2019版高考数学大一轮复习 第五章 数列 第29讲 等比数列及其前n项和优选学案

1、第29讲几何级数和他的前N项考试要求考试分析命题趋势1.理解几何级数的概念。2.掌握几何级数的通式和前N项及公式。3.它能识别出具体问题情境中级数的等比关系，并能利用几何级数的相关知识解决相应的问题。4.理解几何级数和指数函数之间的关系。江苏卷2017，9北京卷2017，152016年国家卷三，17湖南卷2016，141.用公式找出指定项、前n项和几何级数之和；通过定义和通式证明了级数是几何级数。2.利用几何级数的性质找出指定项、公比、前N项和几何级数的和。分数：5到7分1.几何级数的相关概念(1)几何级数的定义一般来说，如果一个数列从第二项开始，并且每一项与其前一项的比值等于同一个常数，那么

2、这个数列叫做几何级数。这个常数叫做几何级数的公比，通常用字母q来表示.(2)等比中期如果这三个数字是几何级数，那么G被称为A和B的等比例项，那么_ _=_ _，也就是说，_ G2=AB _ _。2.几何级数的相关公式(1)几何级数的通式设几何级数an的第一项为a1，公比为q，q0，则它的通项公式为a=_ _ a1qn-1 _ _。(2)几何级数的前N项和公式几何级数an的公比是q(q0)，前n项之和是Sn。当q=1时，sn=_ _ na1 _ _当q1时，sn=_ _ _ _ _ _ _=_ _ _ _ _ _ _。3.几何级数的性质(1)通项公式的推广：an=am _ _ qn-m _ (n

3、，m n *)。(2)如果an是几何级数并且k l=m n (k，l，m，nN*)，则akal=aman。(3)如果an和bn(相同的项数)是几何级数，那么(8800; 0)，a和anbn仍然是几何级数。(4)如果公比不为-1的几何级数an的前n项之和为Sn，则Sn、S2N-Sn、S3n-S2n仍为几何级数，它们的公比为_qn_。1.思维辨别(在括号中打“”或“)。(1)常数序列必须是几何级数。()(2)几何级数中没有值为0的项目。()(3)满足1=qan (n n *，q是常数)的序列an是几何级数。()(4)G是，G2=。()(5)如果几何级数an的第一项是a1，公比是Q，则它的通项公式是

4、An=A1qn。()(6)如果数列an的通项公式为an=an，则前n项之和为sn=1。()(7)当q 1时，几何级数an是一个递增序列。()(8)在几何级数an中，如果aman=apaq，则m n=p q()解析(1)时出错。常数系列0，0，0，不是几何级数。(2)正确。根据几何级数的定义，几何级数中不能有值为0的项。(3)错误。当q=0时，an不是几何级数。(4)错误。当G2=AB=0时，G不是A和b的相等项.(5)错误。几何级数的通式是an=a1qn-1。错误。当a=1时，sn=n .(7)错误。当q1和a10时，几何级数减小。(8)错误。如果an=1，a1a3=a4a5=1，但1 3 4

5、 5。2.已知序列a(1-a (1-A)，A (1-A) 2，是几何级数，那么实数A满足(D)的条件A.a | a1 B. a | a 0或a1C.a | a 0 D. a | a 0和a1根据几何级数的定义，a0和1-a0，即a0和a1。3.如果S6: S3=1: 2，那么S9: S3=(c)A.12 B.23C.34D.13分析表明，根据几何级数的性质，S3、S6-S3和S9-S6仍然是几何级数，所以(S6-S3) 2=S3 (S9-S6)，S6=S3被替换为=0。4.在几何级数an中，如果a7a12=5，则a8a 9 a11a 11=25 _ _。根据几何级数的性质，a8a11=a9a1

6、0=a7a12=5，a8a9a10a11=25.5.在几何级数an中，如果a1=-1和a4=64是已知的，那么q=-4，S4=-51。a4=a1q3， Q3=-64，q=-4，S4=51。一个几何级数基本量的解解决几何级数相关问题的常用思维方法(1)方程的思想：在几何级数中有五个量a1，n，q，an和Sn示例1(国家卷ii，2017)众所周知，算术级数an的前n项之和为Sn，几何级数bn的前n项之和为t n，a1=-1，B1=1，a2 B2=2。(1)如果a3 B3=5，求bn的通式；(2)如果T3=21，找到S3。让an的公差为d，bn的公比为q，那么an=-1 (n-1) d，bn=qn-

7、1。a2 B2=2，d q=3。(1)从a3 B3=5，2d Q2=6。结合和得到(放弃)，因此，通式bn为bn=2n-1。(2)从B1=1和T3=21，Q2 q-20=0，解决方案是q=-5或q=4。当q=-5时，如果d=8，S3=21。当q=4时，d=-1从开始，然后S3=-6。几何级数的性质和应用(1)在解决与几何级数相关的问题时，应注意挖掘隐含条件和利用性质，特别是“如果m n=p q，那么aman=apaq”的性质，这样可以减少计算量，提高求解速度。(2)在应用相应的性质解决问题时，应注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当的变形。此外，我们应该注意设计，而不是在解决问题时寻求思想的

8、应用。实施例2 (1)已知几何级数an满足a1=，a3a5=4 (a4-1)，然后a2=(c)A.2B.1华盛顿特区(2)让几何级数an中前n项的和为Sn，已知S3=8，S6=7，然后a7 A8 a9=(a)A.B.-华盛顿特区(3)假设在几何级数an中A4 A8=-2，A6 (A2 2A6 A10)的值为(A)A.4B.6C.8D(1)a3 a5=a，a3a5=4 (a4-1)，a=4(a4-1),a-4a4+4=0,a4=2.此外，Q3=8， Q=2，q=2=A1Q=2。因此，c .(2)因为a7 A8 a9=S9-S6，S3，S6-S3，S9-S6成为几何级数中的几何级数，即8，-1，并

9、且S9-S6成为几何级数，所以8 (S9-S6)=1，即S9-S6=。因此，选择一个.(3)a6(a2+2 a6+a10)=a6 a2+2a+a6 a10=a+2 a4 A8+a=(a4+A8)2，* a4 A8=-2，a6(a2 a2 a6 a10)=4。因此，a .几何级数的判定和证明(1)证明数列是几何级数中常用的定义方法和等比中值方法，其他方法仅用于判断选择题和填空题；如果证明一个序列不是几何级数，只需证明有三个连续项不是几何级数。(2)在使用递归关系时，应注意验证n=1时的情况。例3级数an的前n项之和为Sn，Sn=N2-n1(nn *)。(1)设bn=an，证明序列bn是几何级数；

10、(2)找出级数的前N项和t N。分析(1)证明，因为sn=-N2-n 1，所以当n=1，2a1=-1，那么a1=-；当n2时，an-1 sn-1=-(n-1) 2-(n-1) 1，因此，2an-an-1=-n-1，即2 (an n)=an-1 n-1。因此，bn=bn-1 (n 2)。因为B1=a1=1，因此，级数bn是几何级数，第一项为，公比为。所以bn=n。(2) nbn=从(1)获得，所以总氮=.2Tn=1+，-，总氮=1.-，也就是说，总氮=-=2-。1.序列an满足1= an-1 (n n *，R和0)。如果序列an-1是几何级数，那么=(d)A.1BC.D.2通过分析1= an-1

11、，我们得到1-1= an-2=。因为序列an-1是几何级数，所以=1，我们得到=2。2.让序列an的前n项和Sn(n=1，2，3，)满足sn a1=2an，且a1、a2 1和a3是算术级数，则a1 a5=_ _ 34 _ _。从sn a1=2an分析，我们可以得到an=sn-sn-1=2an-2an-1 (n 2)，即an=2an-1 (n 2)，这样a2=2a1，a3=2a2=4a1。因为a1，a2 1和a3是算术级数，a13.众所周知，正项an的序列是第一项为2的几何级数，A2 A3=24。(1)找到序列an的通项公式；(2)让bn=，找到序列bn的前n项和t n。分析(1)假设正项序列a

12、n的公比是q，那么2q 2q+2q2=24， q=3 (q=-4被丢弃)， an=23n-1。(2)bn=，Tn=+,Tn=+,获取总氮=.-从-。Tn=.4.已知序列an的第一项是a1=1和an=1(nn *)。(1)证明序列是几何级数；(2)让bn=，找到序列bn的前n项和Sn。分析(1)证明：* an 1=，=。-=.a1=1，-=，级数是一个几何级数，第一项是公比。(2)从(1)可知-=n-1=，那就是=,。让总氮=.那么总氮=.-，总氮=.-=1， TN=2-。和(1 2 3.n)=，序列的前n项bn和sn=2-。容易出错的地方我不知道奇数项和偶数项在几何级数中有相同的数字误差分析：

13、几何级数中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号相同。只有两个符号相同的数字有相等的比率项，而且有两个是相反的。示例1在几何级数an中，a5和a9是等式7x2 18x 7=0的两个根。尝试找到a7。根据vieta定理，a5 a9=-，a5a9=1， a5 0，a9 0。* a=a5 a9=1，A7=A5Q2 0， A7=-1。跟踪训练1如果在1和4之间插入三个数字，使这五个数字成为几何级数，这三个数字是_ _，2，2或-，2，-2 _ _。分析上假设这五个数字依次是a1、a2、a3、a4和a5。* a=a1 a5=4，A3 0， A3=2。A=A1A3=2。 A2=，当A2=，a4=2；当A2

14、=-，A4=-2。所以插入的三个数字是，2，2或，-2，-2。第29课会议课时【解密大纲】主要考察几何级数的通项公式、等比项及其性质，以及前N项和公式的应用，所有这些都涉及到。首先，选择题1.几何级数x，3x 3，6x 6的第四项，等于(a)A.-24B.0C.12D.24分析表明(3x 3) 2=x (6x 6)，即x2 4x 3=0，解是x=-3或x=-1(省略)，所以几何级数的前三项是-3，-6，-12，第四项是-24。2.如果几何级数an的前n项之和为sn=x3n-1-，则x的值为(c)A.B.-华盛顿分析上，当n=1，a1=S1=x-，当n2时，an=sn-sn-1=-=x(3n-1

15、-3n-2)=2x3n-2，因为an是几何级数，所以a1=，X-=由 得到，x=求解。3.在几何级数an中，如果a3和a7是x2 4x 2=0的两个等式，那么a5的值是(b)A.-2B。-华盛顿特区根据根和系数的关系，a3 a7=-4，a3a7=2，因为a3 a7=-40，a3+a7=-40，a30，a70，即a50。a3a7=a，所以a5=-=-。4.已知几何级数an的前n项之和是Sn，a1 a3=，a2 a4=，然后=(D)A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1用除以得到=2，求解q=，代入得到a1=2。an=2n-1=，Sn=4，=2n-1。所以选择d .5.几何级数an的所有

16、项都是正数，A5A6 A4A7=18，然后是log3a1 log3a2 log3a10=(b)A.12B.10C.8D.2+log35根据问题的含义，我们可以看到a5a6=a4a7，a5 a6=a4a 7=18，a5a6=a4a7=9，log3 a1=log3 a2log3 a10=log3(a1 a2a10)=log3(a5 a6)5=log395=log3310=10。6.在所有项目都已知为正数的几何级数an中，如果a4和a14的等比例为2，则2a7+a11的最小值为(b)A.16B.8C.2D.4分析表明a40，a140，a4a14=8，a70，a110，那么2a7 a11 2=2=2=8。如果且仅当a7=2，a11=4，则取等号，因此2a7 a11的最小值为8。因此，乙.第二，填空7.如果A2=1，A8=a6 2A4，那么a6的值是几何级数an中的_4_，其中所有项都是正的。从分析上讲，如果公比是Q，那么A8=A6 2A4，得到