刚体动力学解法经典例题详解与考试复习总结

1、理论力学考试答疑通知,答疑时间： 1月16日 8：30-11：30 下午 14：30-17：30 答疑地点：主北302 答疑教师：程耀、吕敬、梁伟 下午：王琪、王士敏、赵振,2,刚体动力学解法,3,质点系相对定点的动量矩定理,质点系相对质心的动量矩定理,表示质点系的牵连惯性力（作用在质心c）对a点的矩,一、动量矩定理,4,二、平面运动刚体惯性力系的简化,简化条件：刚体有质量对称面，且其平行于运动平面,惯性力向质心简化：,5,例题：若已知： 求: 平衡时的位置,例题：若已知： , 求: 平衡时的水平力f,6,求: 平衡时的位置.,1. 设系统有虚位移：,3. 设系统有虚位移：,2. 设系统有虚位

2、移：,7,解: 刚体系统动力学问题, 用动静法。,例题：若已知： , , . 求: 初始静止,求初瞬时两杆的角加速度.,(1) 研究整体, 受力分析。,8,(2) 方程:,(3) 研究ab杆, 受力分析。,(3) 方程:,9,对o点应用动量矩定理:,例题：若已知： , , i . 求: 初始静止,求冲击结束瞬时两杆的角速度.,解: (1) 整体冲量分析。,10,(2) 研究ab杆, 冲量分析。,应用动量定理:,对杆心应用动量矩定理:,也可以对空间与a点重合的固定点 a应用动量矩定理:,11,例：已知冲量i作用前系统静止， ，不计摩擦。求冲击结束时，滑块a的速度和杆的角速度。,解：应用冲量定理,

3、应用对固定点（与a点重合）的冲量矩定理,12,由前面的例子:,例题：若已知： , , i . 求: 初始静止,求冲击结束瞬时两杆的角加速度.,13,用动静法。,14,题：质量为m长为l的均质杆ab静止放在光滑水平面上，若在杆的b端垂直于杆作用一水平冲量i。求冲击结束后的瞬时，杆的角加速度和质心加速度。,(2) 碰撞结束后, 水平面内杆不受力:,(3) 碰撞结束后, 杆心将以 作匀速直线运动, 而杆将以初始角速度 (常数)匀速转动.,解：(1) 先求出碰撞结束的瞬时, 杆心的速度 和角速度;,15,思考题：质量为m长为l的均质杆ab静止放在水平面上，杆与水平面的滑动摩擦因数为f，若在杆的b端垂直

4、于杆作用一水平冲量i。求冲击结束后的瞬时，杆的角加速度和质心加速度。,解：(1) 先求出碰撞结束的瞬时, 杆上质点的速度分布;,应用冲量定理和冲量矩定理:,16,碰撞结束的瞬时, 杆上质点的速度分布:,17,碰撞结束的瞬时, 杆上质点的摩擦力分布:,质心运动定理和关于质心的动量矩定理:,18,试题: 质量各为m的两个相同的小球(视为质点)用长为l(不计质量)的细杆固连，静止放在光滑的水平面上，初始时b点的坐标为(0,l/2)，细杆在y轴上，如图所示。当小球a受到冲量i(平行于x轴)的作用后，系统在水平面内运动。求： (1) 冲击结束后的瞬时杆ab的角速度 ； (2) 系统在运动过程中杆的内力

5、； (3) 小球b的运动方程 ； (4)当杆ab第一次与x轴平行时，小球b运动轨迹的曲率半径。,19,(1) 冲击结束后的瞬时杆ab的角速度:,由冲量定理和(对质心c)冲量矩定理:,20,(2) 系统在运动过程中杆的内力 :,由于水平面内无作用力，故刚体将以不变的速率 运动，不计质量的杆 ab 是二力杆。,取小球 b 为研究对象:,21,(3) 小球b的运动方程 ；,由于水平面内无作用力，故刚体将以不变的速率 运动。,22,(4) 当杆ab 第一次与x轴平行时，小球b运动轨迹的曲率半径:,首次至图示位置：,23,24,例：半径为r，质量为m的均质圆环静止地放在粗糙水平面上，轮与水平面之间的滑动

6、摩擦系数为f。设在初始时刻(t=0)，圆环受到一水平通过环心的碰撞冲量s的作用，s位于圆环的所在平面内。试确定圆环的运动规律(即圆环中心的速度、位移随时间t的变化规律)，以环心初始时的位置为坐标原点。,解：(1) 碰撞结束的瞬时, 环心的速度和环的角速度分别为:,25,1. 运动的第一阶段(连滚带滑),可解得(积分并代入初始条件)：,设经过 时间，环达到纯滚动：,26,2. 运动的第二阶段(纯滚),可得：,可解得(积分并代入初始条件)：,27,如果考虑滚动摩擦阻力，滚动摩擦系数为。试求经过多少时间后圆环会停下来。,1. 运动的第一阶段(连滚带滑),可解得(积分并代入初始条件)：,设经过 时间，

7、环纯滚动：,28,2. 运动的第二阶段(纯滚),积分并代入初始条件：,滚动停止：,29,例：半径为r，质量为m的均质圆环静止地放在粗糙水平面上，轮与水平面之间的滑动摩擦系数为f。设在初始时刻(t=0)，圆环的初始速度和角速度分别为 。试确定圆环的运动规律(即圆环中心的速度、位移随时间t的变化规律)，以环心初始时的位置为坐标原点。,1. 运动的第一阶段(连滚带滑),可解得(积分并代入初始条件)：,30,设经过 时间，环达到纯滚动：,2. 运动的第二阶段(纯滚),如果:,则:,31,答: 运动微分方程为:_ 初始条件为:_,32,例：如图所示, 均质实心薄圆盘 a质量为m, 细铁环b质量为m, 半

8、径均为r, 二者用不计质量的细杆ab连接, 沿倾角为的斜面纯滚动. 初始时系统静止, 求杆ab沿斜面下滑距离s时杆的速度大小v, 圆盘a的角加速度 ,以及斜面作用在 a上的摩擦力 和法向约束力 .,例：如图所示, 均质实心薄圆盘 a质量为m, 细铁环b质量为m, 半径均为r, 二者用质量为m 的细杆ab连接, 沿倾角为的斜面纯滚动. 初始时系统静止, 求杆ab沿斜面下滑距离s时杆的速度大小v, 圆盘a的角加速度 ,以及斜面作用在 a上的摩擦力 和法向约束力 .,1. 整体用动能定理求速度 v .,2. 对整体用动能定理的微分形式(或对动能定理求导)求盘心加速度 a .,3. 对盘a的盘心用动量

9、矩定理求速度 .,33,4. 如不计杆质量，则杆是二力杆：,4. 如计杆质量，则盘受力：,计杆质量，用动静法，加惯性力， 整体对d点取矩：,34,题8-14：求 m 及 n .,求n：加惯性力，“杆ab+滑块”对a点取矩。,求m：加惯性力，整体对o点取矩。,35,题8-15：求 m 及 o 出约束力.,运动已知，利用点的复合运动求加速度。,36,本学期理论力学总结,一、静力学,1. 力系简化理论(力线平移定理)；,2. 平衡问题的解法，平衡方程的独立性；,3. 摩擦问题(静滑动摩擦、滚动摩擦)的处理；,4. 约束的分类，各类约束所对应的约束力；,5. 桁架问题的解法；,6. 用虚位移原理求解平

10、衡问题。,37,二、动力学,1. 质点动力学方程(newton第二定律)；,2. 刚体的平面运动分析；,3. 刚体动力学方程的建立(质心运动+绕质心转动)；,4. 用点的复合运动理论分析机构的运动；,5. 碰撞问题的处理及所用的基本定理；,6. 动静法、刚体惯性力的简化、附加动反力。,38,三、基本物理量的计算,1. 力对点之矩、力对轴之矩；,2. 刚体对点的动量矩和对轴的动量矩；,3. 刚体的动能(knig定理)；,4. 刚体上点速度(虚位移)、加速度之间的关系；,5. 点的复合运动理论中牵连(加)速度、科氏加速度；,6. 刚体上力、惯性力的简化。,39,题(7-13)：在图示机构中，滑块a

11、以匀速沿水平滑道运动，滑块b沿铅垂滑道运动，试求套筒c位于杆ab中点时，杆cd的速度和加速度。,解：,1. ab杆作平面运动， 其速度瞬心为p；,ab杆的角速度为：,杆上c点的速度为：,40,二、取ab杆为动系，套筒c为动点：,根据点的复合运动速度合成定理有：,根据几何关系可求得：,41,三、加速度分析：,对ab杆：,向ab杆投影：,ab杆中点c的加速度为：,再取ab杆为动系，套筒c为动点,其中：,将上述公式在垂直于ab杆的轴上投影：,42,题(7-10)：曲柄oa通过连杆ab带动圆盘在圆弧上纯滚动。试求圆盘上b点和c点的速度和加速度。,图示瞬时，ab杆瞬时平移,圆盘的速度瞬心在p点，圆盘的角速度为：,圆