,为闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数。,闭环离散系统的特征方程：,共276页第140页,需要指出，闭环离散系统脉冲传递函数不能从 和 求变换得来，即 这是由于采样器在闭环系统中有多种配置之故。,四、离散系统的数学模型,共276页第141页,例722 设闭环离散系统结构图所示，试 证其闭环脉冲传递函数为,四、离散系统的数学模型,共276页第142页,证明：由结构图所示：,对E1(s)离散化：

35、,离散化后，有：,所以，输出信号的采样拉氏变换,对上式进行z变换，证得：,四、离散系统的数学模型,共276页第143页,例723 设闭环离散系统结构图所示，试证其输出采样信号的Z变换函数为,证明： 由图可得,所以,对上式离散化，有,四、离散系统的数学模型,共276页第144页,解得：,上式取z变换，证得,四、离散系统的数学模型,共276页第145页,例,四、离散系统的数学模型,共276页第146页,解：,对于阶跃输入函数有,四、离散系统的数学模型,共276页第147页,则输出信号的z变换为,于是,四、离散系统的数学模型,共276页第148页,注意,有些闭环采样系统不可能求出 形式的闭环脉冲传递

36、函数，而只能求出输出信号 的表达式。如图所示的闭环采样系统,四、离散系统的数学模型,共276页第149页,闭环传递函数,G(s),R(s),C(s),H(s),-,+,闭环脉冲传递函数,G(s),R(s),C(s),H(s),-,+,闭环脉冲传递函数,G1(s),R(s),C(s),H(s),-,+,G2(s),四、离散系统的数学模型,共276页第150页,扰动作用下线性离散系统输出：,G1(s),G2(s),R(s),+,-,C(s),N(s),+,+,R(s)=0时等效系统框图为,N(s),四、离散系统的数学模型,共276页第151页,Z变换法的局限性 修正Z变换法,四、离散系统的数学模型

37、,6、Z变换法的局限性及修正Z变换,共276页第152页,1、s域到z域的映射 2、离散系统稳定的充分必要条件 3、离散系统的稳定性判据 4、采样周期与开环增益对稳定性的影响 5、离散系统的稳态误差 6、离散系统的型别与静态误差系数,五、离散系统的稳定性与稳态误差,本节主要内容：,共276页第153页,1、s域到z域的映射 s域到z域的基本映射关系式为,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第154页,等 线映射,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第155页,等 线映射,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第156页,五、离散系统的稳定性与稳态误差, 等 线映射,共276页第

38、157页,共276页第158页,2、离散系统稳定的充分必要条件,五、离散系统的稳定性与稳态误差,差分方程的特征方程如下,齐次线性差分方程, 时域中离散系统稳定的充分必要条件 设线性定常差分方程,定义 若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序 列也是有界的，则称该离散系统是稳定的。,共276页第159页,设特征方程有各不相同的特征根 当特征方程的根 时，必 有 ，故系统稳定的充分必要条件 是：,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第160页, z域中离散系统稳定的充分必要条件 设典型离散系统结构图如图所示，其特征方程为,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第161页,s域到z域的映射

39、复变量s和z的相互关系为 z=esT ，式中T为采样周期。,于是，s域到z域的基本映射关系式为,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第162页,若设复变量s在S平面上沿虚轴移动，这时sj，对应的复变量 。后者是Z平面上的一个向量，其模等于1，与频率无关；其相角为T，随频率而改变。,可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原点为圆心的单位圆。,当s位于S平面虚轴的左边时，为负数， 小于1。反之，当s位于s平面虚轴的右半平面时，为正数， 大于1。s平面的左、右半平面在z平面上的映像为单位圆的内、外部区域。,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第163页,其特征方程为,显然，闭环系统特征

40、方程的根1、2、n即是闭环脉冲传递函数的极点。,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第164页,在z域中，线性定常离散系统稳定的充分必要条件是： 当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者所有特征的模均小于1，即 ，相应的线性定常离散系统是稳定的。,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第165页,复习24,1.脉冲传递函数定义:系统的初始条件为零时系统输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比。 2.开环系统脉冲传递函数 1）串联环节之间有采样开关 2）串联环节之间无采样开关 3) 有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数 3.闭环脉冲传递函数：与采样开关位置

41、有关。,共276页第166页,例727 设离散系统如图所示，其中 试分析该系统的稳定性。,五、离散系统的稳定性与稳态误差,解,所以该离散系统不稳定。,共276页第167页,3、离散系统的稳定性判据 w变换与劳思稳定判据,五、离散系统的稳定性与稳态误差,显然,双线性变换,共276页第168页,当动点z在Z平面的单位圆上和单位圆之内时，应满足：,左半W平面对应Z平面单位圆内的部分，W平面的虚轴对应Z平面的单位圆上，可见图。因此经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第169页,五、离散系统的稳定性与稳态误差,离散系统稳定的充要条件，由特征方程 1+GH（z

42、）=0的所有根严格位于z平面上的单位 圆内，转换为特征方程1+GH（w）=0的所有根严 格位于左半W平面。,共276页第170页,例728 设闭环离散系统如图所示，其中采样周期 ，试求系统稳定时K的临界值。,五、离散系统的稳定性与稳态误差,解：,共276页第171页,五、离散系统的稳定性与稳态误差,得W域特征方程,令 ，得,闭环特征方程,共276页第172页,五、离散系统的稳定性与稳态误差,列出劳思表,共276页第173页, 朱利稳定判据 朱利判据是根据离散系统的闭环特征方程 的系数，判别其根是否位于Z平面上的单位圆内，从而判断该离散系统是否稳定。 设离散系统n阶闭环特征方程可以写为 利用特征

43、方程的系数，按照下述方法构造,五、离散系统的稳定性与稳态误差,行、 列朱利阵列，见下表。,共276页第174页,朱 利 阵 列,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第175页,五、离散系统的稳定性与稳态误差,这里,共276页第176页,五、离散系统的稳定性与稳态误差,朱利稳定判据,特征方程 的根，全部位于Z平面上单位圆内 的充分必要条件是:,共276页第177页,例729,解：,五、离散系统的稳定性与稳态误差,已知离散系统的闭环特征方程为：,试用朱利稳定判据判断该系统的稳定性。,根据给定的D(z)知：,计算朱利阵列的元素：,共276页第178页,五、离散系统的稳定性与稳态误差,这里,共2

44、76页第179页,朱利阵列,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第180页,因为,系统是稳定的,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第181页,例,已知采样系统的闭环特征方程为 试判断该系统的稳定性。,解：,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第182页,朱利阵列,系统是稳定的,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第183页,4、采样周期与开环增益对稳定性的影响 例730 设有零阶保持器的离散系统如下图所示，试 求： 1)当采样周期 分别为1s和0.5s时，系统的临界开环增 益 2)当 ， ， 分别为 时，系统的输出响应 。,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第

45、184页,解: 开环脉冲传递函数 闭环特征方程为 当 时，有,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第185页,W域特征方程 根据劳思判据易得 。 当 时，W域特征方程为 根据劳思判据得 。 令 ， 分别为 可由 的反变换求出 ， 分别画于下张图之中。,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第186页,图：阶跃响应,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第187页,由例可见，K与T对离散系统稳定性有如下影响： 1)采样周期一定时，加大开环增益会使离散系统的稳定性变差，甚至使系统变得不稳定； 2)当开环增益一定是，采样周期越长，丢失的信息越多，对离散系统的稳定性及动态性能均不利，甚至

46、可使系统失去稳定性。,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第188页,5、离散系统的稳态误差 介绍利用Z变换的终值定理方法，求取误差采样的离散系统在采样瞬时的稳态误差。 设单位单馈误差采样系统如下图所示，,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第189页,系统的开环脉冲传递函数为G(z) 采样系统的稳态误差除可从输出信号在各采样时刻上的数值C(nT) (n=0，1，2)，以及从过渡过程曲线C*(t)求取外，还可以应用Z变换的终值定理来计算。,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第190页,为系统误差脉冲传递函数。 若离散系统是稳定的，则可用Z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差

47、,五、离散系统的稳定性与稳态误差,与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系统型别的概念，由于 的关系，原线性连续系统开环传递函数G(s)在s=0处极点的个数v作为划分系统型别的标准，可推广为将离散系统开环脉冲传递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系统的型别,称v=0,1,2,.的系统为0型、I型、II型离散系统。,共276页第191页,例7-31 设离散系统如下图所示，其中 ，输入连续信号 分别为 和 ，试求离散 系统相应的稳态误差。,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第192页,五、离散系统的稳定性与稳态误差,解:,系统的误差脉冲传递函数,因为,所以系统稳定，应用终值定理方法

48、求稳态误差。,当,求得,共276页第193页,五、离散系统的稳定性与稳态误差,求得,当 ，相应时 ，,，,共276页第194页,6、离散系统的型别与静态误差系数 单位阶跃输入时的稳态误差 当系统输入为单位阶跃函数 时，其Z变 换函数 稳态误差为 定义静态位置误差系数：,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第195页, 单位斜坡输入时的稳态误差 当系统输入为单位斜坡函数 时，其Z变换函数 稳态误差为 定义静态速度误差系数,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第196页, 单位加速度输入时的稳态误差 当系统输入为单位加速度函数 时，其Z 变换函数 稳态误差为 定义静态加速度误差系数,五

49、、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第197页,表：单位反馈离散系统的稳态误差,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第198页,已知采样系统的结构如图所示，其中， ，采样周期 秒，求在输入信号 的作用下，系统的稳态误差。,例,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第199页,采样系统的闭环特征方程为,采样系统的开环脉冲传递函数为,解：,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第200页,该采样系统稳定,在阶跃和斜坡函数作用下的稳态误差为零静态加速度误差系数为,因此，在输入 作用下的稳态误差为,五、离散系统的稳定性与稳态误差,共276页第201页,1、离散系统的时间响应 2、采样

50、器和保持器对动态性能的影响 3、闭环极点与动态响应的关系,六、离散系统的动态性能分析,本节主要内容：,共276页第202页,1、离散系统的时间响应,六、离散系统的动态性能分析,共276页第203页,闭环极点与瞬态响应之间的关系,设采样系统的闭环传递函数为,若输入信号为单位阶跃，则,六、离散系统的动态性能分析,共276页第204页,上式中第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量，显然瞬态分量的变化规律取决于极点在z平面中的位置。,将 按部分分式展开，得,六、离散系统的动态性能分析,共276页第205页,不同极点所对应的瞬态响应,六、离散系统的动态性能分析,共276页第206页,例732 设有零阶保持器

51、的离散系统如下图所示，其中 。试分析该系统的动态性能。,六、离散系统的动态性能分析,解：,共276页第207页,六、离散系统的动态性能分析,闭环脉冲传递函数,单位阶跃序列响应的Z变换：,共276页第208页,六、离散系统的动态性能分析,输出序列 为,根据上述数值，可以绘出离散系统的单位阶跃响应，如下张图所示。,共276页第209页,图：离散系统输出脉冲序列,六、离散系统的动态性能分析,1.4,共276页第210页,2、采样器和保持器对动态性能的影响 举例说明 在例732中，如果没有采样器和零阶器，则成为连 续系统，其闭环传递函数 该系统的阻尼比 ，自然频率 ，其单位阶跃响应为,六、离散系统的动

52、态性能分析,共276页第211页,如果在例732中，只有采样器而没有零阶保持 器，则系统的开环脉冲传递函数为 相应的闭环脉冲传递函数 代入 ，得系统输出Z变换,六、离散系统的动态性能分析,共276页第212页,六、离散系统的动态性能分析,求得输出序列 为,根据上述各值，可以绘出离散系统的单位阶跃响应，如下张图曲线2所示。,共276页第213页,在例732中，既有采样器又有零阶保持器的单位阶跃响应曲线，见曲线3。,六、离散系统的动态性能分析,共276页第214页,根据上张图，可以求得各类系统的性能指标如下表所示。,六、离散系统的动态性能分析,共276页第215页,采样器和保持器对离散系统的动态性

53、能有如下影响： 1）采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但使 超调量增大，故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程 度。然而，在某些情况下，例如在具有大延迟的系统中，误 差采样反而会提高系统的稳定程度。 2）零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长，超调 量和振荡次数也增加。这是因为除了采样造成的不稳定因素 外，零阶保持器的相角滞后降低了系统的稳定程度。,六、离散系统的动态性能分析,共276页第216页,复习25,1.朱利稳定判据 2.单位阶跃输入时的稳态误差 3.单位斜坡输入时的稳态误差 4.单位加速度输入时的稳态误差,共276页第217页,例 若系统结构如图所示，试求其单位阶跃响应

54、的离散值，并分析系统的动态性能。采样周期T=0.2秒。,图 系统结构图,六、离散系统的动态性能分析,共276页第218页,解：系统的闭环脉冲传递函数为,当输入量r(t)=1(t)时，R(z)=z/(z1)，输出量的z变换为：,六、离散系统的动态性能分析,共276页第219页,利用长除法得,基于z变换定义，由上式求得系统在单位阶跃外作用下的输出序列C(kT)为,六、离散系统的动态性能分析,共276页第220页,根据上面各离散点数据绘出系统单位阶跃响应曲线如图示。 由图求得给定离散系统的近似性能指标为：,六、离散系统的动态性能分析,共276页第221页,图 单位阶跃响应曲线,1.48,六、离散系统

55、的动态性能分析,共276页第222页,在线性连续系统中，闭环传递函数零、极点在S平面的分布对系统的暂态响应有非常大的影响。与此类似，采样系统的暂态响应与闭环脉冲传递函数零、极点在z平面的分布也有密切的关系。,零、极点分布的关系,3、闭环极点与动态响应的关系,六、离散系统的动态性能分析,共276页第223页,设闭环系统的脉冲传递函数为,式中mn。为分析简便设其无重极点（分别为p1 、 p2 、 pn ）。,六、离散系统的动态性能分析,共276页第224页,采样系统的单位阶跃响应,（Ci为留数）,通过Z反变换导出输出信号的脉冲序列C*(t)并无技术上的困难。,上式中第一项为系统输出的稳态分量，第二

56、项为输出的暂态分量。显然，随着极点在z平面位置的变化，它所对应的暂态分量也就不同。,六、离散系统的动态性能分析,共276页第225页,1）实轴上的闭环单极点时,设pk为正实数。 pk对应的暂态项为,六、离散系统的动态性能分析,共276页第226页,六、离散系统的动态性能分析,共276页第227页,2） 闭环共轭复数极点时,设pk 、 为一对共轭复数极点，pk 、pk+1对应的暂态项为,其中,六、离散系统的动态性能分析,共276页第228页,若| pk |1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆外，动态响应为振荡脉冲序列；,六、离散系统的动态性能分析,若| pk |1，闭环复数极点位于z平面上的单位

57、圆内，动态响应为振荡收敛脉冲序列,且| pk |越小,即复极点越靠近原点,振荡收敛越快；,若| pk |=1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆上，动态响应为等幅振荡脉冲序列；,共276页第229页,Z平面上的闭环共轭复数极点,六、离散系统的动态性能分析,共276页第230页,本节主要内容： 1、数字控制器的脉冲传递函数 2、最少拍系统设计 3、无波纹最少拍系统设计,七、离散系统的数字校正,共276页第231页,1、数字控制器的脉冲传递函数 设离散系统如下图所示。设 ，由图可以求出系统的闭环脉冲传递函数以及误差脉冲传递函数,七、离散系统的数字校正,共276页第232页,则可以分别求出数字控制器的

58、脉冲传递函数为,七、离散系统的数字校正,或,显然,共276页第233页,2、最少拍系统设计,七、离散系统的数字校正,在采样过程中，通常称一个采样周期为一拍。所谓最少拍系统，是指在典型输入作用下，能以有限拍结束响应过程，且在采样时刻上无稳态误差的离散系统。 最少拍系统的设计，是针对典型输入作用进行的。常见的典型输入，有单位阶跃函数、单位速度函数和单位加速函数。,共276页第234页,设典型输入信号分别为单位阶跃信号、单位速度信号和单位加速度信号时，其 z 变换分别为：,典型输入可表示为如下一般形式：,七、离散系统的数字校正,共276页第235页,最少拍系统的设计原则：,七、离散系统的数字校正,共276页第236页,误差信号的Z变换为,七、离散系统的数字校正,使上式为零的条件是 中包含有 的因子，即,共276页第237页,式中F(z)为不包含(1 z1)的z1的多项式,可见，当 F(z)=1时， 中包含的z1的项数最少。采样系统的暂态响应过