3 4 线性方程组的解ppt课件

1、第四节 线性方程组的解,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组, 小结 思考题 作业, 线性方程组的解的判定条件, 矩阵方程 AmnXns=Bms,目录,上页,下页, 线性方程组的解的判定条件,上页,下页,目录,【非齐次线性方程组 Amn x=b 】,用初等行变换，将 Amn x=b 的增广矩阵 (A, b) 化为行阶梯形 (C, d)，即,于是，R(A)= C 的非零行行数, R(A, b)= (C, d) 的非零行行数；,并且，Ax=b 和 Cx=d 是同解方程组.,设行阶梯形 (C, d) 中的 C 有 r 个非零行，如下图所示,上页,下页,目录,第 r+1 行,r 个非零行,上页,下页,目

2、录,dr+1 = 0, 且 r=n,Ax=b 有唯一解,上页,下页,目录,dr+1 = 0, 且 rn,Ax=b 有无穷多解,上页,下页,目录,定理 1 对于 非齐次线性方程组 Amnx = b，, 有解的充分必要条件：, 有无穷多解的充分必要条件：, 有唯一解的充分必要条件：,综合上述，有如下定理：,(等价命题)无解的充分必要条件：,注 n 是系数矩阵 A 的列数 (即未知量的个数).,上页,下页,目录,例 1 对于非齐次线性方程组,解,问 取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有无穷多解时，求其通解.,上页,下页,目录,上页,下页,目录, 当 时，,方程组有唯一解.,方程组无解.,上

3、页,下页,目录, 当 时，,方程组有无穷多解.,与原方程组同解的方程组为,取 x2 = k1, x3 = k2 ，得,上页,下页,目录,(k1, k2 为任意常数),错误：对增广矩阵(或系数矩阵)一般不能用初等列变换（初等列变换虽然不会改变矩阵的秩，但可能会改变方程组的解.）,上页,下页,目录,(2) 本例中系数矩阵 A 是方阵，故也可用克拉默法则，,当 或 时，将增广矩阵化为行阶梯形，并讨论方程组的解.,即，,上页,下页,目录,【齐次线性方程组 Amnx=O 】,因为 R(A) R(A, 0)，根据定理 1， Ax=0 总是有解.,齐次线性方程组 Ax=0 的常数项全为零., Ax=0 有唯

4、一解(即零解), Ax=0 有无穷多解(有非零解),(至少有一个零解),上页,下页,目录,定理 2 对于齐次线性方程组 Amnx = 0，, 只有零解的充分必要条件：, 有非零解的充分必要条件：,于是，有如下定理,讨论 如果 A 是 n 阶方阵，那么，定理 2 中的充要条件还可如何表述？,上页,下页,目录,例 2 对于齐次线性方程组,解,问 取何值时，方程组有非零解，并求出通解.,上页,下页,目录,上页,下页,目录, 当 时，,方程组只有零解.,方程组有非零解.,上页,下页,目录,与原方程组同解的方程组为,取 x3 = k ，得,(k 为任意常数),上页,下页,目录, 当 时，,方程组有无穷多

5、解.,与原方程组同解的方程组为,取 x2 = k1, x3 = k2 ，得,(k1, k2 为任意常数),上页,下页, 矩阵方程 AmnXns=Bms,目录,上页,下页,目录,即，矩阵方程 AX=B 可拆分为若干线性方程组.,【 矩阵方程 AmnXns=Bms 的求解步骤 】,上页,下页,目录,将 化为行阶梯形，,于是，Axi=bi 和 Cxi=di 是同解方程组.,从而， .,这些方程组 Axi=bi 的求解可同时进行：,讨论 已知 AB=O，根据上述讨论，可得出什么结论？,答：B 的每一列都是齐次线性方程组 Ax=0 的解; AT 的每一列都是齐次线性方程组 BTx=0 的解.,上页,下页

6、,目录,例 3 解矩阵方程 AX=B，其中,解,将( A, b1 , b2) 化为行最简形：,由题意可知，X是 32 矩阵，设,上页,下页,目录,令x32=q，得,令 x31=p， 得,上页,下页,目录,于是，矩阵方程的解为,(其中 p, q 是任意实数),上页,下页,目录,【 矩阵方程 AmnXns=Bms 的解的判定 】,上页,下页,目录,同理可证，,上页,下页,目录,由定理 3 应用于矩阵方程 AX=O，有,定理 4 对于矩阵方程 AmnXns=Oms ，, 有非零解(XO)的充分必要条件：, 只有零解(X=O)的充分必要条件：,上页,下页,目录, 小结 思考题 作业,上页,下页,目录,

7、小结,1. 线性方程组的解的判定条件：,上页,下页,目录,3. 矩阵方程的解的判定条件：,2. 矩阵方程的一般解法：拆分为若干个线性方程组.,上页,下页,目录,作业,1. 设非齐次线性方程组,(1) 当 取何值时，有唯一解？无解？有无穷多解？,(2) 有无穷多解时，求出通解.,上页,下页,目录,2. 设齐次线性方程组,(II),(I),问：(I)和(II)是否有非零公共解，若有，求出公共解.,提示：将(I)(II)合并成一个线性方程组(III)，则,(III) 有非零解 (I)和(II)有非零公共解,上页,下页,目录,3. 设 A 是 n 阶方阵， 是 n1 的列矩阵，k 是数，,且 ，证明：Ax= 有解.,提示：需证明 R(A)=R(A,)，先证“”，再证“”,4. 解矩阵方程 AX=B，其中,提示：将 AX=B 分解为两个非齐次线性方程组,上页,下页,目录,思考题,设 A 是列满秩矩阵，AB=C，证明：齐次线性方程组Bx=0 和 Cx=0 同解.,(课本 p.80 第 20 题),提示：需证明 “Bx=0 Cx=0”,上页,下页,目录,思考题解答,两端同左乘 A,ABx=0,Cx=0,AB=C,Bx=0,A(Bx)=0,AB=C,Cx=0,又因为 A 是列满秩矩阵即 R(A) = A的列数，Ay=0 只有零解，,设 B