高等数学 偏导数.ppt

1、1,9.2 偏导数,9.2.1 偏导数的概念及其计算法,例如, 二元函数 z = f (x, y), 先让 y固定 (即y 视为常数), 这时z就是 x的一元函数, z 对 x的导数,为求一元函数的变化率, 我们引入了导数的概念.,对于多元函数, 我们先考虑它关于一个自变,量的变化率.,称为二元函数 z 对 x的偏导数.,2,设二元函数z = f (x, y), P0(x0, y0)为平面上一点.,定义9.3,如果z = f (x, y0)在x0的某一邻域内有定义且在x0点,即极限,存在,则称此极限为函数,对x的偏导数,可导,3,同理,可定义函数 在点 处,对y的偏导数为,4,的偏导数,如果函

2、数 z=f (x, y)在区域D内任一点 (x, y) 处 对x 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是 x、y,同理, 可以定义函数 对自变量 y,数, 简称偏导数.,的函数, 称其为函数z=f (x, y)对自变量 x 的偏导函,记作 或,记作 或,5,求多元函数的偏导数并不需要新的方法,利用一元函数,只需将y 看作常量,的求导法对x 求导即可.,解,例 求 在点 处的偏导数,6,证,证毕,例 设,证明,7,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,8,解,利用函数关于自变量的对称性, 有,例 求 的偏导数,9,三个偏导数.,解,求某一点的偏导数时,例,变为一元函数,代入,在点(1,0,

3、2)处的,可将其它变量的值,再求导,常常较简单.,10,求 在点(1,0)处的两个偏导数.,解1,练习,解2,11,证,例 已知理想气体的状态方程,(R 为常数), 求证:,12,有关偏导数的几点说明：,例,解,1. 偏导数 是一个整体记号, 不能拆分;,2. 分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;,13,按定义得,14,3. 偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处没有极限，所以不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,由前面的例子可知在(0,0)处,例如, 函数,15,例 研究函数 在(0,0)点的,解 因为,连续性与可偏导性.,所以

4、, 函数在(0,0)点连续.,而,所以,16,二元函数f(x, y)在点 (x0, y0)处两个偏导数 fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是 f (x, y) 在该点连续的 ( ).,A. 充分条件而非必要条件,B. 必要条件而非充分条件,C. 充分必要条件,D. 既非充分条件又非必要条件,D,练习,17,设二元函数,在点,有,如图,为曲面,偏导数.,上的一点,过点,作平面,此平面,与曲面相交得一曲线,曲线的,方程为,由于偏导数,等于一元函数,的,导数,故由一元函数导数的几何意义,9.2.2 偏导数的几何意义,18,可知:,偏导数,在几何上表示,曲线,在点,处的切线对,x轴的斜

5、率;,偏导数,在几何上表示,曲线,在点,处的切线对y轴的斜率.,19,设,20,例 求曲线,在点(2,4,5)处的切线,与x轴正向所成的倾角.,解,21,纯偏导,混合偏导,定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,9.2.3 高阶偏导数,函数 的二阶偏导数为,22,解,例 设,求,23,一般地, 多元函数的高阶混合偏导数如果连,续就与求导次序无关.,如果函数,的两个二阶混合偏,在区域D内连续,定理9.1,那么在,导数,该区域内,如,问题: 混合偏导数都相等吗? 具备怎样的条件 才相等 ?,24,解,利用函数关于自变量的对称性,例 验证函数 满足,拉普拉斯方程,25,例,验证函数,满足波动方程:,证,因