【高中数学】第二章《从力做的功到向量的数量积》教案北师大版必修4

1、2.5从力做的功到向量的数量积（2课时） 一、教学目标：1.知识与技能（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系. （3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧

2、密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点 重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点: 运算律的理解三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法： (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想 【探究新知】（学生阅读教材P107108，师生共同讨论）qsF思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对一般的向量a和b，如何定义这种运算？1.力做的功：W = |F|s|cosq q是F与s的

3、夹角2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab = |a|b|cosq，q = 0q = 180qqqqOOOOOOAAAAAABBBBBBC 并规定0与任何向量的数量积为0。3.向量夹角的概念：范围0q180C展示投影由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题： 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定。 两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。 在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0.这就得性质

4、2.OaAcbab 已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是ab = bc a = c 如右图：ab = |a|b|cosb = |b|OA| bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab=bc 但a c 在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.展示投影思考与交流：思考与交流1.射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的射影。 注

5、意：射影也是一个数量，不是向量。 当q为锐角时射影为正值； 当q为钝角时射影为负值； 当q为直角时射影为0； 当q = 0时射影为 |b|； 当q = 180时射影为 -|b|.思考与交流2.如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质（学生讨论完成，教师作必要的补充）. 几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 ea = ae =|a|cosq ab ab = 0 当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|b|。 特别的aa = |a|

6、2或 cosq =（|a|b|0） |ab|a|b|【巩固深化，发展思维】判断下列各题正确与否： 若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0. ( ) 若a 0，则对任一非零向量b，有ab 0. ( ) 若a 0，ab = 0，则b = 0. ( ) 若ab = 0，则a 、b至少有一个为零. ( ) 若a 0，ab = ac，则b = c. ( ) 若ab = ac，则b = c当且仅当a 0时成立. ( ) 对任意向量a、b、c，有(ab) c a (bc). ( ) 对任意向量a，有a2 = |a|2. ( )展示投影思考与交流：思考：根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义，你能否验

7、证下列向量的数量积是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）1.交换律：ab = ba证：设a，b夹角为q，则ab = |a|b|cosq，ba = |b|a|cosq ab = ba2.数乘结合律：(a) b =(ab) = a (b)证：若= 0， 此式显然成立.若 0， (a) b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq， a (b) =|a|b|cosq，所以(a) b =(ab) = a (b).若 0， (a) b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq， a (b) =|

8、a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq。所以(a) b =(ab) = a (b).综上可知(a) b =(ab) = a (b)成立.qq1q2abABOA1B1Cc3.分配律：(a + b) c = ac + bc 证：在平面内取一点O，作= a, = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影 等于a、b在c方向上的投影和， 即：|a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2c (a + b) = ca + cb 即：

9、(a + b) c = ac + bc展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.已知：解：（1）（2）例2.已知都是非零向量，且垂直，垂直，求的夹角。解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 两式相减：2ab = b2 代入或得：a2 = b2设a、b的夹角为q，CABDab则cosq = q = 60例3.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。 证：设= a , = b ABCD为菱形 |a| = |b| = (b + a)(b - a) = b2 - a2 = |b|2 - |a|2 = 0 即菱形对角线互相垂直。【巩固深化，发展思维】1.教材P109练习1、2题2. 教材P111练习1、2、3、4、5题学习小结 （学生总结，其它学生补充）有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积.向量数量积的几何意义和物理意义.向量数量积的五条性质.向量数量积的运算律.五、评价设计1作业：习题2.5 A组第3、4、5、6、7题 2（备选题