直角三角形的判定和性质

1、直角三角形全等的判定【知识点总结】直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）【典型例题讲解】例1：已知：如图ABC中，BDAC，CEAB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.例2：已知：RtABC中，ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CDBE：例3：已知ABC中，CDAB于D，过D作DEAC，F为BC中点，过F作FGDC求证：DG=EG。【随堂练习】1选择：（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（ ）个这两个三角形全等; 相等的角为锐角时全等相等的角为钝角对

2、全等; 相等的角为直角时全等A0 B1 C2 D3（2）在下列定理中假命题是（ ）A一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形（3）如图，RtABC中，B=90，ACB=60，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（ ）A1：1 B3：1 C4：1 D2：3（4）如图，在RtABC中，ACB=90，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是ACB的平分线。则1与2的关系是（ ）A12 D不能确定（5）在直角三角形ABC中，若C=90，D是BC边上的一点，且AD=2CD，

3、则ADB的度数是（ ）A30 B60 C120 D1502解答：（1已知：如图ABBD，CDBD，AB=DC求证：AD/BC.（2）如图，ACBC，ADBD，AD=BC，CEAB，DFAB，垂足分别是E、F求证：CE=DF.【课后习题】一、填空题:(每题5分,共20分)1.有_和一条_对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“_”. 2.如图,ABC中,C=90,AM平分CAB,CM= 20cm, 那么M 到AB 的距离是_cm. 3.已知ABC和ABC,C=C=90,AC=AC,要判定ABCABC,必须添加条件为_或_或_或_.4.如图,B、E、F、C在同一直线上,A

4、FBC于F,DEBC于E,AB=DC,BE=CF, 若要说明ABCD,理由如下: AFBC于F,DEBC于E(已知) ABF,DCE是直角三角形 BE=CF(已知) BE+_=CF+_(等式性质) 即_=_(已证) RtABFRtDCE( )二、选择题:(每题5分,共25分)5.两个直角三角形全等的条件是( ) A.一锐角对应相等; B.两锐角对应相等; C.一条边对应相等; D.两条边对应相等6.要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的() 有两条直角边对应相等; 有两个锐角对应相等; 有斜边和一条直角边对应相等; 有一条直角边和一个锐角相等; 有斜边和一个锐角对应相等; 有两条边相等

5、. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个7.如图,ABEFDC,ABC=90,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对8.已知在ABC和DEF中,A=D=90,则下列条件中不能判定ABC和DEF全等的是( ) A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=DF C.AB=DE,BC=EF D.C=F,BC=EF9.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( ) A.AAS B.SAS C.HL D.SSS三、解答题:(共55分)10.如图,ABC中,C=90,AB=2AC,M是AB的中点,点N在BC上,MNAB.

6、求证:AN平分BAC.(7分) 11已知:如图,AB=AE,BC=ED,B=E,AFCD,F为垂足,求证:CF=DF.(8分)12知如图,AB=AC,BAC=90,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BDAE于D,CEAE于E,求证:BD=DE+CE.(8分)13已知如图,在ABC中,BAC=2B,AB=2AC,求证:ABC是直角三角形?( 8分)14已知如图,在ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作ADBC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M. (1)用圆规比较EM与FM的大小. (2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?(8分

7、)直角三角形的性质【知识点精讲】直角三角形的性质定理及其推论：直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30.【典型例题讲解】例1：已知，RtABC中，ACB=90，AB=8cm，D为AB中点，DEAC于E，A=30，求BC，CD和DE的长例2：已知：ABC中，AB=AC=BC （ABC为等边三角形）D为BC边上的中点，DEAC于E.求证：. 例3：已知：如图ADBC，且BDCD，BD=CD，AC=BC.求证：AB=BO

8、. 【随堂练习】1.ABC中，BAC=2B，AB=2AC，AE平分CAB。求证：AE=2CE。2.已知，RtABC中，ACB=90，CDAB，CE为AB边上的中线，且BCD=3DCA。求证：DE=DC。3.如图：AB=AC，ADBC于D，AF=FD，AEBC且交BF的延长线于E，若AD=9，BC=12，求BE的长。4.在ABC中，ACB=90，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。求证：AE=DF。5.已知，如图，在ABC中，B=C，ADBC于D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长。【课后习题】1、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。如在RtABC中CD是斜边AB的中线

9、，则CD=AB，你能说明这个结论吗？2、ABC中，CD是中线，且，求证ABC是直角三角形。3、如图，在RtABC中，ACB90，BAC的平分线AD交BC于点D，DEAC，DE交AB于点E ，M为BE的中点，连结DM 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 4、如图，四边形ABCD，A=90，C=90，EF分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系（提示：连结AE、CE）5、ABC中，BE、CD分别是三角形的高，M、N分别是BC、DE的中点，试说明MN垂直平分DE6、如图，已知AD与BC相交于E，1=2=3，BD=CD，ADB=90，CHAB于H，CH交AD于F(1)求证：CDAB； (2)求证：BDEACE；