《预备知识使用版》PPT课件.ppt

1、第一节 概率空间,第一章 预备知识,第二节 随机变量和分布函数,第三节 数字特征和特征函数,第四节 条件概率、条件期望和独立性,第五节 收敛性,第一节 概率空间,一、概率论是研究什么的？,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学,随机现象：不确定性与统计规律性,Home,?,二、随机试验,1随机试验,Home,随机试验的特点： 1.可在相同条件下重复进行； （必然性） 2.每次试验的结果具有多种可能性,但在试验之前可 以明确试验的所有可能结果； （不可示性） 3.每次试验前无法确定哪种结果出现。 （偶然性）,对随机现象进行观测称为随机试验，用字母E表示。,E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和

2、“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。 概率论中研究的随机现象不是日常人们所谈的偶然现象，它有特定的含义和特点。,2.1 样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为 = ； 2.2 样本点: 试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为 .,EX ：给出E1-E7的样本空间,2样本空间,两个特殊事件: 必然事件 、不可能事

3、件. 例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B=“三次出现同一面”=HHH,TTT C=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH,3随机事件,定义,试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件”，记作A、B、C等。,说明,任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,记为,Home,三、概率,1、 代数,定义,注,Borel 代数,Home,2、概率,Home,性质1,性质2,性质3,

4、性质4,性质5,性质6,Home,Home,3、完备概率空间,注,概率测度完全化,如果 的任何零概率事件对应集合的子集 包含于 ，称为完备概率空间。即：包含一切测度 为零的零测集的 ， 为完备概率空间。,3、上、下极限,Home,定义,注：极限存在即上极限、下极限存在并相等。,Home,第二节 随机变量和分布函数,Home,定义1,设=是随机试验的样本空间，如果量X是定义在上的一个单值实值函数即对于每一个，有一实数X=X()与之对应，则称X为随机变量。,随机变量常用X、Y、Z 或 、等表示。,说明,Home,定义2,说明,设是随机变量, 对任意实数x，事件x的概率Px称为随机变量的分布函数，

5、记为F(x)，即 F(x)Px,对任意实数a, b (ab), PabPbPa F(b)F(a),Home,性质4,性质3,F(x)至多有可列个间断点，而在其间断点上也是右连续的。,常见分布,Home,第三节 数字特征、矩母函数与特征函数,定 义,Home,定义 1 离散型随机变量XP=xk=pk, k=1,2,n, 若级数,，则称,为随机变量X的数学期望，简称期望或均值。,定 义,Home,定义 2 连续型随机变量XF(x), 若级数,，则称,为随机变量X的数学期望，简称期望或均值。,定 义,Home,定义 3 连续型随机变量XF(x), 如下述积分存在称,为随机变量X的矩母函数。,定义 4

6、 连续型随机变量XF(x), 如下述积分存在称,为随机变量X的特征函数。,Home,第四节 条件概率、条件期望和独立性,Home,在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率，简称为A对B的条件概率，记作P(A|B)。相应的把P(A)称为无条件概率。,一、条件概率,定理（全概率公式）,Home,设A1，, An是 的一个划分，构成一个完备事件组，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B有,该式称为全概率公式。,定理（Bayes公式）,条件概率,条件概率 小 结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,二、条件期望,设X是随机变量，B是事件且 P(B)0，则给定事件B，随机变量X的条件期望定义为：,Home,说明,条件期望是非常重要的概念。,三、独立性,Home,定义,如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响，即P