拓扑绝缘体的相关研究

1、拓扑绝缘体,理学院 武立坚,De 相关研究,参考文献1,参考文献2,参考文献3,参考文献4,主要内容,1 引言 2 基本理论 3 二维拓扑绝缘体 4 三维拓扑绝缘体 5 前景与展望,1 引言,在上世纪八十年代之前,人们就认识到可以通过Landau的自发对称性破缺的原理来理解不同的量子态,这是凝聚态物理发展史上的一个里程碑。举例来说,晶体破坏了空间平移对称性;铁磁体破坏了空间旋转对称性;超导体破坏了规范对称性。 八十年代,整数量子霍尔效应(IQHE)与分数量子霍尔效应(FQHE) 的相继发现是凝聚态历史上的又一座里程碑,人们发现量子霍尔态并没有破坏任何的对称性,无法将其纳入到Landau对称性自

2、发破缺的理论框架中来。 要想理解量子霍尔态必须引入拓扑序的概念。相应的,量子霍尔态被称为拓扑相(topological phase)。,1 引言,导体和绝缘体的能带示意图. 其中(a) 为导体, ( b)为普通绝缘体, (c)为量子霍尔绝缘体, (d) 为时间反演不变的拓扑绝缘体. 图中黑色实线代表费米面, 虚线代表边缘态, 对于绝缘体来说, 费米面处在禁带之中. 当样品有边界时, 禁带之间存在着受到拓扑保护的边缘态(如(c) 和(d), 这些边缘态连接体系的价带顶和导带底.,1 引言,拓扑绝缘体是一种内部绝缘，界面允许电荷移动的材料。 在拓扑绝缘体的内部，电子能带结构和常规的绝缘体相似，其费

3、米能级位于导带和价带之间。在拓扑绝缘体的表面存在一些特殊的量子态，这些量子态位于块体能带结构的带隙之中，从而允许导电。,1 引言,在阐述拓扑绝缘体的理论之前,我们首先要认识一个概念,即什么是拓扑等价类。 数学上,我们说两个流形 X与Y是彼此同胚的， 如果存在从X 指向Y的连续映射f,并且其逆映射f-1也连续。形象的说,就是这两个流形可以通过连续的形变而光滑的过渡,即在形变的过程中,不产生任何的“洞”(“洞”的产生意味着空间奇点的出现),“洞”在数学上对应亏格(genus)。 比如球面和立方体就相互同胚，环面与咖啡杯也相互同胚，而球面与环面则彼此不同胚。彼此同胚的流形都属于一个拓扑等价类,1 引

4、言,在物理上,拓扑的概念是针对有能隙的系统(绝缘体,超导体)而言的,每一个有能隙的多体系统都由相应的哈密顿量来描述,如果两个系统的哈密顿量可以通过连续的形变(比如调节哈密顿量里的参数)而光滑的过渡,即在形变的过程中,不闭合体能隙,那么我们就称这两个系统属于同一个拓扑等价类。 关闭体能隙伴随着量子相变，体能隙的闭合意味着动量空间奇点的出现，这与数学上“洞”的产生是类似的。,1 引言,如何判断两个系统是否属于同一个拓扑等价类? 这里引入了拓扑不变量(topological invariants)概念，它指的是在同胚变换下不变的代数量。 拓扑不变量可以是一个数(比如，欧拉示性数)，也可以是构建在拓扑

5、空间上的某种代数结构(比如同伦群，同调群，上同调环)。 这里涉及到的拓扑不变量有陈数， 不变量,准粒子激发的电荷与统计角，基态简并度等。,1 引言,拓扑绝缘体与普通绝缘体的相同点是都具有体能隙,但区别在于前者在边界上存在稳定的低维金属态,而后者则没有。 我们可以把拓扑绝缘体类比成莫比乌斯带,而把普通绝缘体类比成简单的环形带。莫比乌斯带和简单环形带都是由一个矩形条将一组对边粘合而成的,但前者需要将一边扭转180在与对边粘合,而后者只是直接粘合,所以其拓扑结构截然不同,无法通过连续光滑的形变在它们之间实现过渡。除非剪断莫比乌斯带并重新粘合,但该过程将破坏原有的拓扑性质。同样道理,拓扑绝缘体的表面态

6、(边缘态)因为其能带结构的非平庸拓扑结构而具有稳定性,除非关闭体能隙(从而将拓扑绝缘体带的拓扑结构改变)才会使得其边缘态破坏。,2 拓扑绝缘体的基本理论,整数量子霍尔效应,人们在研究强磁场中的二维电子气时, 发现它的横向霍尔电导在外磁场改变时会在e2 / h 的整数倍处出现平台。（von Klitzing 1980）,TKNN数,1982 年, Thouless等人(TKNN) 在一篇奠基性的文章中利用久保公式计算了二维周期性晶格系统的霍尔电导。这不仅揭示了整数霍尔电导的拓扑来源, 而且也开启了拓扑学在凝聚态物理中应用的大门。,1983 年, 人们证明TKNN的第一类陈数可以被用来对定义在复数域上的任意维的哈密顿量进行拓扑分类。,边缘态,手性边缘模式 边缘模式数量 手性费米子不能反向散射 有效场理论,量子霍尔态和绝缘体交界面的手性边界模式 跳跃的回旋轨道。 单个边缘的能带结构边缘态只有一支始终穿过费米能级,（） 的边缘态 （） 二维拓扑绝缘体的能带结构两支边缘态自旋方向不同始终穿过费米能级,拓扑绝缘体的边缘态示意图: (a) 破坏时间反演的整数霍尔系统; (b) 时间反演不变的自旋霍尔绝缘体, 其中的灰色实线 和灰色虚线是一对时间反演共轭对。,3二维拓扑绝缘体,4 三维拓扑绝缘体,4 三维拓扑绝缘体,4 三维拓扑绝缘体,5 前景与展望,5 前景与展望,5