复合材料力学Lecture-6.ppt

1、5.1 引言,前一章介绍的细观力学模型公式仅仅只能用于确定复合材料的线弹性本构方程，应用前提是复合材料所受外力不大。,在更大的载荷作用下，复合材料一般会产生非线性变形，需要应用非线性的本构方程描述其应力应变响应。,工程中应用最为广泛的复合材料为层合板，是由单层板按不同的角度铺设、层叠一起构成的，每一个单层都是一个静不定结构。,在层合板破坏前，某些单层必然会产生非线性变形。因此，为了准确分析每一个单层所承担的载荷，也就是要确定层合板的强度，就必须应用单层板的非线性本构方程。,5.2 增量方程,对非线性问题，通常采用增量求解步骤。用增量代替全量（应力增量代替应力全量），基本方程：,显然成立。另外，

2、纤维、基体、复合材料的增量形式的应变应力关系可以表作为：,其中的系数矩阵Sijf、Sijm、Sij分别称为纤维、基体、复合材料的当前（瞬态）柔度矩阵。,5.3 基本定理,确定纤维增强复合材料非线性本构关系的充分必要条件是要知道纤维和基体中的内应力。,必要性的证明:,令,其中Aij是瞬态桥联矩阵。类似以前的推导过程，可以得到：,K=0,1,这表明：要得到Sij必须要知道组成材料（即基体）的内应力，必要性得证。,从方程(5.9)可知，欲得到复合材料的瞬态柔度矩阵 Sij，必须要知道Sijm和Sijf。但经典塑性力学理论表明：进入塑性变形后的各向同性材料的当前柔度矩阵Sijm取决于材料的当前应力。,

3、充分性的证明:,假定已知应力增量djf和djm，瞬时柔度矩阵Sijf和Sijm可定，又求得应变增量dif和dim。从而，由(5.1)和(5.2)定出复合材料的应变与应力增量,令他们满足(5.5)。充分性也得证。,根据这一定理，只需要确定在每一个载荷增量步纤维和基体中的内应力就可以了。,5.4.1 弹性桥联矩阵,当复合材料处于弹性变形时，对应的桥联矩阵已在上一章导出，即：,(5.14),(5.13),由公式(5.7)和(5.8)可知，关键是要确定瞬态桥联矩阵。,5.4 瞬态桥联矩阵,(5.17),与弹性阶段类似，可以将塑性阶段的桥联矩阵元素分成自变量和因变量，并且很显然，塑性阶段的自变量必须与弹

4、性阶段的自变量一致。,5.4.2 弹塑性桥联矩阵,a21=0,回忆弹性阶段自变量的确定过程，首先将他们展开成两类参数的级数：,一类参数是纤维和基体的力学性能，另一类参数ij（上述级数的展开系数）则反映了几何特性，如纤维体积含量、纤维与基体的界面特性等。,由于这些几何特性参数一般都不会随复合材料的受力不同而变化，比如纤维体积含量就不会因为复合材料产生塑性变形而发生改变，因而，反映几何参数的展开系数一旦确定就保持不变。,这样，可以很容易将桥联矩阵的自变量由弹性阶段的显式表达式（前已获得）推广到塑性阶段：仅仅只需将基体的弹性参数用相应的塑性参数代替。,Em,Gm,m,m=0.5,这是因为假定纤维直到

5、破坏都保持线弹性。,从而，桥联矩阵自变量表达式为：,(5.18),Em和Gm称为基体的等效模量：,(5.21),(5.22),(5.23),(5.24),Mises等效应力：,等效泊松比：,=基体屈服强度,例5.1：GF/epoxy单向复合材料, Ef=70GPa, f=0.2, m=0.35，基体其余性能见下表。若基体中的应力为m=25, 10, -25(MPa)，求此时桥联矩阵的自变量，假定=0.5。,解：（1）求基体的Mises等效应力：,(MPa),（2）求基体的等效模量：,Em=0.6GPa， Gm=0.6/3=0.2GPa,（3）桥联矩阵的自变量为：,a11=0.6/70=8.57

6、E-3,a22=0.5(1+0.6/70)=0.5043,a33=0.5(1+0.2/29.17)=0.5034,Gf=(0.5)(70)/(1+0.2)=29.17(GPa),下面讨论如何确定桥联矩阵的因变量。在弹性阶段，桥联矩阵的非0因变量仅有a12，由复合材料柔度矩阵的对称性条件确定，即：,其中, Sij=(VfSijf+VmSijmAij)(VfI+VmAij)-1,Sji=Sij，i，j=1、2、3， (5.25),但是，在塑性阶段，基体材料的柔度矩阵将不再总是有0元素，因为其塑性柔度矩阵分量是满阵，即：,(5.26),由于(5.25)式有三个独立方程，这样，塑性阶段桥联矩阵的因变量

7、中除了a12外，还必须存在另两个非0元素，使(5.25)联立有解，并且在弹性阶段，这后两个元素必须自动取0值。,研究发现，下列形式的桥联矩阵满足上述要求：,将(5.26)代入柔度矩阵表达式并令(5.25)式成立，解得：,(5.27),a12与(5.17)式完全一样。,显而易见，当基体材料处于弹性变形时，S13m=S23m 0，从而有d1=d2=0。于是，a13=a23 0，(5.26)和 (5.13)完全一样。,例5.2：GF/epoxy单向复合材料, Vf=0.5，其余条件皆同例5.1。求此时的桥联矩阵。,解：（1）纤维的柔度矩阵：,(GPa)-1,Ef=70GPa、Gf=29.17GPa,

8、（2）基体柔度矩阵的弹性分量：,(GPa)-1,Em=3.35GPa，Gm=1.24GPa,（3）基体柔度矩阵的塑性分量：,(MPa),（4）基体的当前柔度矩阵：,(GPa)-1,(GPa)-1,（5）桥联矩阵的自变量元素（前已求得）：,a11=0.6/70=8.57E-3,a22=0.5(1+0.6/70)=0.5043,a33=0.5(1+0.2/29.17)=0.5034,（6）桥联矩阵的因变量元素：,=-0.0837,=0.1535,=0.8504,=-1.659E-4,5.5 内应力计算,根据前述基本定理，需要确定每一个载荷增量步作用下纤维和基体中的内应力。,假定单向复合材料受任意平

9、面载荷作用：,采用增量式后，内应力增量计算依据公式(5.7)和(5.8)，即：,(5.28),b11=(Vf+Vma11)-1,b12=-(Vma12)/(Vf+Vma11)(Vf+Vma22),b13=(Vma12)(Vma23)-(Vf+Vma22)(Vma13)/c,b22=(Vf+Vma22)-1,b23=-(Vma23)(Vf+Vma11)/c,b33=(Vf+Vma33)-1,c=(Vf+Vma11)(Vf+Vma22)(Vf+Vma33),(5.29),总应力：,K=0, 1, ,解：,（1）取d11=50MPa ，初始纤维和基体中的应力为0。,（2）纤维为线弹性，由Hooke定

10、律定义其柔度矩阵，即：,Ef=70GPa、Gf=29.17GPa,代入所给数据，求得：,(GPa)-1,（4）由Prandtl-Reuss理论定义基体的当前柔度矩阵：,（3）由基体的当前应力定义基体的等效模量：,由于初始步 ，有：,由于初始步 ，有：,（5）根据基体的等效模量和当前柔度矩阵，确定当前桥联矩阵Aij：,a11=3.35/70=0.0479, a13=a23=0,a22=0.5(1+3.35/70)=0.524,a33=0.5(1+1.24/29.17)=0.5213,(GPa)-1,a12=(-0.00286+0.1045)(0.524-0.0479) /(0.2985-0.01

11、43)=0.1703,b12=-(0.5)(0.1703)/(0.5)(1+0.0479)(0.5)(1+0.524) =-0.2133,b22=1/(0.5)(1.524)=1.3123,b33=1/(0.5)(1.5213)=1.3147,Vf=Vm=0.5,（6）根据当前桥联矩阵Aij确定当前Bij矩阵：,a11=0.0479, a22=0.524, a33=0.5213, a12=0.1703, a13=a23=0,b11=1/(0.5)(1.0479)=1.9086, b13= b23=0,（7）根据当前 Aij和Bij矩阵，计算内应力增量：,(MPa),(MPa),（8）更新纤维和

12、基体的内应力：,(MPa),(MPa),（9）重复（3）到（8）的步骤：,现在，,因而，基体的等效模量和当前柔度矩阵均保持不变，从而，当前 Aij和Bij矩阵和前面得到的相同。,由于应力增量步长一样，纤维和基体中的内应力一样。如此，在第二个增量步结束时（加载到11=100MPa），纤维和基体中的总应力为：,(MPa),(MPa),（1）一般情况下，复合材料的内应力计算比较复杂，往往需要借助于计算机才能完成；,从对该例题的求解，我们得出两点结论：,（2）只要基体的Mises等效应力小于屈服极限并且外载增量步长相同，纤维和基体中的内应力增量就不变。,但是，如果基体的Mises等效应力超过了屈服极限

13、，则此后的每一次增量加载，纤维和基体中的内应力增量都会变化。从而，大大增加了计算难度。,例5.4：GF/环氧单向复合材料，Vf=0.5、Ef=72GPa、 f =0.2，基体拉压性能相等， m=0.35，其它性能参数见下表，受偏轴拉伸作用，直到内应力满足 90MPa或 950MPa。求偏轴角=00, 100, 450, 600, 及900时的应力应变曲线。,解：（1）采用增量法，初始应力为0；,（2）Hooke定律求纤维柔度矩阵（假定直到破坏都保持线弹性）：,（3）Prandtl-Reuss理论求基体的当前柔度矩阵：,（4）求瞬态桥联矩阵和Bij矩阵：,Sij(K)=(Vf Sijf+VmSi

14、jm(K)Aij(K)Bij(K),（5）求局部坐标下的柔度矩阵：,（6）求整体坐标下的柔度矩阵：,（7）求整体坐标下的应变：,应变增量：,总应变：,(xx)(K+1)=(xx)(K)+(dxx)(K),=dxx, 0, 0T,（8）求纤维和基体中的当前应力：,纤维中的应力增量:,纤维中的总应力:,K=0,1,K=0,1,基体中的应力增量:,基体中的总应力:,（9）绘制应力应变曲线直到 90MPa或 950MPa,偏轴拉伸=00, 100及450的应力应变曲线,偏轴拉伸=100, 450, 600及900的应力应变曲线,习题33: 根据例5.4所介绍的步骤，编制计算机程序并计算，列表给出偏轴拉伸的应力应变响应数据。,习题34、GF/ep