第五章特征值和特征向量

1、第五章 特征值和特征向量,矩阵的对角化,矩阵的特征值 矩阵的特征向量 矩阵可对角化的条件,5.1 预备知识,一.向量的内积,在空间解析几何中,向量的内积(即数量积或点积)描述了内积与向量的长度及夹角间的关系.,内积定义 ：,夹 角 ：,向量的长度：,内积的坐标表示式 ：,令,称为向量x与y的内积.,定义1 设有n维向量,(1)向量x与y的内积是一个实数,注:,(2)常用符号(x,y)=x,y=xy.,(3)零向量与任一向量的内积为0.,当x与y都是列向量时,可以用矩阵乘法表示内积为,例1,已知,=(1,2,1,1)T,=(2,3,1,1)T,则, =,=12+23+(1)1+1(1)=6,也称

2、点积,数量积.,“”,x,y=xTy =yTx,不可省略.,性质:（其中x, y, z 为n 维向量， 为实数):,（1）,（2）,（3）,（4） 当且仅当 时等号,成立.,(以上性质显然成立),定义2,称为 维向量 的长度（或范数）.,令,设x=(x1, x2, , xn)T,显然|x|0, 当|x| =1时, 称x为单位向量,零向量的长度为0., =(a1, a2), =(a1, a2 , a3),n维向量的长度是二维、三维的推广.,在R2中，,在R3中，,证:,向量的长度具有下述性质：,（1）非负性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,为实数,（1）显然成立.,下面证明（2）和（3）.

3、,即数乘向量x的长度|x|等于| |与|x|的乘积.,(2),根据上式可知，,设是非零向量，,是一个单位向量.,则,这是因为,任一非零向量除以它的长度后,就成了单位向量.,这一过程称为将向量单位化.,(3),所以,由此得,当且仅当 x与y线性相关时，等号才成立,对任意n维向量x, y,Cauchy-Schwarz不等式：,有,此不等式还可表示为,如果x与y线性相关，不妨设y =kx, 则有,证：,x,y2,设x与y线性无关，,tx+y0，,tx+y, tx+y0,即,t2x,x+2tx,y+y,y 0,的判别式一定小于零.,即,x,y2x,xy,y0,或,x,y2x,xy,y,那么对于任意实数

4、t 来说，,于是,最后不等式左端是t的一个二次三项式，由于,它对于t的任意实数值来说都是正数，所以它,=x, kx2,=k2x,x2,=x,xy,y,定义3 当 时，,定义4 当 时，,称为 维向量 与 的夹角.,称向量 与 正交(或垂直).,定义4,，则称x与y正交.,如果x与y的夹角为,显然，零向量与任何向量都正交.,若一个向量组中任意两个向量都正交，,若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量，,则称此向量组为,正交规范向量组或标准正交向量组.,则称此向量组为正交向量组.,定义5,例2,设=(1, 0, 2)T, =(1, 0, 1)T, 求与的夹角.,解:,=1 (1)+00+21=1,

5、所以,与的夹角 的余弦,例3,解:,=0,设=(1, 1, 1)T, =(1, 0, 1)T, 求与的夹角.,例4,Rn中的e1,e2,en 是一组两两正交的向量,若ij, 显然有eiej =0,例5,是R4的一个标准正交向量组.,可以验证,的非零向量组，,证：,k11+k22+ +krr=0,=i(k11+k22+ +krr),但ii 0,则1, 2, , r线性无关.,若n维向量1, 2, , r是一组两两正交,设有实数k1, k2, , kr,使得,因为当ij时, i j =0,所以,所以,1, 2, , r线性无关.,定理1,0,=i0,= ki (ii),所以ki=0 , i=1,

6、2, , n.,定理3,Rn中任一非零正交向量组中向量的个数,不会超过n.,在Rn中,如果与1,2,r中每一个向量正交,证：,k11+k22+krr为1,2,r的一个线性组合,因为i=0 (i=1, 2, ,r),所以,定理2,则与1,2,r任意一个线性组合也正交.,求非零向量 ,使 成为正交向量组.,已知,设,则,例6,解：,即,由,得,从而有基础解系,取,即合所求.,二. Schmidt正交化方法,设,是Rn中的两个向量，,定义,记,称,为向量在上的投影纯量.,记,称向量 为向量在上的投影向量.,Schmidt正交化方法是将一组线性无关的向量,作如下的线性变换，化为一组,与之等价的正交向量

7、组 的方法：,1. Schmidt正交化,令,可以证明：,两两正交，,且对任何,2. 标准化（单位化）,令,则1, 2, r就是一组长度都是1的正交向量组.,先正交化，后标准化，次序不可颠倒.,注：,例7 将,正交规范化.,先将1， 2， 3进行正交化，取,解:,再将它们单位化，取,则 即为所求.,例8 已知1 =(1, 2, 2)T, 求非零向量2,3,2,3应满足方程1Tx=0，,它的基础解系为,取2=1=,使1,2,3成为正交向量组.,解:,即x1+2x2+2x3=0,将1,2正交化,3=2,则2,3就是所求.,定义6 如果n阶方阵A 满足,正交矩阵,（即A1= AT ）,那么称A为正交

8、矩阵(简称正交阵).,正交矩阵具有如下性质：,1. 若A是正交矩阵，则A1和AT也是正交矩阵.,2. 两个正交阵的乘积仍是正交阵.,3. 正交阵的行列式等于1或1.,4. 正交阵的同一行(列)的元素的平方和等于1.,5. 正交阵的两不同行(列)的对应元素乘积之和 等于0.,证：,1. 因为(A)=A, 所以A =A1也是正交阵.,2. 设A, B都是正交阵, 则,(AB)(AB)=,3. 设A是正交阵,而|AA|=,因此|A|2=1,(AB)(BA)=,A(BB)A=,AEA=,AA=E,则 AA=E,|AA|=|E|=1,|A|A|=,|A|2,即|A|=1,设A是正交阵, 即 AA=E,其

9、中i=(ai1, ai2, , ain).,4. 和 5.,将A写成行向量的形式,则A的转置A=,其中,其中,当i=j时，,当ij时，,这样，性质4. 和5.得证.,列的情况可以通过 AA=E 加以证明,定理4 A为正交矩阵的充要条件是,A的行（列）向量组为正交规范向量组.,证：,由性质4,5可以直接推出,正交矩阵举例：,(1) n 阶单位矩阵En,(2),例9,已知A是正交阵，求x.,解：根据定理4,设,则11=1,即(2x)2+02+02=1 x=,设,设 为正交变换，则有,定义7 若P为正交矩阵，则线性变换,这说明，正交变换不改变向量的长度.,称为正交变换.,5.2 特征值和特征向量,概

10、念,定义1 设A是 n阶方阵，如果数和n维非零,相应的非零列向量x称为,A的对应于特征值 的特征向量.,方阵A的特征值；,列向量x使关系式,Ax=x (1),成立，则称是,此处可能是复数，,注：,也可能是复数.,A的元素和x的分量,(E A)x=0 ),此为n 元齐次线性方程组,(AE )x =0,| A E| =0,将(1)改写成,( 或改写为,它有非零解的充要条件是,(2),即,定义,称为A的特征矩阵;,其行列式|AE| 是的n次多项式,记为f () ，,显然，A的特征值就是A的特征方程,方程|AE| =0,称为A的特征方程.,|AE| =0的根，,因此，特征值也称为特征根.,称为A的特征

11、多项式;,A为n阶方阵，,含有未知量的矩阵AE,方程组(AE)x =0的每一个非零解向量，都是与相应的特征向量.,定理1 任一n阶矩阵A必有n个复的特征值.,证: 因为一元n次方程必有n个复数根(包括重根),所以特征方程| AI | =0有n个复数根，,即A有n个复的特征值.,定理2 若x是A的关于特征值0的特征向量,证:,若Ax=0 x， Ax= 0 x,则0 x=0 x，,x0，,且又是关于特征值0的特征向量,则0=0, 00=0,(00)x=0,定理3,证:,(其中k1，k2为任意常数，且k1 +k20).,k1 +k2也是(AE) x=0解.,设和 均是A的特征值的特征向量，则,线性组

12、合k1 +k2也是A的特征值的特征向量.,根据定义, , 均为齐次线性方程组,(AE)x=0的解,由齐次线性方程组的解的性质，,已知,试确定参数 a, b,由特征值和特征向量的定义可知，,及特征向量 所对应的特征值.,例1,是,的一个特征向量，,解:,即,于是,所以,故,特征值和特征向量的求法,（1）求出 阶方阵 的特征多项式,求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤：,（2）求出特征方程 的全部根 ，,（3）把每个特征值 代入线性方程组,即是 的特征值；,求出基础解系，,基础解系的线性组合（零向量除外）就是A,对应于 的全部特征向量,(AE )x =0,例2 求矩阵 的特征值和特征向量,解: A

13、的特征多项式为,所以 A的特征值为,当 时，对应的特征向量应满足,于是， 的对应 的全部特征向量为,容易求得方程组的一个基础解系为,当 时，,（ 为常数）,解得基础解系,于是， 的对应 的全部特征向量为,特征值和特征向量的性质,设 A是n阶方阵，,则 A与 AT有相同的特征值.,(特征向量未必相同),定理4,证:,因为,(AE)T,|ATE|,所以,=AT (E)T,=AT E,= | ( AE)T|,= |AE|,即 A与 AT有相同的特征多项式，从而有相同,的特征值.,*定理5 设是方阵 A的特征值，k, m是正整数，则,(1) c是cA的特征值(c是任意常数).,(2) 当A可逆时，1是

14、A1的特征值.,(3) k是 Ak的特征值 .,*(4),是,的特征值.,证:,(1),所以 c(Ax)=c( x),(2),因为 Ax=x, 且A可逆,x=(A1x),所以 A1(Ax) =A1(x),即,A1x=,即(cA)x =(c)x.,因为 Ax= x,=(A1x),(3),因为 Ax=x,两端同时左乘 A，得,A2x=A(x),= (Ax),= 2x,两端再同时左乘 A，得,A3x=A(2x),= 2(Ax),= 3x,依此类推，得,Amx=mx,(4),可由(1)，(3)推出,定理6 设 阶方阵 的 个特征值为,(1),角元之和，称为矩阵A的迹,(2),n阶方阵A可逆的充要条件是

15、它的,则,推论,任一特征值都不等于零.,是A的主对,其中,记作tr(A),定义,的迹，,矩阵的迹有如下的性质：,(1) tr(A+B)=trA+trB,(3) tr(AT) = tr(A),(2) tr(kA)=ktr(A),n阶方阵A的主对角线上元素之和称为矩阵A,记为,tr(A).,即,tr(A)=a11+a22 +ann,(4) tr(AB)= tr(BA),(5) tr(ABC)= tr(CAB) = tr(BCA),A, B, C均为n阶方阵,定理6的证明：,把矩阵A的特征多项式|EA|记为fA(),将这个行列式展开，得到一个关于的n次多项式，,其最高次项n出现在主对角元的乘积,(a

16、11)(a22)(ann),中，,主对角线上的元素，,行列式的展开式中其余的项至多含有n2个,因此，,(a11)(a22) (ann)中.,fA()= n(a11+a22+ann)n1+ (1),这里没有写出的项的次数至多是n2.,在(1)式中，令=0, 得到fA(0)=(1)n|A|,fA()是(a11) (a22) (ann),因此，fA()中次数大于n2的项只出现在乘积,和一个至多是的一个n2次多项式之和.,也就是说，A的特征多项式fA()=|EA|的常数项,等于(1)n|A|.,所以,设1 ， 2 ， ，n是矩阵A的全部特征根，,fA()= (1)(2) (n),=n(1+n)n1+(

17、1)n12n,因此, 有1+2+n=a11+ann,12n =|A|,那么,定理7 设 是方阵 的 个特征值，,依次是与之对应的特征向量.,如果 各不相等，则,线性无关.,(证明参见教材),注：方阵A的同一特征根的特征向量未必线性相关.,例3 三阶方阵 A的三个特征值分别为,求,故A可逆,而,所以,解：,所以(A),的特征值为,则(A)的特征值为,若A的特征值为,于是,设有四阶方阵A满足条件|3E+A|=0, AA=2E,例4,由|3E+A|=0，有| A(3)E|=0,解:,又|AA|=|2E|=24|E| =16,所以|AA|=|A|A|=|A|2=16,|A|=4,A*的一个特征值.,|

18、A|0, 其中E是四阶单位阵. 求方阵A的伴随阵,=3.,因为 |A|0, 所以 |A|=4.,得A的一个特征值,设A的属于= 3的特征向量为 ，则,A1 =,又,所以|A|A1 =,即,A*=,A*=,故,A*的一个特征值为,|A|=4， A*= |A|A1,例5,设方阵A满足AA=E, |A|0, 其中A是A的转置,证明:,设为A的实特征向量，其所对应的特征值为，, (2 1)=0,AA= 2,因为为实特征向量，所以， 0,2 = 0 | |=1,A=,则,A= ,(A)=(),A(A)= (),由AA=E, = 2,特征值的绝对值等于1.,E为单位阵. 试证A的实特征向量所对应的,例6,

19、设矩阵A满足A2 3A+2E=0, 证明A的特征值只能,证:,设为A的特征值，,= (2 3+2),所以2 3+2=0，,故 =1 或 2,则 A =，,于是,取值或 2.,为其对应的特征向量( 0),0=(A23A+2E),=A2 3A + 2,因为 0，,应用（发展与环保问题）,为了定量分析工业发展与环境污染的关系， 某地区提出如下增长模型：,和 为第 个周期后的污染损耗和工业产值.,即,或,由此模型及当前的水平 ，可以预测若干,发展周期后的水平：,下面利用矩阵特征值和特征向量的有关性质，,A的特征多项式为,所以，A的特征值为,来计算A的幂.,为此，先计算 A的特征值.,对于特征值 ，解齐

20、次线性方程组,的一个特征向量,对于特征值 ，解齐次线性方程组,的一个特征向量,可得 的属于,可得 的属于,如果当前的水平 恰好等于 ，则 时，,即,它表明，经过n个发展周期后，工业产值已达,到一个相当高的水平,，但其中一半被,污染损耗(2n)所抵消，造成资源的严重浪费.,如果当前的水平 ，则不能直接,应用上述方法分析.,于是,此时由于,特别地，当 时，污染损耗为,由上面的分析可以看出：,工业产值为 ，损耗已超过了产值，,经济将出现负增长.,尽管 的特征向量 没有实际意义,的线性组合,从而在分析过程中， 仍具有重要作用.,5.3 相似矩阵,概念与性质,定义1 设A,B都是n阶方阵，若有可逆矩阵P

21、 ，,对 进行运算 称为对 进行相似变换.,可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵.,使,则称B是A 的相似矩阵，或说矩阵A与B相似.,相似矩阵有下列基本性质：,(1) 反身性 :,(2) 对称性 :,(3) 传递性:,A与A 相似,若A与B 相似，则B与A也相似,若A与B 相似，B与C相似，则A与C相似,(A, B, C为n阶方阵),(根据定义可直接推出上述性质),若A与B相似，则,(1) A与 B有相同的特征多项式和特征值；,(2),(3),(4) Am与Bm也相似，其中m为正整数.,(5) 相似矩阵或都可逆或都不可逆，,定理1,当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.,(证明参见教材),定理2

22、,证:,若P1AP=B， 0是A与B的某个特征值，,若x是A关于 0的特征向量，,P 1x是B 的关于0的特征向量.,根据已知, Ax=0 x,即P1x是B的关于0的特征向量.,B(P1x)= P10 x,两边同时左乘P1,PBP1x=0 x,则,A=PBP1,所以,即,又因为P1AP=B,得到,= 0 (P1x),定理3,证:,若n阶方阵A与对角阵,由定理1, 相似阵有相同的特征值,则1, 2, n是A的n个特征值.,相似,也是 A的特征值.,因此1, 2, n既是的特征值,矩阵可对角化的条件,使 P1AP= 为对角阵,若方阵A相似于一个对角矩阵,定义,则称A可以对角化.,使 为对角阵.,把

23、方阵A对角化，,即存在可逆阵P,即求相似变换阵P,如果n阶方阵A有n个互不相等的特征值，,是A有n个线性无关的特征向量.,则A与对角矩阵相似.,定理4,n阶方阵A相似于n阶对角矩阵的充要条件,推论,(证明参见教材),从定理的证明过程中，我们可以看出把一个,(1) 先求出A的全部特征根.,*(3) 如果对每一个特征根来说, 相应的齐次线性,(2) 对每一个特征根，求出齐次线性方程组,(AE)X=0的基础解系.,数, 则A可以对角化, 否则不能对角化.,方程组的基础解系所含解向量的个数等于的重,矩阵对角化的具体步骤：,(4) 以这些解向量为列, 作一个n阶矩阵P, 则,P1AP为对角形矩阵.,例1

24、,求可逆矩阵P, 使P1AP为对角矩阵.,A=,解：,A的特征多项式为|EA|=(2)2(+4),(1) 当1 =4时， 代入齐次线性方程组,特征根为1 =4，2 =3 =2,(E A)x=0,即,基础解系为,(2)当2 = 3 =2时，代入齐次线性方程组,即,基础解系为,(E A)x=0,A有3个线性无关的特征向量，因此 A可以对角化,取,则P1AP=,例2,的特征值为1=2 =3， 3 =12，求x值，,已知矩阵A=,解:,根据1 +2 +3 =a11+a22+a33,于是3 +3 +12 =7+7+x,得 x =4,并问矩阵A是否可以对角化.,对于1 = 2 = 3，,解齐次线性方程组(

25、3EA)X=0,即,得特征向量,对于3 = 12，,解齐次线性方程组(12EA)X=0,即,得特征向量,因此1, 2, 3线 性无关，故矩阵A可对角化,例3,相似，求x，y值.,设方阵A=,解,(1)2(x)16(x) 8(1)+32=0 (*),由对角阵的对角元素与原方阵特征值的关系，,与对角阵=,由|EA|=0,有,可知=5, = 4均为方程(*)的解，于是,将 = 4代入方程(*)，得,25(x+4) 16(x+4)72=0,又 1 +2 +3 =a11+a22+a33,即 1+4+1=5+y 4, x=4, y=5,例4 已知矩阵,（1）求 与 ；,（2）求一个可逆矩阵 ，使,（3）求

26、,解： (1) 因A与B相似，故,即,将 代入有 ；,（2） 的特征值为1，2， 2，,将 代入有,解齐次线性方程组,可分别求得A的特征值对应的特征向量,于是所求可逆矩阵,使,（3）由于 ，于是,所以,设A=,使P1AP=,再求An,求：An,例5,解：,先求P，,容易求出A的特征值为1，1，0,= PP1n,= PnP1,5.4 实对称矩阵的相似矩阵,定义,设A,B是两个n阶实矩阵,如果存在一个,对于正交阵P,正交阵P,使得P1AP =B,则称A与B正交相似.,因此,此时有PAP =B.,有P1=P,实对称矩阵特征值的性质,实对称矩阵A的特征值均为实数.,定理1,证：,设是A的特征值，,并设

27、 x=(x1,x2,xn)T0,是的特征向量,(1)式两边取共轭，,则,Ax=x (1),根据共轭复数的性质，有,因为A是实对称矩阵，,(2),有,(2)式两边取转置，,则,上式两边同时右乘x，,所以,即,但,x0,所以,因此,实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交.,定理2,证：,设1,2是实对称阵A的两个不同特征值，,1 ，2分别是1, 2特征向量，,则,由,得,上式两边同时右乘2 ，,有,因此有,因为,所以,即,即,1 ，2正交 .,注：,普通方阵A的属于不同特征值的特征向量,线性无关.,设是n阶实对称矩阵A的r重特征值，,定理3,特征值恰有r个线性无关的特征向量.,则矩阵A E

28、的秩为nr，从而对应,(证明略),实对称矩阵的相似理论,定理4 任意实对称矩阵A都与对角矩阵相似.,定理5,设A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩,阵P,使P1AP=, 其中是以A的n个特征值,为对角元素的对角矩阵.,(以上两个定理的证明参见教材),实对称矩阵对角化方法,n阶实对称矩阵A对角化的具体步骤:,(2) 求出A的属于各特征值的特征向量，将属于,(3) 将所求的正交向量组单位化.,(4) 用已标准正交化的特征向量作为列向量,得到正交阵P.,同一特征值的特征向量用施密特方法正交化.,(1) 求出A的所有特征值,例1 设,求一个正交矩阵P，,使 为对角矩阵.,A的特征方程为,解:,当 时，解方

29、程组 得,基础解系,单位化后得,当 时，解方程组,故 的特征值为,得基础解系,这两个向量已是正交，故只须将其单位化, 得,于是求得正交矩阵,使,此时须先将 正交化,值得注意的是，对于 的二重特征值,上面求得的 碰巧是正交的，,故不必正交化，只要单位化即可.,但如果求得的基础解系为,取,再单位化，得,于是又得正交矩阵,使,这也说明，定理5中的正交矩阵P是不唯一的.,设6, 3, 3为实对称阵A的特征值，属于3,例2,(1) 求属于6的特征向量.,(2) 求矩阵A.,的特征向量为,解:,设属于6的特征向量为,由定理知, 属于实对称阵的不同特征值的特征向量正交,所以有(1, 0, 1),=0,(1,

30、 2, 1),=0,于是有,即,基础解系为,可以验证：,已正交,将它们单位化,则所求 正交阵为,例3,A的特征方程为：,得A的特征值 1= 1， 2 =2， 3=5,求正交阵T，使T-1AT为对角阵。,为实对称矩阵，,设,解：,将 1=1代入方程 (A E)X=0 ，,得一属于1=-1的特征向量,将 2=2代入方程 (A E)X=0 ，,得一属于2=2的特征向量,将 3=5代入方程 (A E)X=0 ，,得一属于3=5的特征向量,已两两正交,分别属于三个不同的特征值,所以,因为,再把,单位化：,取正交阵,于是有T-1AT= ,一 关于特征值和特征向量的重要公式和结论,第五章小结,设A是 n阶方

31、阵，如果数和n维非零列向量x使关系式,Ax=x 成立，,则称是A的特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值,的特征向量.,可能是复数，,A的元素和x的分量也可能是复数.,注：,A必须是方阵.,(一)概念,1. 是A的特征值,|AE| =0 ,(AE) 不可逆,2. x是 的特征向量,x是方程组(AE)x =0的非零解,4. 若是A的关于特征值的特征向量,则k(k0)也是 A的关于的特征向量.,3. 若是A的关于特征值的特征向量, 则A与线性相关.,5.若, 都是A的特征值的特征向量，则k1+k2 也是的特征向量.,(其中k1，k2为任意常数，且k1 +k20).,(二) 重要公式和结论,1.

32、任一n阶矩阵A必有n个复的特征值.,但特征矩阵和特征向量不一定相同.,2. A与AT有相同特征多项式、特征方程、特征值,3. 设1, 2, ,n是n阶方阵A=(aij)的特征值，则,推论:A可逆的充要条件是A的特征值均不为0 .,4.设是A的k重特征值, 则 k n R(AE).,6.设1, 2, n是A的一组特征向量,如果其中属于同一,5.设1,2,m是方阵A的m个特征值，且互不相等，,p1, p2, pm依次是与之对应的特征向量，则,注：方阵A的同一特征根的特征向量未必线性相关.,p1, p2, pm线性无关.,特征值的特征向量构成的部分都线性无关，,则1, 2, n也线性无关.,7.设1

33、,2是方阵A的两个特征值，且12 ，,分别是1,2的特征向量，,p1, p2,则p1+ p2不是A的特征向量.,8.设是方阵A的特征值, k是常数，m是正整数,则 kA, A2, Am, aA+bE, f(A), A1, A* 分别有特征值,为 k, 2, m , a+b, f(), -1 ,设x是A的对应于特征值的特征向量,则x也是kA, A2, Am, aA+bE, f(A), A1, A* 对应于特征值,k, 2, m , a+b, f(), -1 ,的特征向量.,9.设 f (x) 是多项式, A是n阶方阵， 是A的特征值,若A满足 f (A)=0, 则 满足 f ()=0.,注：若数

34、c满足 f (c)0 ,则 c 不是A的特征值,从而,|AcE| 0 ，即AcE可逆.,但是，当数c满足 f (c)=0 时, 不能确定c 是A的特征值,从而不能确定AcE是否可逆.,(三) 一些特殊矩阵的特征值和特征向量,1. n阶对角矩阵,3. n阶单位矩阵E的特征值都是1.,4. n阶零矩阵的特征值是0.,2. n阶数量矩阵aE的特征值都是a, 且任意n维非零列向量 都是它的特征向量.,的特征值是1, 2, n.,5. 设n阶方阵A (n1)的秩r (A)=1, 则A的n个特征值为,证：,因为r (A)=1, 所以A=0,即0是A的一个特征值，,其重数,又因为A的n个特征值之和为tr(A

35、),所以，A的n个特征值为,因此，当tr(A)=0时,A的n个特征值均为0，,其重数nnr(A)= n 1,此时A不可以对角化.,当tr(A)0时,特征值0的重数为n 1，,此时A可以对角化.,其重数=nr(A),如果方阵A 满足,（即A1= AT ）,那么A称为正交矩阵(简称正交阵).,三 关于正交矩阵的重要公式和结论,AAT=E,注：,通常用定义判断一个矩阵是否为正交矩阵.,1. 若A是正交矩阵，则A1和AT也是正交矩阵.,2. 两个正交阵的乘积仍是正交阵.,3. 正交阵的行列式等于1或1.,4. 正交阵的同一行(列)的元素的平方和等于1.,5. 正交阵的两不同行(列)的对应元素乘积之和等

36、于0.,重要公式和结论,6. A为正交矩阵的充要条件是,A的行（列）向量组为正交规范向量组.,设A,B都是n阶方阵，若有可逆矩阵P ，,使,则称B是A 的相似矩阵，或说矩阵A与B相似.,四 关于相似矩阵和对角化的重要公式和结论,相似矩阵有下列基本性质:,反身性, 对称性, 传递性,若方阵A相似于一个对角矩阵,则称A可以对角化.,若有正交阵P,使,则称A与B正交相似.,(此时有PTAP =B).,1.,2.,3.,4.,若A与B相似，则,(1) A与 B有相同的特征多项式和特征值；,(2),(3),(4) Am与Bm也相似，其中m为正整数.,(5) 相似矩阵或都可逆或都不可逆，,当它们可逆时，它

37、们的逆矩阵也相似.,(6) AT与BT也相似,A有n个互不相等的特征值, A有n个线性无关的特征向量.,判断一个n阶方阵A是否可以对角化的常用方法：,1. A可以对角化,2. A可以对角化,对于A的每个特征根，,其重数k =n R(AE).,3.,A可以对角化,五 关于实对称矩阵的重要公式和结论,1. 特征值均为实数.,2.属于不同特征值的特征向量相互正交.,3.对每个特征值，其重数k =n R(AE).,4. 实对称矩阵都可以对角化， 且可以正交对角化.,六. 典型例题,例1 设,(1) 求 A 的特征值,(2) 利用(1)的结果求 E+A1 的特征值, E是三阶单位阵.,解： (1),故矩

38、阵A 的特征值为：1, 1, 5.,(2)设矩阵A 对应于特征值 的特征向量为x, 则,Ax=x,于是,可得矩阵E+A1 的特征值为 2, 2,故知1+1是矩阵E+A1 的特征值,将=1, 1, 5代入1+1,注:,(1) 在计算EA时,尽量不要直接展开得一个,分解出一次因式.,(2) 在计算EA时,如果各行(或列)之和都相等,例如在例1中,计算EA时, 直接展开得,分解因式时可能会遇到困难.,通常把相等的部分提出来.或把某个不含的元素化为零.,三次多项式,通常是在计算EA的过程中,直接,例2,把|EA|的各列加到第一列,得,解：,求矩阵,的实特征值及对应的特征向量.,有唯一实特征值=1,解得

39、x1=x2=x3, 基础解系为=(1, 1, 1)T,故对应于=1的全部特征向量为k(1, 1, 1)T, k为非零常数.,对应=1, 由(1EA)x=0得,例3,选择题,(1) 设=2是非奇异矩阵A的特征值,则矩阵 有一特征值等于,(2) 若n阶矩阵A的任意一行中n个元素的和都是a, 则A的一个特征值为,(A) a,(B) a,(C) 0,(A) a1,( ),( ),(4) 设A为n阶可逆矩阵, 1, 2是A的特征值,(A) 1=2时, 1, 2一定成比例.,(B) 1=2时, 1, 2一定不成比例.,(C) 12时, 1, 2一定成比例.,(D) 12时, 1, 2一定不成比例.,1,

40、2是A的分别对应于1, 2的特征向量, 则,(3) 设A为n阶可逆矩阵, 是A的一个特征值,则A的伴随矩阵A*的特征值之一是,(A) 1|A|n,(B) 1|A|,(C) |A|,(D) |A|n,( ),( ),解：,(1),(2),B,A2有一特征值22 ，,A,有一特征值等于,有一特征值,所以,把|EA|的各列加到第一列,可提出公因子a ,所以，A的一个特征值为a .,(3),B,(4),D,当1=2为重根时, 可能有多于一个的线性无关的特征,向量，也可能只有一个线性无关的特征向量，所以,A, B均不成立 .,当12时, 1, 2属于不同的特征根，因此线性无关，,即 1, 2一定不成比例.,设1, 2是n阶矩阵A的不同特征值,1, 2是A的分别属于1, 2的特征向量，,例4,证明: 1+2不是A的特征向量,证：,用反证法,若1+2为A的属于某特征值的特征向量, 则由定义有,A(1+2)= (1+2),根据已知,从而有,A1=11, A2=22,得,A(1+2)= A1+ A2= 11+ 22,11+ 22= (1+2),即,( 1) 1+ ( 2)2= 0,因为1, 2属于不同的特征值, 所以1, 2线性无关,故1