2019版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第13讲 变化率与导数、导数的计算精选教案 理

1、第13讲变化率与导数、导数的计算考纲要求考情分析命题趋势1了解导数概念的实际背景2通过函数图象直观理解导数的几何意义3能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数的导数2017全国卷，162017全国卷，112016全国卷，152016北京卷，18(1)2016山东卷，101导数的概念及几何意义是命题热点，难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质2导数几何意义的应用也是命题热点，难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围，以及与切线有关的计算、证明问题分值：57分1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数y

2、f(x)从x1到x2的平均变化率为！#，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为.2函数yf(x)在xx0处的导数及几何意义(1)定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率li ！ #为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或yxx0，即f(x0) li .(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点_(x0，f(x0)_处的_切线的斜率_.相应地，切线方程为_yf(x0)f(x0)(xx0)_.3函数f(x)的导函数称函数f(x)！ #为f(x)的导函数，导函数也记作y.4基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)cf(x

3、)_0_f(x)xn(nQ)f(x)_nxn1_f(x)sin xf(x)_cos_x_f(x)cos xf(x)_sin_x_f(x)ax(a0，且a1)f(x)_axln_a(a0且a1)_f(x)exf(x)_ex_f(x)logax(a0，且a1)f(x)！(a0，且a1)#f(x)ln xf(x)！#5导数的四则运算法则(1)(f(x)g(x)_f(x)g(x)_；(2)(f(x)g(x)_f(x)g(x)f(x)g(x)_；(3)！#(g(x)0)；(4)yf(g(x)是由yf()，g(x)复合而成，则yxyx.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)求f(x0)时，可先求f(x0

4、)，再求f(x0)()(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(4)若f(x)f(a)x2ln x(a0)，则f(x)2xf(a).()解析(1)错误应先求f(x)，再求f(x0)(2)正确如y1是曲线ycos x的切线，但其交点个数有无数个(3)错误如y0与抛物线y2x只有一个公共点，但是y0不是抛物线y2x的切线(4)正确f(x)(f(a)x2ln x)(f(a)x2)(ln x)2xf(a).2曲线yxln x在点(e，e)处的切线与直线xay1垂直，则实数a的值为(A)A2B2CD解析依题意得y1ln x，y|xe1ln e2，

5、所以21，a2.3某质点的位移函数是s(t)2t3gt2(g10 m/s2)，则当t2 s时，它的加速度是(A)A14 m/s2B4 m/s2C10 m/s2D4 m/s2解析由v(t)s(t)6t2gt，a(t)v(t)12tg，得t2时，a(2)v(2)1221014(m/s2)4曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_2xy10_.解析y3x21，y|x131212.该切线方程为y32(x1)，即2xy10.5函数yxcos xsin x的导数为_yxsin_x_.解析y(xcos x)(sin x)xcos xx(cos x)cos xcos xxsin xcos xxsin x.

6、一导数的运算导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开，化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导【例1】 求下列函数的导数(1)y(1)；(2)y；(3)ytan x；(4)y3xex2xe.解析(1)y(1)xx，y(x)(x)xx.(2)y.(3)y.(4)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xln 3ex3xex2xl

7、n 2(ln 31)(3e)x2xln 2.【例2】 (1)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(2)！#.(2)已知函数f(x)fsin xcos x，则f_1_.解析(1)f(x)x23xf(2)ln x，f(x)2x3f(2)，f(2)43f(2)3f(2)，f(2).(2)f(x)fsin xcos x，f(x)fcos xsin x，ff，f(2)，f(x)(2)sin xcos x，f(2)1二导数的几何意义和切线方程若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P(x0，y0)的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求

8、解(1)当点P(x0，y0)是切点时，则切线方程为yy0f(x0)(xx0)(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分为以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f(x1)；第二步：写出过点P(x1，f(x1)的切线方程为yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)，由此即可得过点P(x0，y0)的切线方程【例3】 (1)若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab(C)A1B0C1D2(2)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切

9、线过点(2,7)，则a_1_.解析(1)两曲线的交点为(0，m)，即a1，f(x)cos x，f(x)sin x，则f(0)0，f(0)1又g(x)2xb，g(0)b，b0，ab1(2)f(x)3ax21，f(1)3a1又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1【例4】 已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解析(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(2)x2，即xy40.(2)

10、设切点坐标为(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01，经过A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.1(2018河南郑州质检)已知yf(x)是可导函数如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)(B)A1B0C2D4解析yf(x)在x3处的切线的斜率为，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)

11、，由题图知f(3)1，g(3)130.2(2016全国卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_1ln_2_.解析直线ykxb与曲线yln x2，yln (x1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yln x2得y，由yln (x1)得y，k，x1，x21，y1ln k2，y2ln k，即A，B，A，B在直线ykxb上，3(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0，则x0)，则f(x)3(x0)，f(1)2，在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x14求下列函数的导数(1)yx43x25x6；(2)yxtan x；(3

12、)y(x1)(x2)(x3)；(4)y.解析(1)y(x43x25x6)(x4)(3x2)(5x)64x36x5.(2)y(xtan x).(3)(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6，y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11(4)y.易错点审题不认真致误错因分析：不能正确理解曲线“在点P处的切线”与曲线“过点P的切线”的不同【例1】 求曲线S：yf(x)2xx3过点A(1,1)的切线方程解析设切点为(x0，f(x0)f(x)23x2，切线方程为yf(x0)(xx0)f(x0)，即y(23x)(xx0)2x0x，将点A(1,1)代入得1(23x

13、)(1x0)2x0x，整理得2x3x10，即2x2xx10，(x01)2(2x01)0，解得x01或，A不一定为切点，y01，f(x0)1或y0，f(x0).切线方程为yx2或yx.【跟踪训练1】 求经过曲线yx3x2上一点(1，2)的切线方程解析设切点坐标为(x0，y0)，y3x22x，y|xx03x2x0.其切线方程为y(xx)(3x2x0)(xx0)，即y(3x2x0)x2xx.又其切线过点(1，2)，23x2x02xx，即xxx010，解得x01或x01故所求的切线方程为5xy30或xy10.课时达标第13讲解密考纲本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的

14、计算；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问一、选择题1已知函数f(x)logax(a0且a1)，若f(1)1，则a(B)AeBCD解析因为f(x)，所以f(1)1，得ln a1，所以a.2若f(x)2xf(1)x2，则f(0)(D)A2B0C2D4解析f(x)2f(1)2x，令x1，则f(1)2f(1)2，得f(1)2，所以f(0)2f(1)04.3(2018河南八市质检)已知函数f(x)sin xcos x，且f(x)f(x)，则tan 2x的值是(D)ABCD解析因为f(x)cos xsin xsin xcos x，所以tan x3，所以tan 2x

15、，故选D4已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是(B)ABCD解析y，y1，当且仅当ex，即x0时取等号，1tan 0.又0，0，a1，f(1).二、填空题7已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是yx3，则f(1)f(1)_4_.解析由题意知f(1)，f(1)13，f(1)f(1)4.8(2018广东惠州模拟)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_5xy20_.解析由y5ex3得，y5ex，所以切线的斜率ky|x05，所以切线方程为y25(x0)，即5xy20.9已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点坐标为！#.解析 y，解得x3.故切

16、点坐标为.三、解答题10(1)已知f(x)exsin x，求f(x)及f；(2)已知f(x)(x)10，求.解析(1)f(x)exsin xexcos x，fee.(2)f(x)10(x)9，f(1)10(1)9(1)105(1)10.又f(1)(1)10，5.11已知曲线C：yx36x2x6.(1)求C上斜率最小的切线方程；(2)证明：C关于斜率最小时切线的切点对称解析(1)y3x212x13(x2)213.当x2时，y最小，即切线斜率的最小值为13，切点为(2，12)，切线方程为y1213(x2)，即13xy140.(2)证明：设点(x0，y0)C，点(x，y)是点(x0，y0)关于切点(2，12)对称的点，则点(x0，y0)C，24y(4x)36(4x)2(4x)6，整理得yx36x2x6.点(x，y)C，于是曲线C关于切点(2，12)对称12设函数f(x)ax(a，bZ)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.(1)求