2018版高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的通项公式学案 苏教版必修5

1、23.2等比数列的通项公式学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法知识点一等比数列通项公式的推广思考1已知等比数列an的首项为a1，公比为q，如何表示an?思考2我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形： ana1(n1)dam(nm)d.等比数列也有类似变形吗？思考3我们知道等差数列的通项公式可以变形为andna1d，其单调性由公差的正负确定等比数列的通项公式是否也可做类似变形？梳理公比为q的等比数列an中，ana1qn1qn.an的单调性由a1，q共同确定如下：当或时，an是递增数列；当或时，an是递减数列；当q0时

2、，an是摆动数列，当q1时，an是常数列知识点二由等比数列衍生的等比数列思考等比数列an的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是(1)3an是等比数列；(2)3an是等比数列；(3)是等比数列；(4)a2n是等比数列梳理(1)在等比数列an中按序号从小到大取出若干项：ak1，ak2，ak3，akn，若k1，k2，k3，kn，成等差数列，那么ak1，ak2，ak3，akn，是等比数列(2)如果an，bn均为等比数列，那么数列，anbn，|an|仍是等比数列知识点三等比数列的性质思考在等比数列an中，aa1a9是否成立？aa3a7是否成立？aan2an2(n2，nN*)是否成立？梳理一般地，在等

3、比数列an中，若mnst，则有amanasat(m，n，s，tN*)若mn2k，则amana(m，n，kN*)类型一等比数列通项公式的应用命题角度1方程思想例1一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项反思与感悟已知等比数列an的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项跟踪训练1在等比数列an中(1)已知a13，q2，求a6；(2)已知a320，a6160，求an.命题角度2等比数列的实际应用例2某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的

4、半衰期为多长？(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)反思与感悟等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义跟踪训练2某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(结果保留到个位，lg 60.778，lg 1.20.079)类型二等比数列的性质命题角度1序号的数字特征例3已知an为等比数列(1)若an0，a2a42a3a5a4a625，求a3a5；(2)若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a1

5、0的值反思与感悟抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题跟踪训练3在各项均为正数的等比数列an中，若a3a54，则a1a2a3a4a5a6a7_.命题角度2未知量的设法技巧例4有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数反思与感悟合理地设出未知数是解决此类问题的技巧一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为ad，a，ad.若四个同号的数成等比数列，可设为，aq，aq3；四个数成等差数列，可设为a3d，ad，ad，a3d.跟踪训练4有四个数，前三个数成等比数列，

6、后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数1在等比数列an中，a28，a564，则公比q为_2在等比数列an中，an0，且a1a1027，log3a2log3a9_.3在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为_4已知数列an满足3an1an0，a2，则an_.1借助通项公式或其推广形式列方程组是求等比数列基本量a1，q，n的常用方法2巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要答案精析问题导学知识点一思考1ana1a1qqa1qn1.思考2 在等比数列中，由通项公式ana1qn1，得qnm，所以anamqnm(n，mN*)思考3

7、设等比数列an的首项为a1，公比为q.则ana1qn1qn，其形式类似于指数型函数，但q可以为负值由于an1ana1qna1qn1a1qn1(q1)，所以an的单调性由a1，q，q1的正负共同决定知识点二思考由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确知识点三思考a5a1q4，a9a1q8，a1a9aq8(a1q4)2a，aa1a9成立同理aa3a7成立，aan2an2也成立题型探究例1解设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么，得q，将q代入，得a1.因此，a2a1q8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.跟踪训练1解(1)由等比数列的通项公式得，a63(2)6196.(2)设等比数列

8、的公比为q，那么解得所以ana1qn152n1.例2解设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an，由条件可得，数列an是一个等比数列其中a10.84，q0.84，设an0.5，则0.84n0.5.两边取对数，得nlg 0.84lg 0.5，用计算器算得n4.答这种物质的半衰期大约为4年跟踪训练2解记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，an，.则依题意可得a15，1.2(n2且nN*)，从而an51.2n1，这里an30，故1.2n16，即n1log1.269.85.故n11.答从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨例3解(1)a2a42a3a5a4a6a2a3a5a(a3a5)225，an0，a3a50，a3a55.(2)根据等比数列的性质，得a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79，a1a2a9a10(a5a6)595，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a9a10)log39510.跟踪训练3128解析a3a5a4，an0，a42.a1a2a3a4a5a6a7(a1a7)(a2a6)(a3a5)a4432128.例4解设这四个数依次为ad，a，ad，由条件得解得或所以当a4，d4时，所