2018版高中数学 第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解学案 新人教A版必修1

1、3.1.2用二分法求方程的近似解1通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件(重点)2了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解(难点)3会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解(易混点)基础初探教材整理二分法的概念及用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤阅读教材P89P90“例2”以上部分，完成下列问题1二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似

2、解2用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4)判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解()(2)函数f(x)|x|可以用二分法求零点()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内()【解析】(1).如

3、函数x20用二分法求出的解就是精确解(2).对于函数f(x)|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)f(b)0，所以不能用二分法求其零点(3).函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内【答案】(1)(2)(3)小组合作型二分法的概念(1)已知函数f(x)的图象如图311所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A4,4B3,4C5,4D4,3图311(2)用二分法求方程2x3x70在区间1,3内的根，取区间的中点为x02，那么下一个有根的区间是_【精彩点拨】(1)依据二分法的概念求解(2)依据f(1)，f(2)，f(3)的符号作出判断【自主解答】(1)图象与x轴有4个交点，所以解

4、的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.(2)设f(x)2x3x7，f(1)23720，f(3)100，f(2)30，f(x)零点所在的区间为(1,2)，方程2x3x70有根的区间是(1,2)【答案】(1)D(2)(1,2)二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点，因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.再练一题1下列函数中能用二分法求零点的是() 【导学号：】【解析】在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点在B中，函数无零点在C中，函数图象是连续

5、不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点【答案】C用二分法求函数零点的近似值证明函数f(x)2x3x6在区间(1,2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度为0.1)【精彩点拨】判断f(1)f(2)0是否成立，再根据函数的单调性，确定零点的唯一性，最后用二分法求零点【自主解答】设函数f(x)2x3x6.f(1)10.f(x)在区间(1,2)内有零点又f(x)是增函数，函数f(x)2x3x6在区间(1,2)内有唯一的零点设该零点为x0，则x0(1,2)，取x11.5，f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，f(1)f(1.25)0，x0(1,1

6、.25)取x31.125，f(1.125)0.440，f(1.125)f(1.25)0，x0(1.125,1.25)取x41.187 5，f(1.187 5)0.160，f(1.187 5)f(1.25)0.x0(1.187 5,1.25)|1.251.187 5|0.062 50.1，可取x01.25，则该函数的零点近似解可取x01.25.用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.再练一题2求函数f(x)x32x23x6的正数零点(精确度为0.1)【解】因为f(0)60，f(1)60

7、，所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间用二分法逐次计算，列表如下：中点端点或中点函数值取值区间f(1)60(1,2)x11.5f(1.5)2.6250(1.5,1.75)x31.625f(1.625)1.302 70(1.625,1.75)x41.687 5f(1.687 5)0.561 80(1.6875,1.75)因为|1.751.687 5|0.062 50.1，所以函数的正数零点的近似值为1.687 5.探究共研型用二分法求方程的近似解探究1函数yf(x)的零点与方程f(x)0的解有何关系？【提示】函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的解探究2如何把求方程的近似解转化为求函数零

8、点的近似解？【提示】设方程为f(x)g(x)，构造函数F(x)f(x)g(x)，求方程f(x)g(x)的近似解问题就可转化为求函数F(x)f(x)g(x)零点的近似解问题用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度为0.1)【精彩点拨】构造函数f(x)2x33x3确定初始区间(a，b)二分法求方程的近似解验证|ab|0.1是否成立下结论【自主解答】令f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x33x3在(0,1)内有解取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继

9、续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以方程2x33x30的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.1根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的求方程f(x)0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解2对于求形如f(x)

10、g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)f(x)g(x)0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解再练一题3用二分法求2xx4在1,2内的近似解(精确度为0.2)参考数据：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67【解】令f(x)2xx4，则f(1)2140.区间区间中点值xnf(xn)的值及符号(1,2)x11.5f(x1)0.330(1,1.5)x21.25f(x2)0.370(1.25,1.5)x31.375f(x3)0.0350(1.375,1.5)|1.3751.5|0

11、.1250.2，2xx4在(1,2)内的近似解可取为1.375.1观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()【解析】由图象可知A中零点左右两侧的函数符号不同，故可用二分法求零点【答案】A2用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是()A|ab|0.1B|ab|0.001 D|ab|0.001【解析】据二分法的步骤知当区间长度|ba|小于精确度时，便可结束计算【答案】B3用“二分法”求解关于x的方程ln x2x60的近似解时，能确定为解所在的初始区间的是() 【导学号：】A(2,3) B(0,2)C(1,2) D(0，)【解析】令函数f(x)ln x2x6，f(1)40，f(2)ln 220，f(3)ln 30，函数f(x)在(2,3)内有零点，方程ln x2x60的近似解在(2,3)内故选A.【答案】A4某方程有一无理根在区间D(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分_次后，所得近似值可精确到0.1.【解析】由10，n14，即n5.【答案】55用二分法求方程ln(2x6)23x的根的近似值时，令f(x)ln(2x6)23x，并用计算器得到下表：x1.001.251.3751.50f(x)1.079 40.191 80.