2019届高考数学大一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.1 坐标系与参数方程 第1课时 坐标系学案

1、14.1坐标系与参数方程第1课时坐标系最新考纲考情考向分析1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.1平面直角坐标系设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内

2、取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系点O称为极点，射线Ox称为极轴平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从射线Ox到射线OM的角度来刻画(如图所示)这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标称为点M的极径，称为点M的极角一般认为0.当极角的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)(0)建立一一对应的关系我们设定，极点的极坐标中，极径0，极角可取任意角(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由图可知下面关系式成立：或，这就是极坐标与直角坐标

3、的互化公式3常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos_圆心为，半径为r的圆2rsin_(0)过极点，倾斜角为的直线(R) 或(R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos a过点，与极轴平行的直线sin_a(0)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系()(2)若点P的直角坐标为(1，)，则点P的一个极坐标是.()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的()(4)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线()题组二教

4、材改编2P15T3若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A，0B，0Ccos sin ，0Dcos sin ，0答案A解析y1x(0x1)，sin 1cos (0cos 1)；.3P15T4在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是()A. B.C(1,0) D(1，)答案B解析方法一由2sin ，得22sin ，化成直角坐标方程为x2y22y，化成标准方程为x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为.方法二由2sin 2cos，知圆心的极坐标为，故选B.题组三易错自纠4在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直

5、线方程是()Asin 1 Bsin Ccos 1 Dcos 答案A解析先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为直角坐标为xcos 2cos ，ysin 2sin 1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y1，再化为极坐标为sin 1.5在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线C的极坐标方程为2sin ，则曲线C的直角坐标方程为_答案x2y22y0解析由2sin ，得22sin ，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y0.6在极坐标系下，若点P(，)的一个极坐标为，求以为坐标的不同的点的极坐标解为点P(，)的一个极坐标，4或4.当4时，2k(kZ)，2，k

6、(kZ)当4时，2k(kZ)，2，k(kZ)有四个不同的点：P1(kZ)，P2(kZ)，P3(kZ)，P4(kZ).题型一极坐标与直角坐标的互化1(2016北京改编)在极坐标系中，已知曲线C1：cos sin 10，C2：2cos .(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离解(1)C1：cos sin 10，xy10，表示一条直线由C2：2cos ，得22cos ，x2y22x，即(x1)2y21.C2是圆心为(1,0)，半径为1的圆(2)由(1)知，点(1,0)在直线xy10上，直线C1过圆C2的圆心因此两交点A，B的连

7、线是圆C2的直径两交点A，B间的距离|AB|2r2.2在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中为参数)，曲线C2：x2y22y0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：(0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)当0时，求|OA|2|OB|2的取值范围解(1)y21，由得曲线C1的极坐标方程为；x2y22y0，曲线C2的极坐标方程为22sin .(2)由(1)得|OA|2，|OB|24sin2，|OA|2|OB|24sin24(1sin2)4，0，11sin22，64(1sin2)0)，点M的极坐标为(1，)(10)

8、由题意知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.思维升华 极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴正半轴重合；取相同的长度单位(2)若把直角坐标化为极坐标求极角时，应注意判断点P所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求出角.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题(3)由

9、极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定取正值，0,2)，平面上的点(除去极点)与极坐标(，)(0)建立一一对应关系跟踪训练 (2017广州调研)在极坐标系中，求直线sin2被圆4截得的弦长解由sin2，得(sin cos )2，可化为xy20.圆4可化为x2y216，圆心(0,0)到直线xy20的距离d2，由圆中的弦长公式，得弦长l224.故所求弦长为4.1(2018武汉模拟)在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标解(1)圆O：cos sin ，即2cos sin ，圆O的

10、直角坐标方程为x2y2xy，即x2y2xy0，直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为yx1，即xy10.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.2已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)求C1的极坐标方程，C2的直角坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(其中0,02)解(1)将消去参数t，化为普通方程为(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.将代入x2y28x10y160，得28cos 10sin 160.所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 16

11、0.因为曲线C2的极坐标方程为2sin ，变为22sin ，化为直角坐标方程为x2y22y，即x2y22y0.(2)因为C1的普通方程为x2y28x10y160，C2的普通方程为x2y22y0，由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.3(2017贵阳调研)在以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|3|OQ|，求直线l的极坐标方程解(1)，sin y，化为sin 2，曲线的直角坐标方程为x24y4.(2)设直线l的极坐标方程为0(R)，根据题意3，解得0或0

12、，直线l的极坐标方程为(R)或(R)4(2017东北三校二模)已知点P的直角坐标是(x，y)以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系设点P的极坐标是(，)，点Q的极坐标是(，0)，其中0是常数设点Q的直角坐标是(m，n)(1)用x，y，0表示m，n；(2)若m，n满足mn1，且0，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程解(1)由题意知且所以即(2)由(1)可知又mn1，所以1.整理得1.所以1即为所求方程5以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为sin，C的极坐标方程为4cos 2sin .(1)求直线l和C的直角坐标方程；(2)若直线l与圆C交

13、于A，B两点，求弦AB的长解(1)直线l：sin，yx，即yx2.C：4cos 2sin ，24cos 2sin ，x2y24x2y，即x2y24x2y0.(2)C：x2y24x2y0，即(x2)2(y1)25.圆心C(2,1)，半径R，C的圆心C到直线l的距离d，|AB|22.弦AB的长为.6(2017贵阳质检)在极坐标系中，曲线C的方程为2，点R.(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标

14、解(1)xcos ，ysin ，曲线C的直角坐标方程为y21，点R的直角坐标为R(2,2)(2)设P(cos ，sin )，根据题意可得|PQ|2cos ，|QR|2sin ，|PQ|QR|42sin，当时，|PQ|QR|取最小值2，矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为.7在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：24cos 30，0,2，曲线C2：，0,2(1)求曲线C1的一个参数方程；(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值解(1)由24cos 30，可得x2y24x30.(x2)2y21.令x2cos ，ysin ，

15、C1的一个参数方程为(为参数，R)(2)C2：43，43，即2x2y30.直线2x2y30与圆(x2)2y21相交于A，B两点，且圆心到直线的距离d，|AB|22.8已知曲线C的参数方程为(为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若直线l的极坐标方程为(sin cos )1，求直线l被曲线C截得的弦长解(1)曲线C的参数方程为(为参数)，曲线C的普通方程为(x2)2(y1)25.将代入并化简得4cos 2sin ，即曲线C的极坐标方程为4cos 2sin .(2)l的直角坐标方程为xy10，圆心C(2,1)到直线l的距离d，弦长为22.9(2017哈尔滨二模)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A(1，0)，B，若A，B都在曲线C1上，求的值解(1)C1的参数方程为C1的普通方程为y21.由题意知曲线C2的极坐标方程为2acos (a为半径)，将D代入，得22a，a2，圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2，C2的直角坐标方程为(x2)2y24.(2)曲