线性代数 2_5线性方程组解的一般理论.ppt

1、1,2.5 线性方程组解的一般理论,一、线性方程组有解的判定定理 二、齐次线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构,2,则线性方程组的向量表达式为,(1),(2),3,系数矩阵与增广矩阵,则线性方程组的矩阵表达式为,非齐次 齐次,4,（1）当m=n时，克莱姆法则,，无解,【问】r 刻画了矩阵什么属性？,r =r (A),5,【逆否命题】线性方程组(1)无解的充要条件是,1、判定定理,推论1 线性方程组(1)有唯一解的充要条件是,推论2 线性方程组(1)有无穷解的充要条件是,推论3 线性方程组(2)仅有零解的充要条件是,推论4 线性方程组(2)有非零解的充要条件是,(2.2 补充定理),

2、需证,需证,6,2、上述判定方法与以前判定方法的比较, 对齐次线性方程组(2),若mn，则存在非零解。, 推论1 保证了克莱姆法则的正确性:,【说明】当mn时,一定有 ,则齐次线性方程组一定有非零解.,n个未知量，n个方程的线性方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式 D0.,【说明】 D0,一定有 =r() ,则线性方程组有唯一解.,7,8,1、 齐次线性方程组解的性质,n个未知量的线性方程组，每个解是一个n维向量，,性质 若1与2是齐次线性方程组(2)的解，则 c1与 1 +2都是方程组(2)的解, c为任意常数.,称为解向量，记做 ，代表,9,2、 齐次线性方程组解的结构,定义基础解系

3、：齐次线性方程组(2)的解 向量组的一个极大无关组，称为齐次线性方程组(2)的一个基础解系。(只有齐次线性方程组才有基础解系) 【注】基础解系中的向量应满足三点： 是齐次线性方程组(2)的解； 线性无关； 可线性表示齐次线性方程组(2)的任一解。,推广 若1,2, ,t是齐次线性方程组(2)的解，则 c11 + c22+ +ctt 是方程组(2)的解， ci为任意常数。,10,【注】基础解系不唯一，若r(A)=r ,则任意n-r个线性无关的解向量都是一个基础解系， n-r即自由未知量的个数； 若 1,2, n-r是齐次线性方程组(2)的一个基础解系，则称 c11 + c22+ +cn-rn-r

4、 (其中c1 ,c2, cn-r为任意常数)是方程组(2)的一般解或全部解，。,定理 2：若齐次线性方程组(2)系数矩阵A的秩r(A)=rn, 则该方程组有基础解系，并且基础解系中解向量的个数是n-r。,11,例2 求齐次线性方程组的一般解,12,13,1、 非齐次线性方程组解的性质,(1)定义导出组 ：非齐次线性方程组(1)中的常数项全换为0，得到齐次线性方程组(2)， (2) 称为(1)的导出组。,(2)性质1 若 是(1)的解，是其导出组 (2)的解，则 + 是方程组(1)的解。,性质2 若1与 2是方程组(1)的解，则 1 2 是其导出组 (2)的解。,14,方程组(1)的一个特解,定

5、理3 若0是方程组(1)的一个解，是其导出组(2)的全部解，即 c11 + c22+ +cn-rn-r 其中 1,2, n-r是齐次线性方程组(2)的一个基础解系，则方程组(1)的全部解或一般解为 0+ 0+ c11 + c22+ +cn-rn-r ， 其中 ci为任意常数，i=1,2,n-r ，0称为方程组(1)的一个特解。,2、 非齐次线性方程组解的结构,15,16,例3 求解线性方程组，若是无穷解，求其全部解。,解,17,18,19,【注】求方程组(1)的解的基本步骤 对(1)的增广矩阵化阶梯形，判断解的状况； 若r(A) r()， 则(1)无解， 若r(A) r( )n(未知量个数)，

6、则 (1) 有唯一解， 若r(A) r( )=rn，则(1)有无穷解， 此时求全部解，先求出(1)的一个特解0， 再求导出组的一个基础解系 1,2, n-r， 则(1)的全部解为 0+ 0+ c11 + c22+ +cn-rn-r 其中 ci，i=1,2, n-r 为任意常数.,20,例4 线性方程组 (重要题型),【注】矩阵方法适用于任何线性方程组的讨论； 当方程个数=未知量个数时，如果增广矩阵不容易化阶梯形，可以先用行列式进行讨论。,21,例5 设方程组,22,23,24,【注】由于例4、5恰好方程的个数和未知量的个数相同, 则也可利用cramer法则:系数行列式不为零等价于有唯一解，即先求出取何值时有唯一解.然后再用增广矩阵讨论无解和无穷多解的情况. (该方法只适用于方程个数=未知量个数的线性方程组,过程略),25,