高三数学一轮 5.3 平面向量的数量积导学案 理 北师大版

1、5.3平面向量的数量积2014高考将这样考试。1。调查两个向量的数量积的方法；2.利用两个矢量的数量，求出矢量的夹角、矢量的强度。用两个向量的数量积证明两个向量是垂直的。复习准备考试要这样做。1.要理解数量积的意义，掌握求数量积的多种方法。了解数量乘积的计算特性。用数量积解决矢量的几何问题。1.平面向量的数量积已知两个非0牙齿矢量A和B，其角度为，数量| A | | B | COS 称为A和B的数量(或内在)，AB=| A | | B | COS 。规定：0向量与任意向量的数量积为_0_。非零牙齿矢量a与b垂直的两个先决条件是ab=0，非零牙齿矢量a与b平行的两个先决条件是ab=| a | |

2、 b |。2.平面向量数量积的几何意义数量乘积ab等于a的长度|a| a方向的b的投影| b | cos 的乘积。平面矢量数量积的重要性质(1)ea=AE=| a | cos；(2)非零牙齿向量a，b，aBab=0；(3)如果a与b方向相同，则ab=| a | | b |a和b反转后，ab=-| a | | b |，aa=a2，| a |=；(4)cos=；(5)| ab | _ _ _ _ _ | a | | b |。4.平面向量数量积满足的运算法则(1) ab=ba(交换法)；(2) ( a) b= (ab)=a ( b) (实数)；(3) (a b) c=AC BC。平面矢量数量积的相关

3、特性的坐标表示您可以设定向量a=(x1，y1)、b=(x2，y2)和ab=x1x2 y1 y2(1)如果a=(x，y)，则| a | 2=x2 y2或| a |=。(2)设定A(x1，y1)，B(x2，y2)后，A，B两点之间的距离| ab |=| |=。(3)非零牙齿矢量a，b，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a-b=(x2 y1 y2=0)。请求困难的正本疑团1.向量的数量积是实数两个向量的数量积是与两个向量的长度及其角度的余弦相关的量，使用向量的数量积解问题时，必须注意两个向量的角度范围。2.ab0是两个向量ab的角度压印所需的不充分条件。如果“A，B=0”，则ab0，A，B的角

4、度不是锐角。另外，在ABC中，还要注意区分夹角和角度B的关系。3.计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要的方法。1.已知向量a和向量b之间的角度为135，| a |a|=2，| b |b|=3，向量a和向量b的数量为ab=_ _ _ _ _ _ _。答案-3分析ab=| a | | b | cos135=23=-3。2.a | b，| a |a|=2，| b |b|=3，并且3a 2b垂直于 a-b时，实数的值为_ _ _ _ _ _。答案分析结果表明，AB等于a-b=0。我们知道3A 2B与 A-B垂直。 (3a 2b) ( a-b)=3 a2-2b2=3 22-232=0。=。3.如果

5、a=(2，3)，b=(-4，7)，则a在b方向的投影为_ _ _ _ _ _。答案分析设置a和b之间的角度为，| a |a|cos =|a| a |=。4.(2011辽宁)如果已知矢量a=(2，1)，b=(-1，k)，a (2a-b)=0，则k等于()A.-12b。-6c.6d.12答案d解决方法称为a (2a-b)=2a2-ab=2 (4 1)-(-2 k)=0，k=12。5.(2012陕西)如果矢量a=(1，cos )垂直于b=(-1，2 cos )，则cos 2 =等于()A.b.c.0d.-1答案c分析a=(1，cos )，b=(-1，2 cos )。ab，ab=-1 2c os2=0

6、，cos2=，cos2=2c os2-1=1-1=0。问题类型1平面向量的数量乘运算范例1 (1)在RtABC中，c=90，AC=4等于()A.-16b。-8c.8d.16(2)矢量a=(1，1)，b=(2，5)，c=(3，x)，满足条件(8a-b) c=30时，x为()A.6b.5 C.4 d.3思维启蒙：(1)因为c=90，所以根据向量选择。(2)先计算8A-B，然后用矢量的数量积列出方程，得出X。答案(1)D (2)C分析(1)=(-) (-)=-=16。(2)a=(1，1)，b=(2，5)，8a-b=(8，8)-(2，5)=(6，3)。此外，(8a-b) c=30，(6，3) (3，x

7、)=18 3x=30。x=4。探索有三种增加两个向量数量的茄子方法：利用定义。利用矢量的坐标运算数量积的几何意义。牙齿问题从另一个角度创造性地解决了问题，充分利用了已知的条件。(2012北京)如果正方形ABCD的边长为1，点E已知为AB边的行程点，则值为_ _ _ _ _ _ _ _ _；的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。回答1 1分析方法1在射线AB，AD在x轴，y轴的正向上创建平面直角坐标系为A(0，0)、B(1，0)、C(1，1)、D(0，1)E(t，0)，t-0，1，下一个=(t，-1)，=(0，-1)，因此=(t，-1)(因为=(1，0)，所以=(t，-1) (1，0

8、)=t1，因此，最大值为1。方法2可以看到，无论E点在哪里，方向的投影都是CB=1。=| | 1=1，e移动到点b时，方向的最大投影为DC=1，()max=| | 1=1。问题型2向量角度和向量模式范例2已知的| a |a|=4，| b |b|=3，(2a-3b) (2a b)=61，(1)求出a和b之间的角度。(2)请求| a b |(3)=a，=b时，求ABC的面积。思维启蒙：数量乘积的定义和| a |=。解决方案(1)(2a-3b)(2a b)=61，4 | a | 2-4a B- 3 | b | 2=61。此外，| a |a|=4，| b |b|=3，64-4a B- 27=61，ab

9、=-6。cos=-。另外，0，=。(2)可以先把平方转换成向量的数量积。| a b | 2=(a b) 2=| a | 2 2ab | b | 2=42 2 (-6) 32=13，| a b |=。(3)和的角度=，ABC=-=。另外| |=| a |=4，| |=| b |=3，sABC=| | | sin | ABC=43=3。增量(1)在数量积的基本运算中，经常使用数量积的定义、模型、角度等公式。特别是，需要充分重视| A |=，这是用于求距离的常用公式。(2)要注意矢量运算法和实数运算法的差异和联系。向量运算中灵活地利用运算方法，达到简化运算的目的。(1)如果已知矢量a，b满意| a

10、|a|=1，| b |b|=4和ab=2，则a和b之间的角度为()A.b.c.d .答案cCos a，b=，=。(2)如果已知矢量a=(1，)，b=(-1，0)，则| a 2b |等于()A.1b.c.2d.4答案c解决方案| a 2b | 2=a2 4a b 4b2=4-41 4=4，| a 2b |=2。问题型3向量数量积的综合应用例3被称为a=(cos ，sin)，b=(cos ，sin ) (0 )。(1)认证：a b和a-b徐璐垂直。(2)如果ka b等于a-kb的摩尔，则具荷拉-。(其中k是非零牙齿的实数)思维启蒙：(1)证明两个向量徐璐垂直，计算牙齿两个向量的数量问题，数量积为零

11、证明。(2)模数平等，热方程，简化。(1)证明(a b)(a-b)=a2-B2=| a | 2-| b | 2=(cos2 sin2)-(cos2 sin2)=0，a b和a-b徐璐垂直。(2)解毒卡b=(kcos cos ，ksin +sin )，A-kb=(cos -kcos ，sin -ksin )，| ka b |=，| a-kb |=。| ka b |=| a-kb |，2 kcos(-)=-2 kcos(-)。另外，k0，cos(-)=0。0，0-，-=。探索增强(1)向量A和B作为座标给出时，如果证明了AB，则AB=0x1x2 Y1 Y2=0。(2)向量A，B为非座标时，以已知的

12、非共线向量为基础表示A，B，非共线向量必须知道其模具和角度。因此，AB=0。(3)在数量乘运算中，对于非零牙齿矢量，如果A=0，则AB=0，但不能称为AB。已知平面向量a=(，-1)，b=。(1)证明书：ab；(2)如果有非0牙齿实数k和t，则c=a (T2-3) b，d=-ka TB，cd，函数关系k=f (t)。(1)证明ab=-1=0，ab(2)解决方案c=a (T2-3) b，d=-ka TB，c-d，CD=a(T2-3)b(-ka TB)=-ka2 t (T2-3) B2 t-k (T2-3) ab=0，另外，a2=| a | 2=4，B2=| b | 2=1，ab=0，CD=-4k

13、 T3-3t=0，k=f(t)=(t0)。三心图形识别特征前例：(5分钟)把两个倾斜的直角三角形板合在一起，如图所示。=x y，则x=_ _ _ _ _ _ _ _ _，y=_ _ _ _ _ _ _。图形由三角板组成(注意三角板的特性)命令| ab |=1，| AC |=1(三角板两条对角线的长度)| de |=| BC |=(郑智薰等腰三角板的特性)| BD |=| de | sin60=(主Abd=45 90=135)上面的投影是xx=| ab | | BD | cos45=1=1上面的投影是yy=| BD | sin45=。解析方法结合图形性质，将向量设定为单位向量。=x y，x，y是

14、中的投影。而且| BC |=| de |=，|=| | sin60以上投影X=1 cos45=1=1，上述投影y=sin 45=。方法2=x y，另=，=x y，=(x-1)y .另外，=(x-1)2。设定| |=1，问题| |=| | |=。另外， bed=60， | |=。明明是哇45。为=(x-1) 2。1 cos45=(x-1) 12。x=1。同样，=(x-1)如果y的两侧取数量积，则y=。回答1舒适地突破牙齿问题的关键是掌握图形的特征(图形由三角板构成)。根据图形的特点，利用矢量分解的几何意义，可以方便快捷地解决。方法2是对原试题给出的答案，比方法稍繁。方法和技巧1.计算数量积的三种

15、茄子方法：不要忽略定义、坐标计算、数量积的几何意义、灵活选择、图形相关数量积几何意义的应用。2.寻找向量模具的一般方法：使用公式| a | 2=a2将模具的运算转换为向量数量积的运算。3.利用矢量垂直或平行的条件构造方程或函数是寻找参数或最值问题的常用方法和技巧。错误和预防1.(1) 0和实数0的差值：0a=0 0，a (-a)=0 0，A0=00；(2)0的方向是任意的，不是没有方向，0与某个矢量平行，我们只定义了非零牙齿矢量的垂直关系。2.无法推出ab=0 a=0或b=0。当ab=0时，ab3.AB=AC (A 0)不能发布B=C。也就是说剔除法不成立。a组特殊基础教育(时间：35分钟，满

16、分：57分)一、选择题(每个问题5分，共20分)1.(2012辽宁)已知矢量a=(1，-1)，b=(2，x)，如果ab=1，则x为()A.-1b。-c.d.1答案d分析ab=(1，-1) (2，x)=2-x=1x=1。2.(2012重庆)设定x、y-r、向量a=(x，1)、b=(1，y)、c=(2，-4)和a-cA.b.c.2d.10答案bA=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)，在ac中，AC=0，即2x-4=0，x=2。b-c到1 (-4)-2y=0，-y=-2。a=(2，1)，b=(1，-2)。a b=(3，-1)，| a b |=。3.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3)。

17、如果向量c满足(c a) b，c(a b)，则c等于()A.bC.D.答案d剖析设定c=(x，y)，c a=(x 1，y 2)，另一个(c a)此外，c(a b)，(x，y)(3，-1)=3x-y=0。联立 解是x=-，y=-。4.在ABC中，ab=3、AC=2、BC=等于()A.-B.-c.d .答案d分析原因| | | | cos _ BAC=(| 2 | | 2-| | 2)=(9 4-10)=。第二，填空(每个小问题5分，共15分)5.(2012全国)已知矢量a，b角度为45，| a |a|=1，| 2a-b |=，| b |=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _回答3A，B的角度为