抽样及参数估计-3参数估计

1、2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,1,第五章 抽样推断,第三节 参数估计,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,2,统计估计问题的产生,以下情况会导致统计估计问题： 需要估计分布类型的问题 在许多实际问题中，总体被理解为我们所研究的某个统计指标，它在一定范围内取值，而且以一定的概率取各种可能的值，从而形成一个概率分布 而这个概率分布往往未知。如，为了制定绿色食品的有关规定，需要研究蔬菜中残留农药的分布状况。对这个分布我们知之甚少，甚至不清楚它属于何种类型的分布 需要估计分布参数的问题 有时分布类型已知，如，在农民收入调查中，根据实际经验和理论分析，可以断定收入服从正态分布

2、但分布中的参数未知，需要估计,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,3,统计估计的类别,统计估计问题专门研究由样本估计总体的未知分布或分布中的未知参数的问题 分为：非参数估计和参数估计 直接对总体的未知分布进行估计的问题为非参数估计 对分布的未知参数进行估计，称为参数估计,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,4,参数估计在统计估计问题中的地位,统计估计方法,非参数估计,参数估计,点估计,区间估计,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,5,参数估计的基本方法,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,6,一、估计量与估计值,2020年7月26日,非统计学专业本科3学

3、分,7,估计量：用于估计总体参数的样本统计量 如样本均值、样本比例(成数)、样本方差等 例如：样本均值就是总体均值 的一个估计量 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体数值 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值 注：有时，对估计量和估计值并不刻意区分，都称为估计，根据上下文很容易明确其指代,估计量与估计值 (estimator & estimated value),随机变量,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,8,一个总体参数的估计,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,9,二、估计量的优良标准 评价估计量的标准,所谓优良估计量，是从总体上来评价的 对于总体的同一参

4、数，可以有不同的估计量。例如，估计总体平均指标，可以用样本平均数，也可以用样本中位数，用哪种估计量更好呢？ 希望选择一个相对优良、估计效果更好的估计量。 什么样的估计量才算是一个好的估计量呢？ 这就需要有一定的评价标准。统计学家给出了评价估计量的一些标准 一个优良估计量主要需要符合下面三个标准：无偏性、有效性、一致性,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,10,(一)无偏性(unbiasedness),估计量(随机变量)的数学期望等于被估计的总体参数 中心极限定理证明了：样本平均数、样本成数都满足无偏性,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,11,(二)有效性(efficien

5、cy),对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效,样本平均数比中位数更有效,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,12,(三)一致性(consistency),随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数 大数定律已经证明了：样本平均数和样本成数都满足一致性,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,13,三、总体参数的点估计和区间估计,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,14,参数估计的方法 点估计和区间估计,估 计 方 法,点估计,区间估计,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,15,(一)点估计/定值估计 (point est

6、imate),做法：用样本估计量的值直接作为总体参数的估计值 例：用样本均值直接作为总体均值的估计 例：用样本成数直接作为总体成数的估计 例：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计 缺点：没有考虑抽样误差的大小，没有给出估计值接近总体参数的程度，即，它没有给出一个用于衡量估计值的可靠程度的度量 点估计的方法： 矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等 点估计方法是区间估计的基础,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,16,点估计缺陷的弥补区间估计,虽然点估计可以给出未知参数的一个估计，但不能给出估计的精度 人们希望利用样本给出一个范围，要求该范围以足够大的概率包含待估参数

7、真值 这就是区间估计问题,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,17,(二)区间估计 (interval estimate),构造置信区间(confidence interval)： 由样本统计量加减一个误差范围得到总体参数的一个区间范围 同时指出了总体指标落在这一区间范围内的可能性大小，即给出了做出这种结论的概率保证程度，F(t)/置信度/置信水平(1- ) (confidence level),抽样极限误差,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,18,置信区间的三要素,总体参数的区间估计必须同时具备三个要素： 点估计值（区间的中心） 抽样极限误差（区间的半径） 概率保证程度

8、 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,19,区间估计的基本原理,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,20,区间估计的图示,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,21,置信区间与置信水平,均值的抽样分布,用某一具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值 我们只能希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个,(1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含,2020年7月26日,非统计学专业

9、本科3学分,22,总体参数区间估计的特点： 根据给定的概率保证程度的要求，利用实际抽样资料，指出总体被估计值的上限和下限，即指出总体参数可能存在的区间范围，而不是直接给出总体参数的估计值。,总体参数的区间估计必须同时具备的三个要素: 点估计值（区间的中心） 抽样误差范围（区间的半径） 置信水平/概率保证程度（1-）,抽样误差范围决定估计的精度而概率保证程度则决定估计的可靠性,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,23,1.实践中对区间估计的基本要求 置信度和精确度,置信区间的各要素给出的含义不同： 说明了区间估计的精确性 越小，置信区间越窄，估计的精确性越高，但可靠度会降低 反之， 越

10、大，置信区间越宽，估计的精确性越低，但可靠度会提高 置信度F(t)则说明了区间估计的可靠程度 F(t)越高，置信区间越宽，估计的可靠性越高，但精确性却降低了 相反， F(t)越低，置信区间越窄，估计的可靠性越低，但精确性却提高了 由此可见，区间估计中精确性与可靠性是互相矛盾的两个方面，二者依照一定的联系而此消彼长 因此，在实践中，根据对精确性和可靠性的要求不同，研究者有时先主观确定，有时先主观确定F(t),2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,24,2.区间估计方法,围绕置信区间的三要素展开,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,25,区间估计做法1,情况1：在已经主观确定了抽

11、样误差范围的情况下进行区间估计 (1)抽取样本，计算抽样指标，如计算样本平均数或样本成数，作为相应总体指标的点估计值，并计算样本标准差以推算抽样平均误差（抽样标准误） (2)根据给定的抽样误差范围，给出总体参数估计的上、下限 (3)将抽样误差范围除以抽样平均误差求出概率度t值，再根据t值查“正态分布概率表”求出相应的置信度F(t),2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,26,区间估计做法2,情况2：在已经主观确定了置信度F(t)的前提下进行区间估计 （1）抽取样本，计算抽样指标，如计算抽样平均数或抽样成数作为相应总体指标的估计值，并计算样本标准差以推算抽样平均误差 （2）根据给定的置信

12、度F(t)要求，求得概率度t值 （3）根据概率度t和抽样平均误差来推算的可能范围，再根据求出被估计总体指标的上下限，对总体参数做区间估计,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,27,区间估计综合例题,例某外贸公司出口一种茶叶，规定每包规格不低于150克，现用不重复抽样方法从中随机抽取1%进行检验，抽检结果如表所示：,要求： （1）以允许误差范围0.2克，估计该批茶 叶每包平均重量的区间及其概率保证程度。 （2）茶叶包装合格率的误差范围不超过 6%，估计包装合格率的区间及其概率 保证程度。 （3）要求以95.45%的概率保证程度， 估计该批茶叶每包平均重量的区间。 （4）要求以95.45

13、%的概率保证程度， 估计该批茶叶的包装合格率的区间。,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,28,计算表,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,29,解答,要求（1）：以允许误差范围0.2克，估计该批茶 叶每包平均重量的区间及其概率保证程度。 计算过程为,上限= =150.3+0.2=150.5克 下限= =150.3-0.2=150.1克 查概率表： 该批茶叶每包平均重量落在区间150.1，150.5克内，概率保证程度为97.91%。,要求（2）：茶叶包装合格率的误差范围不超过6%，估计包装合格率的区间及其概率保证程度 计算过程为： 上限= =70%+6%76% 下限= =7

14、0%-6%64%,查概率表： t1.32时 该批茶叶的包装合格率落在区间64%，76%内，概率保证程度为81.32%。,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,33,要求(3)：以95.45%的概率保证程度，估计该批茶叶每包平均重量的区间 计算过程为： 上限= =150.3+0.1734=150.47克 下限= =150.3-0.1734=150.13克 以95.45%的概率保证程度估计该批茶叶每包平均重量在区间150.13，150.47内。,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,34,要求（4）：以95.45%的概率保证程度，估计该批茶叶的包装合格率的区间 计算过程为： 上限=

15、 =70%+9.12%79.12% 下限= =70%-9.12%61.88% 以95.45%的概率保证程度估计该批茶叶包装合格率的区间为61.88%，79.12%。,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,35,注意：抽样平均误差和抽样极限误差的关系,抽样平均误差是客观存在的，根据抽样方法、总体离散度以及n大小可以计算出来，是抽样误差的衡量指标之一 抽样极限误差是人为规定的。现实实践中总是通过人为规定来规定抽样推断的精度大小 和通过概率度t连接到一起：=t 客观存在，因此人为规定和人为规定t或F(t)是等价的,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,36,区间估计方法,详细：分各种

16、具体情况的,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,37,总体均值的区间估计,重点： 一个总体均值的区间估计 大样本,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,38,总体均值的区间估计1,正态总体、已知 或者，大样本,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,39,总体均值的区间估计1,假定条件 总体服从正态分布,方差() 已知 若非正态分布，但是大样本(n 30)，可近似正态 总体均值在1-置信水平下的置信区间为,重复抽样,不重复抽样,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,40,总体均值的区间估计1(例题分析),【例】某种零件的长度服从正态分布，从某天生产的一批零件中重

17、复随机抽取了9个，测得其平均长度为21.4cm。已知总体标准差为=0.15cm。试估计该批零件平均长度的置信区间，置信水平为95%。,该批零件平均长度的置信区间在21.302cm21.498cm之间,解：已知N( , 0.152)，n=9, 1-=95%，t/2=1.96 总体均值在1-置信水平下的置信区间为,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,41,总体均值的区间估计1(例题分析),【例】在某天生产的500袋食品中，不重复随机抽取25袋进行检查，测得平均每袋的重量为996g。已知该种袋装食品的重量服从正态分布，且标准差为20g。试估计该种食品平均重量的置信区间，置信水平为95%。,

18、该种食品平均重量的置信区间为988.35g1003.65g之间,解：已知N(，202)，n=25, 1- = 95%，t/2=1.96 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,42,中心极限定理(central limit theorem),中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,43,总体均值的区间估计2,正态总体、未知、小样本,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,44,总体均值的区间估计

19、2,1.假定条件 总体服从正态分布,且方差() 未知 小样本 (n 30) 2. 使用 t 分布统计量,总体均值 在1-置信水平下的置信区间为,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,45,t 分布,t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,46,总体均值的区间估计2(例题分析),【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间,2020年7月26日,

20、非统计学专业本科3学分,47,总体均值的区间估计2(例题分析),该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时1503.2小时,解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131根据样本数据计算得： ， 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,48,总体比例的区间估计,重点： 一个总体比例的区间估计 大样本,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,49,总体比例的区间估计1(大样本，重复抽样),1.假定条件 总体服从二项分布，即考察0-1标志的分布特征 可以由正态分布来近似 使用正态分布统计量t,3. 总体比例P在1-置信

21、水平下的置信区间为,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,50,总体比例的区间估计2(大样本，不重复抽样),1.假定条件 总体服从二项分布 可以由正态分布来近似 使用正态分布统计量t,3. 总体比例P在1-置信水平下的置信区间为,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,51,总体比例的区间估计1(例题分析),【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机重复抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间,解：已知 n=100，p65% ， t/2=1.96,该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%74.35%,2020年7月26日,非统计学专业本科3学分,52,总体比例的区间估计2(例题分析),【例】某企业共有