高考数学大一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.2 直接证明与间接证明课件 文 新人教版

1、12.2直接证明与间接证明,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.直接证明,知识梳理,(1)综合法 定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 框图表示： (其中p表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，q表示所要证明的结论) 思维过程：由因导果,推理论证,(2)分析法 定义：一般地，从 出发，逐步寻求使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法 (其中q表示要证明的结论) 思维过程：执果索因

2、,要证明的结论,充分条件,2.间接证明,反证法：一般地，假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明 的证明方法.,不成立,矛盾,原命题成立,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.() (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.() (3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.(),(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.() (5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.() (6)证明不等式 最合适的方法是分

3、析法.(),考点自测,1.若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是,答案,解析,a2aba(ab)， a0， a2ab. 又abb2b(ab)0，abb2， 由得a2abb2.,2.用反证法证明命题：“a，bn，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为,答案,解析,a.a，b都能被5整除 b.a，b不都能被5整除 c.a，b至少有一个能被5整除 d.a，b至多有一个能被5整除,“都不能”的否定为“至少有一个能”，故假设的内容应为“a，b至少有一个能被5整除”.,3.要证a2b21a2b20，只要证明,a2b21a2b20(a21)(b21)0.,答案,解析,a0，

4、b0且ab,答案,解析,答案,解析,f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且a、b、c(0，).,题型分类深度剖析,题型一综合法的应用,例1数列an满足an1 ，a11.,证明,解答,(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性. (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.,思维升华,跟踪训练1若a，b，c是不全相等的正数，求证：,证明,a，b，c(0，)，,由于a，b，c是不全相等的正数， 上述三个不等式中等号不能同时成立，,例2,题型二分析

5、法的应用,证明,所以cos x1cos x20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0，,故只需证明1cos(x1x2)2cos x1cos x2，,即证1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，,即证cos(x1x2)1.,引申探究,证明,由于x1，x2r时， 0, 0，,(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键. (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.,思维升华

6、,跟踪训练2(2017重庆月考)设a0，b0,2cab，求证： (1)c2ab；,证明,证明,(ac)2c2aba(ab2c)0成立，,原不等式成立.,题型三反证法的应用,命题点1证明否定性命题 例3(2016西安模拟)设an是公比为q的等比数列.,(1)推导an的前n项和公式；,解答,设an的前n项和为sn， 当q1时，sna1a1a1na1； 当q1时，sna1a1qa1q2a1qn1， qsna1qa1q2a1qn， 得，(1q)sna1a1qn，,(2)设q1，证明：数列an1不是等比数列.,证明,假设an1是等比数列，则对任意的kn*， (ak11)2(ak1)(ak21)，,a10

7、，2qkqk1qk1. q0，q22q10， q1，这与已知矛盾. 假设不成立，故an1不是等比数列.,命题点2证明存在性问题 例4已知四棱锥sabcd中，底面是边长为1的正方形，又sbsd ，sa1.,证明,(1)求证：sa平面abcd；,由已知得sa2ad2sd2，saad. 同理saab. 又abada，ab平面abcd，ad平面abcd， sa平面abcd.,(2)在棱sc上是否存在异于s，c的点f，使得bf平面sad？若存在，确定f点的位置；若不存在，请说明理由.,解答,假设在棱sc上存在异于s，c的点f，使得bf平面sad. bcad，bc平面sad. bc平面sad.而bcbfb

8、， 平面fbc平面sad. 这与平面sbc和平面sad有公共点s矛盾， 假设不成立. 不存在这样的点f，使得bf平面sad.,命题点3证明唯一性命题 例5已知a0，证明关于x的方程axb有且只有一个根.,证明,假设x1，x2是它的两个不同的根，,即ax1b， ax2b， 由得a(x1x2)0， 因为x1x2，所以x1x20， 所以a0，这与已知矛盾，故假设错误. 所以当a0时，方程axb有且只有一个根.,应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤： 第一步：分清命题“pq”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q； 第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果； 第四

9、步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真. 所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果.,思维升华,跟踪训练3已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且00.,证明,f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，,f(x)0有两个不等实根x1，x2，,f(c)0，x1c是f(x)0的根，,证明,典例(12分)直线ykxm(m0)与椭圆w：y21相交于a、c两点，o是坐标原点. (1)当点b的坐标为(0,1)，且四边形oab

10、c为菱形时，求ac的长； (2)当点b在w上且不是w的顶点时，证明：四边形oabc不可能为菱形.,反证法在证明题中的应用,思想与方法系列23,思想方法指导,规范解答,在证明否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意： (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的. (2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法. (3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去.,返回,(1)解因为四边形oabc为菱形，,则ac与ob相互垂直平分.,由

11、于o(0,0)，b(0,1)，,(2)证明假设四边形oabc为菱形，,因为点b不是w的顶点，且acob，所以k0.,设a(x1，y1)，c(x2，y2)，则,因为m为ac和ob的交点，且m0，k0，,所以oabc不是菱形，与假设矛盾.,所以当点b不是w的顶点时，四边形oabc不可能是菱形. 12分,返回,课时作业,1.(2017泰安质检)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是 a.方程x2axb0没有实根 b.方程x2axb0至多有一个实根 c.方程x2axb0至多有两个实根 d.方程x2axb0恰好有两个实根,答案,解析,因为“方程x2axb0至

12、少有一个实根”等价于“方程x2axb0有一个实根或两个实根”，,所以该命题的否定是“方程x2axb0没有实根”.故选a.,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,a.(3,0) b.3,0c.3,0) d.(3,0,解得3k0.,6,当且仅当xyz时等号成立.,答案,解析,a.都大于2 b.至少有一个大于2 c.至少有一个不小于2 d.至少有一个不大于2,所以三个数中至少有一个不小于2，故选c.,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,4.已知p3q32，证明：pq2.用反证法证明时，可

13、假设pq2； 若a，br，|a|b|1，求证：方程x2axb0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|1.以下结论正确的是 a.与的假设都错误 b.的假设正确；的假设错误 c.与的假设都正确 d.的假设错误；的假设正确,答案,解析,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,对于，结论的否定是pq2，,故中的假设错误； 对于，其假设正确，故选d.,6,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,a.都不大于2 b.都不小于2 c.至少有一个不大于

14、2 d.至少有一个不小于2,所以三者不能都大于2.,6,6.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2bxc0 (a0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是_.,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,假设a，b，c都是偶数； 假设a，b，c都不是偶数； 假设a，b，c至多有一个偶数； 假设a，b，c至多有两个偶数.,答案,解析,“至少有一个”的否定为“都不是”，故正确.,6,7.(2016全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的

15、卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.,答案,解析,1和3,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知， 丙为“1和2”或“1和3”， 又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”， 所以乙只可能为“2和3”， 又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”， 所以甲只能为“1和3”.,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,若二次函数f(x)0在区间1,1内恒成立，,8.若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1，在区间1,1内至少存在一点c，使f(

16、c)0，则实数p的取值范围是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,证明,因为m0，所以1m0. 所以要证原不等式成立， 只需证(amb)2(1m)(a2mb2)， 即证m(a22abb2)0， 即证(ab)20，而(ab)20显然成立， 故原不等式得证.,6,10.设f(x)ax2bxc(a0)，若函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f(x )为偶函数.,证明,由函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，可知f(x1)f(x).,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13

17、,6,(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；,证明,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,任取x1，x2(1，)，,又x110，x210，,不妨设x10.,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,故函数f(x)在(1，)上为增函数.,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,(2)用反证法证明方程f(x)0没有负数根.,证明,假设存在x00(x01)满足f(x0)0，,a1，0 1，,故方程f(x)0没有负数根.,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,(1)f(x)1xx2；,所以f(x)1xx2.,证明,6,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,证明,6,1,2,